Dinámica de Robots Manipuladores

Dinámica de Robots
Automatización y
Robótica Industriales
1
Velocidades y Aceleraciones
Transformación de velocidades
VP = AVpORG + BAR BVP + A ΩB ×BAR BP
A
A
ΩC = A ΩB + BAR B ΩC
A
& × AR BP+ A Ω ×( A Ω × AR BP)
+ AΩ
B B
B
B B
A
{C}
{B}
Transformación de Aceleraciones
V&P = AV&pORG + BAR BV&P +2 A ΩB ×BAR BVP +
BΩ
C
ZA
& =AΩ
& + AR B Ω
& + A Ω × AR B Ω
Ω
C
B B
C
B B
C
{A}
xA
BP A
ΩB
AP
ZB
AP
ORG
xB
YB
YA
2
Tensor de Inercia
Descripción de la distribución de masas de un objeto
respecto a un marco de referencia
 I xx − I xy − I xz 


A
I = − I xy I yy − I yz 
− I xz − I yz I zz 


I xx =
∫∫∫ ( y
2
+ z ) ρ dv
∫∫∫ ( x
2
+ z ) ρ dv
2
I xy =
V
I yy =
∫∫∫ ( x
V
AP
xA
∫∫∫
xy ρ dv
∫∫∫
xz ρ dv
∫∫∫
yz ρ dv
YA
V
2
I xz =
V
I zz =
ZA
dv
{A}
V
2
+ y 2 ) ρ dv
I
yz
=
V
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Formulaciones del modelo dinámico de un Robot
■ Formulación de Lagrange-Euler
– Poca eficiencia computacional: O(n4) (n=nº GDL)
– Ecuaciones finales bien estructuradas
■ Formulación de Newton-Euler
– Procedimiento recursivo
– Basado en operaciones vectoriales
– Ecuaciones poco estructuradas
– Mayor eficiencia computacional: O(n)
■ Otras formulaciones
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Formulación de Newton-Euler
■ Ecuación de Newton
F = mv&C
■ Ecuación de Euler
N =CIω& + ω×C Iω
F
N
■ Procedimiento Iterativo
1) Hacia fuera calculando velocidades
y aceleraciones lineales y angulares
2) Hacia dentro calculando pares y
esfuerzos en las articulaciones
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1.- Recursión hacia fuera
i= 0, 1, 2,... ,n-1
ωi =i−1iRi−1ωi−1 + θ&i i Zˆi
i
Vel Angular
ω&i =i−1iRi−1ω&i−1 +i−1iRi−1ωi−1 ×θ&i i Zˆi + θ&&i i Zˆi
i
Acel. Angular
Articulación
Prismática
ω&i =i−1iRi−1ω&i−1
i
v&i =i −1iR [i −1ω&i −1×i −1Pi +i −1ωi −1 ×(i −1ωi −1×i −1Pi )+i −1v&i −1 ]
Articulación
Rotación
v&i =i−1iR [i−1ω&i −1×i−1Pi +i−1ωi−1 ×(i−1ωi−1×i−1Pi )+i−1v&i−1 ] +
+2i ω × d& i Zˆ + d&& i Zˆ
Articulación
Prismática
i
Acel. Lineal
(Origen Sist. Referencia)
i
i
Acel. Lineal
(Centro de Masas)
Articulación
Rotación
i
i
i
i
i
i
v&Ci = ω&i × PCi + ωi ×( ωi × PCi )+ v&i
i
i
i
i
i
i
ωi
2.- Recursión hacia dentro
fi = Fuerza ejercida por el enlace i -1 en el i
i= n, n-1, ... 1
ni = Par ejercido por el enlace i -1 en el i
Fuerzas
Pares
i
fi = R fi +1 + Fi
i
ni =iNi +i +1iRi +1ni +1 +iPCi ×i Fi +iPi +1×i +1i Ri +1fi +1
Fuerzas/Pares
Requeridos
i +1
i
i
i +1
i
τ i =i niT i Zˆi
τ i =ifiT i Zˆi
i
Ni =Ci Ii iω&i +iωi ×Ci Ii iωi
Fi n
i
Articulación
Rotación
Articulación
Prismática
ni−1
fi−1
Fi = mi i v&Ci
Ni
fi
Formulación de Lagrange
Formulación de ecuaciones en términos energéticos
vC i
■ Energía cinética del enlace i
1
1 i T Ci i
T
ki = mi vCi vCi + ωi Ii ωi
2
2
ωi
n
Total k = ∑ ki
i =1
