UNIDAD 2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior

UNIDAD 2
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
2.1 Definición
Una ecuación diferencial lineal de orden
an ( x )
n tiene la forma:
dny
d n−1 y
dy
(
)
a
x
+
+ a1 ( x ) + a0 ( x ) y = g ( x )
n−1
n
n−1 +
dx
dx
dx
Si las funciones an ( x ) … a0 ( x ) son todas constantes (o cero) entonces se dice que la ecuación es de
coeficientes constantes. Una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n tiene la forma:
an ( x )
dny
d n−1 y
dy
(
)
a
x
+
+ a1 ( x ) + a0 ( x ) y = 0
n−1
n
n−1 +
dx
dx
dx
Es decir, una ecuación diferencial lineal es homogénea si la función
que es no homogénea o inhomogénea1.
g ( x ) es cero. En caso contario, se dice
De las ecuaciones diferenciales de orden superior, la más importante es la ecuación de segundo orden:
a2 ( x )
d2y
dy
( ) + a0 ( x ) y = g ( x )
2 + a1 x
dx
dx
2.2 Problema de valor inicial
De la misma forma como se planteó el problema de valor inicial para una ecuación diferencial de primer
orden, se puede plantear el problema de valor inicial para una ecuación de orden superior:
dny
d n−1 y
dy
(
)
a
x
+
+ a1 ( x ) + a0 ( x ) y = g ( x )
n−1
n
n−1 +
dx
dx
dx
Resolver:
an ( x )
Sujeta a:
y ( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y′0 , …, y (n−1) ( x0 ) = y0(n−1)
( n−1)
donde y0 , y′0 , … y0
son constantes arbitrarias. Al resolver el problema de valor inicial, se busca una
solución particular en algún intervalo I que contenga al punto x0 y que cumpla en dicho punto con los
valores especificados de y y sus derivadas.
Para la ecuación de segundo orden, el problema de valor inicial se simplifica a:
1
d2y
dy
( ) + a0 ( x ) y = g ( x )
2 + a1 x
dx
dx
Resolver:
a2 ( x )
Sujeta a:
y ( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y′0
No confundir con el las ecuaciones diferenciales de primer orden de coeficientes homogéneos que se vieron en la Unidad 1.
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Relacionado al problema de valor inicial, existe también el problema de valores en la frontera:
d2y
dy
( ) + a0 ( x ) y = g ( x )
2 + a1 x
dx
dx
Resolver:
a2 ( x )
Sujeta a:
y ( x0 ) = y0 , y ( x1 ) = y1
2.3 Teorema de existencia y unicidad
Al igual que en el caso de las ecuaciones diferenciales de primer orden, este teorema establece las
condiciones necesarias para que un problema de valor inicial tenga solución (existencia) y que esa solución
sea la única que existe (unicidad).
Sean an ( x ) , an−1 ( x ) , …, a1 ( x ) , a0 ( x ) y g ( x ) continuas en un intervalo I y sea
an ( x ) ≠ 0 para todo x en este intervalo. Si x = x0 es cualquier punto de este intervalo,
entonces existe una solución y ( x ) del problema de valor inicial en el intervalo, y esa
solución es única.
2.4 Dependencia e independencia lineal (wronskiano)
Definición: Se dice que un conjunto de funciones f1 ( x ) , f 2 ( x ) , …, f n ( x ) es linealmente dependiente
en un intervalo I si existen constantes c1 , c2 , …, cn , no todas cero, tales que la combinación lineal de las
funciones c1 f1 ( x ) + c2 f 2 ( x ) + + cn f n ( x ) sea igual a cero para todo x en el intervalo. Si un conjunto de
funciones no es linealmente dependiente, se dice que el linealmente independiente.
