Mecánica de sólidos Sesión 22 - Centro de Geociencias ::.. UNAM

Mecánica de sólidos
Sesión 23
Flujo viscoso, medición
de la viscosidad
Reología de la corteza
REOLOGIA: Estudio de la conducta mecanica (flujo) de los materiales. Elastico, Plastico, Viscoso y sus combinaciones
Quebradiza o plástico
Conducta ductil o flujo
viscoso
Elasticidad, viscosidad, conducta de sólidos y fluidos, y plasticidad
z
z
z
Liquido → viscosidad
Sólido → elasticidad
Aplicando un esfuerzo constante y pequeño:
–
–
z
Aplicando un esfuerzo constante y pequeño que varia con el tiempo:
–
–
z
Si el material resiste la deformación, es un sólido;
Si fluye, es un fluido.
Si la deformación es proporcional a la fuerza el material es elástico;
Si la derivada en tiempo de la deformación (tasa de deformación) es proporcional al esfuerzo el material es viscoso (newtoniano)
La plasticidad aparece con esfuerzos mas grandes:
–
–
Un material que se comporta como sólido a esfuerzos pequeños puede llegar a fluir
En este caso la plasticidad esta caracterizada por un esfuerzo de cedencia, mas allá del cual el material fluye
Flujo dúctil a partir de experimentos en minerales
En términos de los esfuerzos principales
La reología de estos fluidos esta caracterizada por una ley de potencias
Si n=1 es un fluido newtoniano
Un fluido no newtoniano con n=3 se utiliza para representar el manto
La viscosidad disminuye exponencialmente con la temperatura y se incrementa exponencialmente con la presion!!
Reología: comportamiento dúctil
Comportamiento ductil: la roca se deforma continuamente sin perder
Æ
la cohesion a lo largo de fracturas o fallas.
La resistencia de las rocas es dependiente de la velocidad de
deformacion pero independiente de la presion.
Newtonian:
ε& =σ/η
Non-Newtonian: ε& = A (σ)n
Caracteristica de:
z Cobertura (e.g., evaporitas, arcilla) y rocas metamorficas
z Corteza inferior continental
z Manto litosférico inferior
Viscosidad
z
z
z
z
z
z
z
z
z
Resistencia que ofrece un fluido a deformarse.
Puede ser pensada como una especie de fricción fluida
Viscosidad es el coeficiente de viscosidad que determina la
dinámica de fluidos newtonianos incompresibles;
Viscosidad cinemática es la viscosidad dinámica dividida
ente la densidad de un fluido Newtoniano;
Viscosidad de volumen es el coeficiente de viscosidad que
determina la dinámica de fluidos newtonianos compresibles;
Viscosidad neta o Bulk viscosity es la viscosidad de
volumen
Viscosidad de cizalla es la viscosidad cuando se aplica una
esfuerzo de cizalla en un fluido no newtoniano;
Viscosidad extensional es la viscosidad cuando se aplica un
esfuerzo extensivo en un fluido no newtoniano.
Viscosidad efectiva es la viscosidad a una tasa de
deformación dada
Para un flujo paralelo, recto y uniforme, el esfuerzo de cizalla, τ, entre capas es proporcional al gradiente de velocidad, ∂u/∂y, en la dirección perpendicular a las capas de fluido z
z
z
z
z
Viscosidad es la relación entre
la fuerza ejercida sobre la
superficie de un fluido en
dirección horizontal con el
cambio en la velocidad
(gradiente).
A temperatura ambiente
Agua tiene una viscosidad del
orden de 1.0 x 10-3 Pa·s
Aceite de motor tiene una
viscosidad aparente de 250 x
10-3 Pa·s
Valores de viscosidad típicos
de materiales terrestres
(manto) 10-17 a 10-22 Pa·s
velocidad
Placa móvil
Esfuerzo de cizalla τ
Gradiente, δu/δy
Fluido
Placa de frontera fija
Medidas de la viscosidad
z
z
z
eta (η), viscosidad; mu (μ) viscosidad dinámica. Unidad SI pascal‐segundo (Pa∙s), es 1 kg∙m−1∙s−1. – Un fluido de 1 Pa∙s colocado entre dos placas y una de estas es empujada con un esfuerzo de cizalla de un pascal se moverá una distancia igual al espesor del fluido en un segundo.
Unidad cgs poise (P), → Jean Louis Marie Poiseuille. –
–
–
Se utiliza el centipoise por que el agua tiene una viscosidad de 1.0020 cP (at 20 °C).
1 P = 1 g∙cm−1∙s−1
Relación entre poise y pascal‐segundo:
z
z
10 P = 1 kg∙m−1∙s−1 = 1 Pa∙s
1 cP = 0.001 Pa∙s = 1 mPa∙s
Viscosidad cinemática, ν, relación entre las fuerzas viscosas y fuerzas de inercia caracterizadas por la densidad del fluido ρ.
.
donde μ viscosidad dinámica y ρ densidad.
La viscosidad cinemática (símbolo: ν) tiene unidades SI (m2∙s−1). La unidad cgs es el stokes (S or St). 1 stokes = 100 centistokes = 1 cm2∙s−1 = 0.0001 m2∙s−1.
1 centistokes = 1 mm2/s
Viscosidad dinámica contra viscosidad cinemática
La conversión entre estas esta dada por νρ = η. Notar que los parámetros deben estar dados en unidades SI.
Por ejemplo,
si ν = 1 St (=0.0001 m2∙s‐1) y ρ = 1000 kg m‐3
entonces η = νρ = 0.1 kg∙m−1∙s−1 = 0.1 Pa∙s.
