SPLINES UN MÉTODO PARA AJUSTAR CURVAS NO LINEALES

SPLINES UN MÉTODO PARA
AJUSTAR CURVAS NO LINEALES
IRENE SÁNCHEZ GUEVARA*
INTRODUCCIÓN
Uno de los problemas en economía y administración consiste en
determinar el comportamiento de la variable demanda de un bien a
través del tiempo o con respecto a la variable precio, con el objeto de
hacer planeaciones y toma de decisiones. El planteamiento del problema es:
Dada una tabla de datos
x
y
xl
y,
Xn
Yn
Donde la variable x puede ser el tiempo o el precio de un bien y
la demanda. Y una gráfica (x-y)
y
x
Se desea obtener f(x).
Profesora-investigadora del Departamento de Política y Cultura, uAM-Xochimilco.
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Reflexiones Finisec ulares : las Matemáticas en las Ciencias Sociales
ANTECEDENTES
Los métodos de suavizamiento
Cuando se cuenta con un conjunto de observaciones hechas cronológicamente en intervalos de tiempo fijos (a este conjunto se le denominará
serie de tiempo económica), los procedimientos usuales para determinar el comportamiento de la variable demanda son: promedios móviles,
suavizamiento exponencial, y Winters. La construcción de modelos con
estos métodos se basa en descubrir un patrón de comportamiento de
los datos en el pasado y extrapolar para hacer predicciones futuras.
Los métodos de promedios móviles, suavizamiento exponencial y
Winters resuelven el problema parcialmente porque solo generan
otra tabla de datos en los mismos intervalos, sin embargo sus cálculos en principio son fáciles, pero lo importante es que en general van
construyendo el nuevo dato por "pedazos", es decir toman un subconjunto de datos y obtiene el nuevo dato.
Los promedios móviles simples toman un subconjunto de datos
y obtiene el promedio para la observación posterior. Los PM dobles o
lineales construyen rectas sobre un conjunto de datos y las van
uniendo, lo que da un "movimiento', es decir trata de ajustar los
datos a una funcional que corresponde a un conjunto de rectas.
Dato calculado a partir de la recta
que paso por los tres datos originales
y
X
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Irene Sánchez Guevara
Los de suavizamiento exponencial hacen una combinación lineal
entre el dato pasado y un pronóstico pasado para obtener el dato calculado actual, para lo cual usa un parámetro (x.
Y3
f3 -a-
1
2
3
f4 =ay3+(1-a)f3
4
Estos dos conjuntos de métodos son útiles cuando se trata de comportamiento constantes o con tendencia, pero si se trata de datos que
además presenten estacionalidad, un método adecuado será el de
Winters que además de generar las tendencias genera índices estacionarios utilizando tres parámetros.
En la siguiente gráfica se muestra un ejemplo de una serie cuyos
datos tienen un comportamiento claramente estacional, observe que el
método winters sólo construye otro conjunto discreto de datos y no es
posible tener cálculos para medidas intermedias lo cual representa
una carencia importante cuando se quiere estudiar las ciclicidades.
y
!
_
•
x
Método de Winters
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Reflexiones Finiseculares: las Matemáticas en las Ciencias Sociales
Estos modelos son de prueba y error debido a que la elección de los
parámetros es subjetiva, lo cual constituye otra de sus desventajas, ya
que el proceso para obtener el mejor modelo consiste en proponer parámetros, calcular los errores y haces análisis de error y así la facilidad
de los cálculos desaparece totalmente al convertirse en un problema
combinatorio.
Un esquema del proceso que se sigue en estos procesos es el siguiente:
Da tos
^X1
t
y
T
Elección del
Modelo
¿Patrón de
comportamiento'
y
Cálculos
x o t 1 y 1 ¡(.r
Análisis del error
No
¿Aceptable? >------------------ -
34
Irene Sánchez Guevara
AJUSTE POLINOMIAL
Cuando lo que se quiere es obtener la relación funcional entre el
precio de un bien y su demanda, una de las técnicas más utilizadas es la de mínimos cuadrados que consiste en:
Dada una tabla de observaciones:
X
y
xi
Yi
xn
Yn
Donde "x" es el precio, "y" la demanda.
La gráfica es la siguiente:
Se desea obtener el olinomio:
Y=
x
p
No+Nlx+fl2
Matricialmente
2
+..+Nkxk
+E
Y= X/3 +E
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Reflexiones Finiseculares : las Matemáticas en las Ciencias Sociales
MÍNIMOS CUADRADOS
Y para obtener la estimación del vector de coeficientes R se aplica
la técnica mínimos cuadrados:
Mínj(y - 9¡)2
Mín =
1
e2
XXb = Xy
b = (XX)-'X'y
Donde:
yx2
1
X=
Ex]
b=
y=
I: xK
La validación del modelo recae en las pruebas de hipótesis
para probar independencia y normalidad n los errores y:
E(b)=,8i
Además de hacer el análisis de varianza y correlación.