Ejemplo: f1 ( x ) = sen 2 x y f 2 ( x ) = sen x cos x son linealmente dependientes en el intervalo −∞< x <∞ ,
ya que por la identidad trigonométrica sen A cos B = 12 [sen ( A − B ) + sen ( A + B )] se puede demostrar que
2sen x cos x − sen 2 x = 0 . En este caso, c1 =−1 y c2 = 2 .
Ejemplo:
5+ x ,
combinación lineal c1
x y x 2 −1 son linealmente independientes porque la única manera de que la
(5+ x ) + c2 x + c3 ( x 2 −1) sea cero es que las constantes c1 , c2 y c3 sean cero.
El siguiente teorema permite determinar si un conjunto dado de funciones es o no linealmente dependiente:
Supóngase que se tiene un conjunto de
n funciones f1 , f 2 , …, f n que tienen al menos
n −1 derivadas. Si el determinante
f1
f1′
f2
f 2′
fn
f n′
f1(n−1)
f 2(n−1)
f n(n−1)
es diferente de cero en al menos en un punto del intervalo I entonces la funciones dadas
f1 , f 2 , …, f n son linealmente independientes en el intervalo.
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Este determinante se designa como W ( f1 , f 2 , …, f n ) y se denomina wronskiano de las funciones, en honor
de Josef Maria Hoëne Wronski (1778-1853) nacido en Polonia, educado en Alemania y que pasó la mayor
parte de su vida en Francia y cuya única contribución significativa a las matemáticas fue el determinante que
lleva su nombre.
Ejemplo:
Ejemplo:
W (sen 2 x,sen x cos x ) = 0 Æ linealmente dependientes.
W ( x, e x , e−x ) = 2 x Æ linealmente independientes.
2.5 Principio de Superposición y Solución General
El principio de superposición se enuncia a partir de los siguientes tres postulados:
ƒ
ƒ
ƒ
Una ecuación diferencial lineal homogénea de orden superior siempre tiene la solución trivial
y = 0.
Si y1 ( x ) es una solución de una ecuación diferencial lineal homogénea, entonces cualquier múltiplo
constante de ella, y = c1 y1 ( x ) también es una solución.
Sean y1 ( x ) ,
de orden n
y2 ( x ) , …, yk ( x ) diferentes soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea
en un intervalo I .
Entonces, la combinación lineal de esas soluciones
y = c1 y1 ( x ) + c2 y2 ( x ) + + ck yk ( x ) donde las constantes c1 , c2 , …, ck son constantes arbitrarias,
es también una solución de la ecuación diferencial.
Se llama conjunto fundamental de soluciones en un intervalo I a cualquier conjunto y1 , y2 , …, yn de
n soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n . A la
combinación lineal del conjunto fundamental de soluciones y = c1 y1 ( x ) + c2 y2 ( x ) + + cn yn ( x ) se le llama
solución general (también llamada solución completa) de la ecuación diferencial.
2.6 Solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden
De las definiciones planteadas en la sección 2.1, se tiene que la forma general de la ecuación diferencial
lineal homogénea de segundo orden es:
a2 ( x )
d2y
dy
+ a1 ( x ) + a0 ( x ) y = 0
2
dx
dx
2.6.1 Elaboración de una segunda solución a partir de una solución conocida
Sea y1 ( x ) una solución no trivial de la ecuación diferencial homogénea de segundo orden.
puede generarse una segunda solución con la fórmula:
y2 = y1
Ejemplo:
x 2 y′′ − 3xy′ + 4 y = 0 , y1 = x 2
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Æ
∫
−
e
Entonces,
a1 ( x )
∫ a ( x ) dx
2
y12
dx
y2 = x 2 ln x
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2.6.2 Solución de ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes
constantes
Se desea encontrar la solución a la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes
constantes:
a
d2y
dy
+ cy = 0
2 +b
dx
dx
donde a , b y c son constantes y a ≠ 0 . Para definir un punto de partida para el análisis de esta
ecuación, considérese primero la ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden con coeficientes
constantes:
A
dy
+ By = 0
dx
−B x
mx
donde m =− BA es constante. Por
Esta ecuación tiene solución general y = Ce A , es decir y = Ce
mx
para la ecuación de segundo orden.