Fluidos newtonianos
z
Es un fluido cuya curva de flujo pasa por el origen y
su constante de proporcionalidad es la viscosidad.
En otras palabras, el material continua fluyendo
independiente de las fuerzas que actúan sobre el.
τ es el esfuerzo de cizalla ejercido por el fluido [Pa]
μ es la viscosidad [Pa·s]
Es el gradiente de velocidad perpendicular a la dirección de cizalla [s−1]
z
La viscosidad depende solo de la presión y
temperatura
Fluidos newtonianos
Si el fluido es incompresible y la viscosidad constante a través del fluido, la ecuación para el esfuerzo de cizalla en un sistema cartesiano es Con un tensor de esfuerzos =
τij is the shear stress on the ith face of a fluid element in the jth
direction
ui is the velocity in the ith direction
xj is the jth direction coordinate
El tensor de esfuerzos viscosos lineal
z
z
Las fuerzas viscosas de un fluido son funcion de la tasa a la cual la velocidad del fluido cambia sobre la distancia.
La velocidad es especificada por el vector de velocidad y la velocidad
a una distancia pequeña puede ser escrita como una serie de Taylor
Donde
es una simplificacion del producto entre el operador del y la velocidad, el Jacobiano del campo de velocidad
z Las fuerzas viscosas son el resultado del desplazamiento relativo
entre los elementos del fluido y por lo tanto se pueden expresar
como una funcion del campo de velocidad. z En otras palabras, las fuerzas son funcion de las derivadas en ese
punto, en el caso de viscosidad lineal, las fuerzas viscosas seran
funcion del tensor Jacobiano
z Esto es valido para muchos de los casos reales
z
Si representamos x, y, z por índices 1, 2, y 3, el componente i,j puede quedar escrito como
z
Donde es una simplificación para –
Notar que cuando los términos derivativos son cero, la velocidad de todos los elementos del fluido es paralela y no hay fuerzas de inercia
z
El campo de velocidad puede ser aproximado por:
z
índices repetidos en un producto son sumados implícitamente. El segundo termino es la parte asimétrica del termino derivativo y representa la rotación rígida del fluido alrededor de con una velocidad angular ω donde:
z
Para tal rotación rígida no hay cambio en las posiciones relativas de los elementos del flujo, así que no hay fuerzas viscosas asociadas con este termino. z
z
z
z
z
El termino simétrico restante es responsable de las fuerzas viscosas del fluido.
Para un fluido isotrópico, la forma mas general en la que el termino simétrico (tensor de tasa de deformación) puede ser expresado en una forma independiente de las coordenadas es como la suma de una tensor constante (la tasa de expansión) y un tensor simétrico (la tasa de cizalla):
Donde δij es el tensor unitario. Entonces la relación lineal mas general entre los esfuerzos y la tasa de deformación es una combinación lineal de estos dos tensores:
donde ζ es el coeficiente de viscosidad neta (bulk) y η es el coeficiente de viscosidad de cizalla.
z
Las fuerzas en el fluido son debidas a las velocidades de las moléculas individuales.
La velocidad de una molécula puede ser pensada como la suma de la velocidad del fluido y la velocidad térmica.
El tensor de esfuerzo viscoso arroja la fuerza solo de la velocidad del fluido. La fuerza sobre un área de elemento en el fluido es la presión hidrostática. Ester termino de presión ( − pδij) debe añadirse al tensor de esfuerzo viscoso para obtener el esfuerzo toal en el fluido:
z
La fuerza infinitesimal dFi sobre un área dAi es:
z
z
Fluidos no newtonianos
z
Son fluidos en los cuales la viscosidad
cambia con respecto
al esfuerzo y la tasa de deformacion
aplicados. Como resultado pueden no tener una viscosidad
bien definida.
Fluidos no newtonianos
http://video.google.com/videoplay?docid=9179973177789877596
Fluidos newtonianos y no‐newtonianos
Materiales analogos para deformacion ductil
Newtoniano
2500
1500
1000
No-Newtoniano
potencias
500
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
strain rate
Silicon SGM36
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
strain rate
Silicon- arena de cuarzo 100:55
Silicon-arena corindon 100:30
9000
8000
7000
Graficas esfuerzo – deformacion para
diferentes materiales
shear stress
0
shear stress
shear stress
2000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
0.05
0.1
0.15
strain rate
0.2
0.25
El numero de Reynolds
Reynolds number (Re):
Re = Inertial forces / Viscous forces
= m a / {[η (V/L)]/L2} = ρ V2 L2 / {[η (V/L)]/L2}
= ρ V2 L2 / (η V L)
Re = ρ L V/ η
z
z
z
z
z
V – velocidad media de flujo, [m s-1]
L - Longitud, [m]
μ - (absolute) dynamic fluid viscosity, [N s m-2] or [Pa s]
ν - kinematic fluid viscosity: ν = μ / ρ, [m² s-1]
ρ - fluid density, [kg m-3].
Materiales Análogos: deformación dúctil
Viscometro conicilindrico del
LAMMG
Permite obtener la curvas de esfuerzo vs tasa de deformacion de diferentes materiales
Materiales analogos para la deformacion ductil
Silicones
Mezclas de silicon y otros materiales (e.g., arena, barita) Æ estas mezclas se
utilizan para aumentar la densidad y la resistencia del material ductil
Asthenosphere: glycerol (+gypsum), honey
Magma: glycerol; low viscosity silicone (silicone+oleic acid)
To measure the rheological properties, viscometers are normally used
Materiales analogos: deformacion ductil