■ Energía potencial del enlace i
n
ui = −mi 0 g T 0 PCi + uref
Ecuaciones de Movimiento
Total u = ∑ui
i =1
d ∂k ∂k ∂u
τ=
− +
&
dt ∂θ ∂θ ∂θ
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Formulación de Lagrange: Estructura de las ecuaciones
Las ecuaciones pueden expresarse
d ∂k ∂k ∂u
τ=
−
+
dt ∂θ& ∂θ ∂θ
τ = M (θ )θ&& + V (θ ,θ&) + G(θ ) + F (θ&)
τ = Fuerzas/Pa res generalizados en las articulaci ones
θ , θ&, θ&& = Coordenada s generalizadas y derivadas
M (θ ) = Matriz de Inercia (Simétrica )
V(θ , θ&) = Vector de términos de Coriolis - Centrifugo s
G(θ ) = Vector de términos gravitator ios
F (θ&) = Vector de fuerzas de rozamiento
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Ecuaciones dinámicas: Ejemplo
Ejemplo para un robot manipulador Industrial: Robot RM10
Para un robot “Real” las
ecuaciones dinámicas
pueden ser
considerablemente
complejas
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Modelo Dinámico Directo
τ = D ( q ) q&& + C ( q , q& ) q& + G ( q )
Ecuaciones de la forma
Ecuaciones como función de 26 constantes:
Modelo Dinámico Directo
Más constantes:
Modelo Dinámico Directo
Más constantes:
Modelo Dinámico Directo
Distribución de términos en las ecuaciones:
Simplificación valor significativo al 5%
Formulación Dinámica en el espacio cartesiano
Sería deseable expresar las ecuaciones dinámicas en coordenadas
cartesianas como:
F = M x (θ ) X&& + Vx (θ ,θ&) + Gx (θ )
Recordando que:
τ =J F
T
Entonces:
X& = Jθ&
X&& = J&θ& + Jθ&&
τ = M (θ )θ&& + V (θ ,θ&) + G(θ ) + F (θ&)
F = J −T M (θ ) J −1 X&& − J −T M (θ ) J −1J&θ& + J −TV (θ ,θ&) + J −T G(θ )
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Formulación Dinámica en el espacio cartesiano
Identificando términos:
F = M x (θ ) X&& + Vx (θ ,θ&) + Gx (θ )
Donde:
M x (θ ) = J M (θ ) J
−T
−1
&
&
V (θ ,θ ) = J V (θ ,θ ) − M (θ ) J (θ ) J& (θ )θ&
−T
−1
[
x
]
Gx (θ ) = J G(θ )
−T
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Adición de dinámica de actuadores
Modelo del Actuador (Motor C.C.)
ra
Im
q&
(
(1)
R a I m + K t q& = U
(2)
d θ&
τm = Jm
+ B m θ& + τ
dt
U
)
(
τ = Rτ m
τm = K tIm
)
K t I m R = M ( q ) + J m R 2 q&& + C ( q , q& ) + B m R 2 q& + G ( q ) + F ( q& )
Robots de
accionamiento Indirecto
R>>1
Dinámica
desacoplada
Efecto de las fricciones
z
z
Característica de fricción, modelo estático.
τ f = Fc sgn(θ&) + Fvθ&
La Fricción es un fenómeno fuertemente no lineal difícil de modelar que
degrada el comportamiento de los robots manipuladores
Efecto de las fricciones
z
Otras características de fricción frecuentemente empleadas en
Efecto de las fricciones
z
La fricción es un fenómeno que se pone de manifiesto especialmente a
bajas velocidades (Fenómenos Stick-Slip).
z
En problemas de seguimiento ocasiona errores de posicionamiento
residuales (Ciclos límite, Hunting)