comparación, esto sugiere intentar una solución de prueba y = e
Sustituyendo esta solución de prueba en la ecuación de segundo orden:
d 2 mx
d
a 2 ( e ) + b ( e mx ) + c ( emx ) = 0
dx
dx
a ( m 2 e mx ) + b ( me mx ) + c ( e mx ) = 0
( am2 + bm + c ) emx = 0
Ya que, en general,
e mx ≠ 0 , entonces se llega a la conclusión que:
am 2 + bm + c = 0
Este polinomio se conoce como ecuación característica. Aún cuando se debería obtener siempre
sustituyendo la solución de prueba en la ecuación diferencial, se puede observar que la potencia de m en
cada término de la ecuación característica corresponde con el orden de la derivada de cada término de la
ecuación diferencial, se suele deducir la ecuación característica directamente de la ecuación diferencial.
Las raíces de este polinomio son los valores de m que satisfacen la ecuación característica, generalmente
identificados como m1 y m2 . Las raíces se obtienen por factorización (cuando es posible) o aplicando la
fórmula general para la ecuación cuadrática. La solución general de la ecuación diferencial dependerá
entonces del tipo de estas raíces, de acuerdo con los casos siguientes:
CASO 1: Raíces reales diferentes.
Si las raíces son dos números reales diferentes, la solución general está expresada en
términos de funciones exponenciales de la siguiente forma:
y = C1e m1 x + C2 em2 x
CASO 2: Raíces reales repetidas.
Si las dos raíces son iguales, es decir,
siguiente forma:
m1 = m2 = m , entonces la solución general tiene la
y = C1e mx + C2 xemx
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CASO 3: Raíces complejas conjugadas.
Si las dos raíces son de la forma m1 = α + βi y m2 = α − βi (a veces expresado como
m = α ± βi ), entonces puede aplicarse la fórmula de Euler eiθ = cos θ + i sen θ para escribir
la solución en la forma:
y = C1e αx sen (βx ) + C2 e αx cos (βx )
CASO ESPECIAL 1: Raíces imaginarias puras.
Si las raíces son de la forma m1 = ki y m2 = −ki (o bien m = ± ki ) la solución no tiene parte
exponencial y sólo está formada por funciones trigonométricas:
y = C1 sen ( kx ) + C2 cos ( kx )
CASO ESPECIAL 2: Raíces reales iguales pero de signo opuesto.
Si las raíces son de la forma m1 = k y m2 = −k (o lo que es equivalente, m = ± k ) la
solución puede expresarse en términos de funciones trigonométricas hiperbólicas en vez de
exponenciales:
y = C1 senh ( kx ) + C2 cosh ( kx )
3x
−2 x
Æ
y = C1e + C2 e
Ejemplo: y′′− y′− 6 y = 0
Ejemplo: y′′− 6 y′+ 9 y = 0
Æ
y = C1e 3 x + C2 xe 3 x
Ejemplo: y′′− 4 y′+13 y = 0 sujeta a y (0) = 1 y y′( 0) = 4
Æ
y = e 2 x (cos3x + 2sen 3x )
2.7 Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden superior
Considérese la ecuación diferencial lineal homogénea de orden superior con coeficientes constantes:
dny
d n−1 y
an n + an−1 n−1 +
dx
dx
d2y
dy
+ a2 2 + a1 + a0 y = 0
dx
dx
donde an ≠ 0 . Esta ecuación se resuelven de modo análogo a la ecuaciones de segundo orden: a partir de
la ecuación diferencial, se deduce la ecuación característica, que se factoriza para encontrar las raíces m1 ,
m2 , …, mn . La solución general está dada por la combinación lineal de todas las soluciones, de acuerdo a
los siguientes casos, que son una extensión de los casos para ecuaciones de segundo orden. En cualquier
situación, la solución general de la ecuación de orden n deberá estar formada por la combinación lineal de
n soluciones linealmente independientes y contener n constantes arbitrarias.
