0 . . Ax Bxy Cy Dx Ey F xy xy + + + + + =

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RECONOCIMIENTO DE CÓNICAS Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0
Dada la ecuación general de segundo grado, queremos saber en que casos será una parábola,
hipérbola
P
H o elipse E .
Dicho de otra forma, queremos saber si hay alguna relación entre los coeficientes A, B, C, D, E y F
con la naturaleza de la cónica.
Conocimientos previos:
Hasta ahora hemos visto las definiciones, ecuaciones y gráficas de cada cónica. También sabemos
que las hipérbolas tienen 2 asíntotas, que las elipses no tienen asíntotas y que las parábolas, aunque
no tienen asíntotas, tienen una dirección hacia la cual se dirigen sus ramas y que es el eje.
En resumen, 2 asíntotas, 1 dirección privilegiada o 0 asíntotas.
Dos, una o ninguna......
Cuando resolvemos ecuaciones de segundo grado, a veces la solución es vacía, a veces tiene 1 sólo
elemento y a veces la solución tiene 2 elementos. ¿De que depende esto?
Por otra parte tenemos algunas ideas acerca de límites y quizás con todo esto podamos hacer algo.
Sigamos recolectando lo que sabemos, con un ejemplo previo para fijar ideas.
Si la asíntota fuera y = 3x + 7 , ¿qué límite podremos calcular, que nos ayude en esta tarea?
lim
x→ ± ∞
y
=
x
lim
x→ ± ∞
3x + 7
=
x
lim
x→ ± ∞
3x 7
+
= 3
x x
Si la asíntota es una recta, el límite indicado es un número real. ¿Puede ser 0?
Clasificación de cónicas a partir de la ecuación general.
Volvamos a nuestra ecuación original, la ecuación de las cónicas, y vamos a hacer algunas
transformaciones:
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
Dividimos ambos miembros entre xy.
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F 0
=
x. y
x. y
Ahora aplicamos el método de Napoleón: "divide y vencerás".
Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F
+
+
+
+
+
= 0
x. y x. y x. y x. y x. y x. y
Prof. Saúl Tenenbaum
http://www.x.edu.uy
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Ax
Cy D E F
+ B+
+ + +
= 0
y
x y x x. y
Simplificando:
Vamos a tomar límites cuando las variables tienden a infinito en ambos miembros de esta ecuación.
Recordemos que si tanto x como y tienden a infinito, ocurrirá que el cociente y/x puede tender a
un número real , si es que hay asíntota.
Ax
Cy D E
F
+ B+
+
+
+
=
lim 0
x
y
x x. y
x, y → + ∞ y
x, y → + ∞
lim
Nunca habíamos hecho límites con 2 variables, pero siempre hay una primera vez !!!
D
= 0
y→ ∞ y
E
= 0
x→ ∞ x
Veamos que sabemos..... lim
Y además
y
=m
x
x, y →∞
lim
F
= 0
x , y → ∞ x. y
lim
x
1
=
y
m
x , y →∞
lim
lim
Entonces:
A
+ B + Cm = 0
m
Y ahora vamos a resolver la ecuación de segundo grado en m, luego de sacar común denomidador.
A + Bm + Cm 2 = 0
Reordenando :
Cm 2 + Bm + A = 0
Entonces, para que esta ecuación de segundo grado,
no tenga raices, tendrá que suceder que
tenga 2 raices reales diferentes,
B 2 − 4. A.C < 0
B 2 − 4. A.C > 0
tenga una sóla raiz real, doble,
B 2 − 4. A.C = 0
Prof. Saúl Tenenbaum
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Elipse.
Hipérbola
Parábola
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Ejercicios de aplicación:
1) En las cónicas K1, K2, K3, hay una hipérbola, una parábola y una elipse. ¿Cuál es cada una?
K1) 3x 2 + 4 xy + 5 y 2 + 6 x + 7 y + 8 = 0
K 2 ) 4x 2 + 4 xy + y 2 + 5 x + 7 y + 8 = 0
K3 ) 2x 2 + 6 xy + 3 y 2 + 6 x + 7 y + 8 = 0
2) Hallar los valores de A para que K4 sea una hipérbola.
K 4 ) Ax 2 − 6 xy + 12 y 2 +
2
x + π y + e2 = 0
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3) Discutir, según h real el género de las conicas K5.
K5 ) (h − 1) x 2 − 12 xy + (h + 8) y 2 +
2
x − π 3y − e = 0
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(Investigar el género de una cónica es saber si dicha cónica es hipérbola, parábola o elipse ).
Prof. Saúl Tenenbaum
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