ξ - FCEIA

UNR- Ingeniería
Depto. de Electrónica
TABLA DEL SISTEMA PT2
T02CO6.98
Dinámica de los Sistemas Físicos
A-444 / E-147
FT
EDO
Kω n2
&y& + 2ξωn y& + ωn2 y = Kωn2u
ó
T 2 &y& + 2ξT ⋅ y& + y = K ⋅ u
s 2 + 2ξω n s + ω n2
ó
D.S.F.
DB
K
T s + 2ξTs + 1
2 2
EE/ES
Donde:
T=1/ωn
K: ganancia estática
ξ: coeficiente de
amortiguamiento
ωn:frecuencia natural
no amortig.
x1 = y
x2 = y&
x&1 = x2
x&2 = −ω n2 x1 − 2ξω n x2 + Kω n2u
y = x1
X& = AX + bu
y = cT X
1 
 0
A=

2
 − ω n − 2ξω n 
 0 
b=
2
 Kω n 
cT = [1 0]
TABLA del PT2
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Respuesta al escalón del PT2 para diferentes parámetros de la FT
Polos
Amortiguación
Respuesta al Escalón
h(t)
ξ= 0
no amortig.
0 < ξ <1
subamortig.
h(t ) = K −
(1) ξ=0
(2) 0< ξ<1
(3) ξ=1
(4) ξ>1
(5) -1< ξ < 0
(6) ξ= -1
(7) ξ < -1
K
1−ξ2
e−ξωnt sen(ωa ⋅ t + β )
ξ =1
amortig.
crítico
ξ >1
ξ = 1
→s1,2 = −ωn
ξ >1 
→s1,2 = −ξωn ± ωn ξ 2 −1
1
=
T1,2
sobreamort.
o aperiódico
t
t

−
K  − T1
T2
T1e − T2e
h(t ) = K −
T1 − T2 






0 < ξ < 1
→s1,2 = −ξωn ± jωn 1 − ξ 2
= −σ ± jω a
Ubicación en el plano complejo
de los polos para 0<ξ<1
TABLA del PT2
ξ<
0
inestable
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Características de la respuesta al escalón (0 < ξ < 1):
2o5%
−π ⋅ξ
SV = A ⋅ K ⋅ e
1−ξ 2
(Sobrevalor)
A: amplitud del escalón de entrada
K: ganancia estática
− π ⋅ξ
D % = 100 ⋅ e
1−ξ 2
tp = π / ωa
(Tiempo de Pico o Peak-time)
tr ≈ 4/ σ (criterio 2%)
tr ≈ 3 / σ (criterio 5%)
(Tiempo de Respuesta o Settling-time)
tc 0-100% = (π - β) / ωa
tc 10-90% ≈ 2.5/ ωa
TABLA del PT2
(Tiempo de Crecimiento o Rise-time)
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Respuesta frecuencial del PT2
u ( t ) = A sen( ω ⋅ t ) ⇒
[
y ( t ) = A ⋅ G ( s = j ω ) ⋅ sen ω t +
K
G ( jω ) =
−
ω
2
ω
2
n
+ j 2ξ
ω
+1
ωn

| y | dB = 20 log( AK ) − 20 log 


ω 

 2ξ
ωn 

Φ = − arctg 
2 
1 − ω 

ω n2 
TABLA del PT2
]
G ( j ω ) = y ⋅ sen( ω ⋅ t + Φ )

1 − ω

ω

2
2
n




2

ω 
+  2ξ

ω n 

2




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