CASO 1: Raíces reales diferentes.
Si la ecuación característica tiene k raíces reales diferentes no repetidas, la solución general
debe contener la combinación lineal de cada una de las funciones exponenciales
correspondientes a esas raíces:
e m1 x , em2 x , e m3 x , …, e mk x
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CASO 2: Raíces reales repetidas.
Cuando m j es una raíz real de multiplicidad k (es decir, k raíces son iguales a m j ), la
solución debe contener la combinación lineal de las siguientes k soluciones:
e
mjx
, xe
mjx
, x2e
mjx
Es decir, se agregan soluciones con potencias de
, …, x k−1e
mjx
x hasta tener k soluciones.
CASO 3: Raíces complejas conjugadas repetidas.
Cuando m j = α + β i es una raíz compleja de multiplicidad k , entonces su conjugada
α − βi también es una raíz de multiplicidad k . En este caso, la solución general de la
ecuación diferencial correspondiente debe contener una combinación lineal de las siguientes
2k soluciones:
e αx cos βx, xe αx cos β x, x 2 e αx cos βx, …, x k−1e αx cos β x
e αx sen βx, xeαx sen βx, x 2 e αx sen βx, …, x k−1e αx sen β x
De la misma manera, se ve que se están agregando soluciones con potencias cada vez
mayores de x hasta obtener el número necesario de soluciones.
La etapa más difícil en el proceso de resolver una ecuación diferencial de orden superior homogénea con
coeficientes constantes es encontrar las raíces de la ecuación característica. Hay dos herramientas
algebraicas que pueden ayudar en este paso: la regla de los signos de Descartes y la división sintética.
Regla de los signos de Descartes
Sea la función polinomial f ( m ) = an m + an−1m + + a1m + a0 , se desea encontrar valores de
satisfacen f ( m ) = 0 , es decir, se busca las raíces del polinomio.
n
n−1
m que
1. Se cuentan las variaciones de signo de los términos de f ( m ) , que constituirán el número de
raíces positivas o ese número disminuido en un número par.
2. El número de raíces negativas será el número de variaciones de signo de los términos de
f (−m) o ese número disminuido en un número par.
3.
P será el conjunto de los divisores exactos del coeficiente del término independiente ( a0 ).
4.
Q será el conjunto de los divisores exactos del coeficiente del término de mayor grado ( an ).
5.
R será el conjunto de todas las posibles combinaciones de divisiones de los valores de P entre
los valores de Q , tanto positivas como negativas, sin repeticiones, y forma el conjunto de las
posibles raíces reales.
6. Estas posibles raíces se prueban mediante división sintética y se va reduciendo así el grado del
polinomio.
7. Si, después de ensayar todas las posibles raíces reales no se han encontrado un número de
raíces igual al grado del polinomio, las raíces restantes son raíces complejas (que aparecen en
número par pues siempre son pares conjugados).
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División sintética
Éste es un procedimiento rápido para dividir un polinomio f ( m ) = an m
un factor de la forma ( m − a ) .
1. Si
n
+ an−1m n−1 +
+ a1m + a0 entre
a0 = 0 se debe eliminar un factor común m que representa una raíz m = 0 .
2. Se escriben los coeficientes de las potencias de m en orden descendente de acuerdo a la
potencia de m . Si algún término falta en el polinomio, su coeficiente es cero. Escribir a
continuación de los coeficientes una casilla, y colocar una línea un renglón abajo de los
coeficientes.
Ejemplo: m
1
3. En la casilla se anota el valor
3
−5
− 5m 2 + 2m + 8 = 0
2
8
a de la raíz a probar, que corresponde al divisor ( m − a ) .