Sin embargo, la mayor desventaja está en la inestabilidad de
los cálculos de la inversa de la matriz
XTX
36
Irene Sánchez Guevara
Los SPLINES
Para ajustar una curva a un conjunto de datos grande que no presenta un patrón de comportamiento lineal o constante, sino que presenta
un patrón estacionario por ejemplo y además con tendencia exponencial, y que además deseamos tener una función continua para poder
obtener datos intermedios (sobre todo cuando se estudian las ciclicidades), ya hemos visto que los métodos de suavizamiento o los de
mínimos cuadrados no son muy adecuados, entonces en este trabajo
hacemos la propuesta de utilizar las funciones spline.
El alisamiento o suavizamiento con funciones spline reconstruye una
función a partir de un conjunto discreto de datos utilizando las ideas de
los métodos de suavizamiento y la técnica de mínimos cuadrados.
La definición técnica de las funciones spline es:
Dados los nodos (puntos) T:x1<x2<...<x„ (n_2p-1), por una función spline
natural de orden 2p-1 y con nodos T, entenderemos una función de clase
C2P-2 en todo R tal que:
a) Es polinomial de grado no mayor que 2p-1 en [xi, xi-1], i= 1, 2 ...,n-1
b) Es polinomial de grado no mayor que p-1 en (-oo,x1) y (x,,,oo)
Esta definición nos dice que por cada par de nodos se construye un
polinomio de grado p-1 y que se une `lisamente" en cada nodo interior.
En este trabajo utilizaremos splines naturales cúbicas, es decir,
por cada par de nodos se contruye un polinomio cúbico, y en cada
nodo la primera y segunda derivada coinciden, logrando una funcional suave en todo el dominio.
LA TÉCNICA DE SUAVIZAMIENTO
CON SPLINE CÚBICA
El problema de suavizamiento constituye en encontrar una función que pueda interpolar; es decir, "pasar" por los nodos o solo
seguir la tendencia de ellos y consiste en
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Reflexiones Finiseculares: las Matemáticas en las Ciencias Sociales
Donde:
Hallar S, (x) tal que :
Mín ^A [f] _ O, [s,
feCP (a,b )
La primer parte de la funcional corresponde a los mínimos cuadrados, la segunda es la minimización del área de la curva ; es decir
es la parte suavizadora y 1 es el parámetro de alisamiento, un
número real y positivo que si vale cero se obtiene la función s(x)
para interpolar, mientras que si tiende a infinito se obtendrá la
recta mínimos cuadrados, w son los pesos que podrían corresponder a las desviaciones estándar de la variable y.
2 [f=^ f(x^)-yr 2+a J[21 (t)t
rr
i=1
uw1
Las condiciones del mínimo deben cumplir con:
fN 0 en [xi,xi +1 1i=1,n-1
f"(xl f"(xm)
o
f "(x¡) - f "(xi) = 0,
i = 2, n -1,
k = 0,1,2
x
f m(
i)
fM(xn )
38
fm(xi)
f(x n) -yn
8n
(x45 - y`
2
Irene Sánchez Guevara
sp(x)=
al
+bi(x- xi) +ci(x-xi)2 +di(x-xi)3
para x E [xi, xi_1 ] ¡=1,n-1, p=
1
2,1
El mínimo corrresponde al spline natural cúbico s(x)
(QTD2Q+pT)c=PQTy
Después de derivar y aplicar las condiciones del mínimo se obtiene
los coeficientes del spline
a = y - p-1D2QC bi = Aa, - cihi - dihil di = 3
AC` hi = [xi+1 - xi]
t
i
Matriz tridiagonal T Donde:
tii=2(hi-hi1) i=1,...,m-2
para ¡ =1,..., m-3
ti+li = tii+l = h3,
tij = 0
en cualquierotro caso
D = diagonawl, w2,... , wn
LL
Matriz Q Donde:
1
1 1
qi +li =---hi hi+1
1
qi +2 iqi• = 0
hi+2
y
i=1,...,m-2
en otro caso
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Reflexiones Finiseculares: las Matemáticas en las Ciencias Sociales
Como se puede observar el cálculo fuerte está en la solución del
sistema (1), pero debido a que las matrices son tridiagonales, la
solución es muy estable desde el punto de vista numérico.
El cálculo del parámetro de alisamiento, que recordemos es
uno de los problemas de los métodos de suavizamieno, ese se hace
mediante una función de discrepancia.'
El algoritmo para esta técnica es el siguiente:
Algoritmo
o Entrada (Cs>o:p>o)
1 Calculo del vector c
1.1 Resolución del sistema
(Q`D'Q +PkTF=PkQ`Y
1.2 Cálculo de la función de discrepancia
1.2.1 v = pk'c
1.2.2 t0(Pk) = v 'Q`D2Qv
2 Para 1_>1 se prueba convergencia
2.1 I(p(pk)-Csl«,
2. 2
j
&
-Pk-II«2
_ ¿ Existe convergencia ? Sí, ir a 5;
No, ir a 3
3 Resolución del sistema:
(Q`DZQ + pkT)avP = Tv
Y se calcula
(P'(Pk) = 2v`Q`D2Q P
' Ver Sánchez Guevara, Irene, Alisamiento de Datos. Teoría y métodos numéricos.
Avances de investigación , núm. 16, UAM, DCSH , Política y Cultura, México, 1991.
40
Irene Sánchez Guevara
4 Cálculo del parámetro
Pk+l - Pk
+ rP(Pk )
9, V
k
regresar al paso 1
5 Cálculo de los coeficientes Spline
a=Y-Pk'D2Qc
d . =AC'
3h;
i = l m- 1
d.=AC,
-
i=1m-1
3h;
6 Fin
Observar que solo se hizo un cálculo del sistema :
(Q`D2Q)+PkT)
Se hizo un programa para probar el algoritmo , el siguiente es
el diagrama del programa
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Reflexiones Finiseculares : las Matemáticas en las Ciencias Sociales
Alisa
Lee: Datos .y cota
Alisi n t
42
Alisa 1
cálculo de
coeficien te spline
Impresión
Opciones
1. Otras evaluaciones
2. Cambio de Cs
3. Oro conjunto de. datos
4. Terminar
Irene Sánchez Guevara
EJEMPLO
Considere el siguiente conjunto de datos que corresponde a los
pagos mensuales de teléfono de los últimos dos años de una compañía
Mes t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Pago y
362
385
432
341
382
409
498
387
473
513
582
474
544
582
681
557
628
707
773
592
627
725
854
661
Gráfica 1
Después de introducir los datos en el programa alisa, nos da
una cota máxima de 82,300 aproximadamente, con lo que se tendría la recta de mínimos cuadrados. Así con una cota de 80,000 se
tiene un ajuste a una recta de mínimos cuadrados.
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Reflexiones Finiseculares: las Matemáticas en las Ciencias Sociales
Mes t
1
Pago
362
yea l
cota=80,000
datos alisados cota= 80,000
369.04
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
385
432
341
382
409
498
387
473
513
582
474
544
376.48
383.35
390.48
401.22
416.14
433.59
452.20
473.65
496.40
518.00
538.22
560.22
14
15
16
17
582
681
557
628
583.70
606.30
626.34
646.05
300
18
19
20
21
22
707
773
592
627
725
663.95
676.80
685.80
697.53
712.77
100
23
24
854
661
726.27
734.57
900
♦ ''
800
700
•
♦
600
♦ ♦
'
•
♦
500
$
400
200
0
0
10
20
30
mes
Gráfica 2
Si se elige la cota de 40,000, se reproduce con un mínimo error
los datos de la tabla, sólo que ahora se tiene una función continua.
A continuación se presenta los cálculos y las gráficas con dos
cotas diferentes:
44
Irene Sánchez Guevara
Pago
362
385
432
341
382
409
498
387
y cal
Cs=80,000
369.04
376.48
383.35
390.48
401 . 22
416.14
433.59
452. 20
y cal con
Cs=40,000
361.80
385.60
430.90
342.16
381.10
410.19
496.20
388.70
473
473.65
471.80
513
582
474
544
582
681
557
628
707
773
592
627
725
496.40
518.00
538.22
560.22
583.70
606.30
626.34
646.05
663.95
676.80
685.80
697.53
712.77
514.12
580.44
475.60
542.80
583.34
679.14
558.64
627.10
707.98
771.24
593.62
626.16
726.05
854
726.27
852.65
661
734. 57
661.57
Gráfica 3
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Reflexiones Finiseculares: las Matemáticas en las Ciencias Sociales
CONCLUSIONES
La técnica de suavizamiento o alisamiento con funciones Spline toma
las ventajas de los métodos de suavizamiento y el procedimiento presentado calcula automáticamente el parámetro de alisamiento, es
más eficiente que la interpolación polinomial global porque los cálculos matriciales son más eficientes, además genera una función sobre
todo el intervalo de observación con lo que se pueden obtener cálculos
intermedios.
En este trabajo se presentó la técnica solo para una variable, en
trabajos posteriores se presentará para varias variables. El algoritmo se implementó en lenguaje FORTRAN, posteriormente se hará la
programación con MATLAB.
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Ahlberg; Nilson Walsh. The Theory Of Splines And TheirApplications, Mathematics in Science and Engineering, vol 38, Academic
Press, N.Y. 1967.
Makridakis, Wheelwright, McGee. Forecasting Methods and
Applications, 2°Ed. Wiley, 1983.
Reinsh, C. H. Smoothing by Sline Funtions, Number. Math. lo
1967. pp. 177-183.
Sánchez G. I. Alisamiento de datos teoría y métodos numéricos,
col. Avances de Investigación núm. 16, UAM-X, México.
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