1
−5
2
8
2
4. Se copia el primer coeficiente por debajo de la línea.
1
−5
2
8
2
1
5. Se multiplica ese número debajo de la línea por el número de la casilla, y el resultado se anota
en la siguiente columna arriba de la línea.
1
−5
2
2
8
2
1
6. Se suman esa columna y el resultado se anota debajo de la línea.
1
1
−5
2
−3
2
8
2
7. Se repite desde el paso 5 hasta completar todas las columnas.
1
1
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8
−5 2
2 −6 −8
−3 −4 0
2
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8. Si el último número es cero, entonces el número de la casilla sí es una raíz del polinomio y los
números del último renglón corresponden a los coeficientes de un polinomio de grado menor. Si
el último número no es cero, entonces el número de la casilla no es una raíz, los números del
último renglón no tienen significado particular y el proceso debe repetirse probando otra raíz.
9. Con los números del último renglón puede repetirse todo el proceso para encontrar todas las
raíces del polinomio.
Como puede haber raíces múltiples, es conveniente probar una
determinada raíz hasta que se encuentre que ya no es raíz del polinomio.
1
1
1
1
Entonces, la factorización de m
3
−5 2
8
2 −6 −8
−3 −4 0
−1 4
−4 0
4
0
2
−1
4
− 5m 2 + 2m + 8 = 0 es ( m − 2)( m +1)( m − 4) = 0 , o bien
m1 =−1 , m2 = 2 y m3 = 4
2.8 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas
La forma general de una ecuación diferencial lineal de orden superior no homogénea de coeficientes
constantes es:
dny
d n−1 y
an n + an−1 n−1 +
dx
dx
d2y
dy
+ a2 2 + a1 + a0 y = g ( x )
dx
dx
donde an ≠ 0 . La solución de esta ecuación está formada por dos partes, una solución complementaria y
una solución particular (también llamada integral particular) y = yC + yP donde yC es la solución de la
ecuación diferencial homogénea asociada:
an
dny
d n−1 y
+
+
a
n−1
dx n
dx n−1
+ a2
d2y
dy
+ a0 y = 0
2 + a1
dx
dx
La solución particular no debe tener constantes arbitrarias, y puede obtenerse por el método de coeficientes
indeterminados o por el método de variación de parámetros.
2.8.1 Método de coeficientes indeterminados
n
Usando la notación D y para la
derivadas de la siguiente forma:
n -ésima derivada, se puede escribir una combinación lineal de y y sus
an D n y + an−1 D n y +
( an D n + an−1D n +
Donde an D
n
polinomio en
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+ a1Dy + a0 y
+ a1D + a0 ) y
+ an−1 D n + + a1 D + a0 se llama operador diferencial lineal de orden n. Como es un
D , a menudo se abrevia P ( D ) y tiene las siguientes propiedades:
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1.
P ( D ) puede ser factorizado en operadores diferenciales de orden menor, tratándolo como si
fuera un polinomio ordinario.
2. Los factores de
P ( D ) pueden conmutarse.
Un operador diferencial anulador es aquél polinomio P ( D ) que puede reducir una cierta función a cero.
La siguiente tabla muestra los operadores anuladores más comunes y las funciones que pueden anular:
Operador diferencial
D
anula a cada una de las funciones
x n−1 , …, x 2 , x , 1
x n−1e αx , …, x 2 e αx , xe αx , e αx
n
( D − α )n
x n−1 cos βx , …, x 2 cos β x , x cos βx , cos βx
x n−1 sen βx , …, x 2 sen βx , x sen βx , sen β x
( D 2 + β 2 )n
x n−1eαx cos β x , …, x 2 e αx cos βx , xe αx cos βx , e αx cos βx
x n−1eαx sen β x , …, x 2 e αx sen βx , xe αx sen βx , e αx sen β x
n
2
2
2
⎡
⎣ D − 2α D + ( α + β ) ⎤
⎦
Aplicación del método de coeficientes indeterminados:
1. Resolver la ecuación diferencial homogénea asociada para encontrar la solución complementaria
yC .
2. Buscar operadores diferenciales que anulen a las funciones que constituyen g ( x ) , observando
que cuando un operador dado pueda anular a más de un término de g ( x ) no es necesario
repetirlo.
3. De cada operador diferencial se genera una ecuación característica y se determinan sus raíces.
4. Con las raíces obtenidas en el paso anterior, escribir la forma de la solución particular yP ,
empleando A , B , C , etcétera, como constantes arbitrarias. Si alguna de las raíces para la
solución particular ya había aparecido también en la solución complementaria, dichas raíces se
tomarán en cuenta para la multiplicidad.
5. Ya que la solución particular no debe tener constantes arbitrarias, hay que determinar los valores
de las constantes A , B , C , etcétera. Para esto, se sustituye la solución particular en la
ecuación diferencial y se genera una ecuación algebraica con los coeficientes de cada clase de
términos semejantes. El número de ecuaciones obtenidas debe ser el mismo que el número de
constantes buscadas.
6. Se resuelve el sistema de ecuaciones del paso anterior y los valores determinados para las
constantes A , B , C , etcétera, se sustituyen en la solución particular.
7. La solución general de la ecuación diferencial no homogénea será la suma de la solución
complementaria y la solución particular.
Ejemplo:
y′′ − 3 y ′ = 8e3 x + 4sen x
Æ
Se resuelve
y ′′ − 3 y ′ = 0 para encontrar yC = C1 + C2e3 x . Luego,
se buscan operadores anuladores para la parte no homogénea:
sen x
Æ
yP = Axe3 x + B sen x + C cos x
de la ecuación diferencial es
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Æ
( D − 3)
anula a
e3x , ( D 2 + 1) anula a
y P = 83 xe3 x − 25 sen x + 65 cos x . Por lo tanto, la solución
y = C1 + C2 e3 x + 83 xe3 x − 52 sen x + 65 cos x .
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2.8.2 Método de variación de parámetros
La solución general de la ecuación diferencial de segundo orden lineal no homogénea de coeficientes
constantes:
a
es
d2y
dy
+ cy = g ( x )
2 +b
dx
dx
y = yC + yP donde yC se obtiene a partir de la ecuación diferencial homogénea asociada:
d2y
dy
a 2 + b + cy = 0
dx
dx
y
yP = u1 y1 + u2 y2 donde y1 y y2 son las soluciones obtenidas en yC . u1 y u2 se obtienen como:
( )
∫ y Wf x
u1 =−
donde
Ejemplo:
2
y
dx
u2 =
( )
∫ y Wf x
1
dx
f ( x ) = g ( x ) / a y W es el wronskiano de y1 y y2 .
y′′ − 4 y ′ + 4 y = ( x + 1) e 2 x Æ y = C1e2 x + C2 xe2 x + 12 x 2 e2 x + 16 x 3e 2 x
Este método se generaliza a ecuaciones no homogéneas de orden
an
dny
d2y
dy
+
+
a
+ a0 y = g ( x )
2
n
2 + a1
dx
dx
dx
La solución general está dada por y = yC + yP , donde
homogénea asociada y yP = u1 y1 + u2 y2 + + un yn , donde
u1 =
n con coeficientes constantes:
∫ WW dx
1
u2 =
∫ WW dx
yC es la solución de la ecuación diferencial
…
2
un =
∫ WW dx
n
W es el wronskiano de las soluciones y1 , y2 , …, yn de la solución complementaria y Wi es un
determinante con los mismos elementos que el W excepto la i -ésima columna que se sustituye por
0, 0, 0,…., f ( x ) , con f ( x ) = g ( x ) / a .
Ejemplo:
y′′′− 2 y′′− y′+ 2 y = e
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3x
Æ
2x
x
−x
yC = C1e + C2 e + C 3e
e3 x
y = C1e + C2 e + C 3e +
8
2x
x
−x
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