Práctico 5

Curso de Mecánica Cuántica
2014
Instituto de Física
Facultad de Ciencias
Práctico 5
Ejercicio 1.- Imagine un sistema donde hay dos estados posibles, linealmente
independientes:
| 1>= 1 , | 2>= 0
0
1
()
()
El estado más general posible, será una combinación lineal normalizada de
ambos:
2
2
|Φ >=α | 1 >+β| 2 > , |α| +|β| =1.
El Hamiltoniano puede ser expresado como una matriz hermítica, donde h y g
son constantes reales:
h g
H=
.
g h
( )
Suponiendo que el sistema parte en t=0 desde el estado |1 >, ¿cuál será su
estado a tiempo t?
Ejercicio 2.- El Hamiltoniano para cierto sistema de dos niveles está dado
por:
H=ϵ ( |1 > <1 |−|2> <2 |+|1 >< 2 |+|2 > <1 | ) ,
donde {|1 > , |2 > } es una base ortonormal y ϵ es una constante con
unidades de energía. Hallar los autovalores y autofunciones (como
combinación lineal de los estados de la base). ¿ Cuál será la matriz H que
^ en esta base?
representa el Hamiltoniano H
^ , que representa un
Ejercicio 3.- Medidas Secuenciales. Un operador A
observable A, tiene dos autoestados normalizados ψ1 y ψ2 , con autovalores
a1 y a2, respectivamente. Otro operador B^ , que representa un observable B,
tiene dos autoestados normalizados ϕ1 y ϕ2 , con autovalores b1 y b2 . Los
autoestados están relacioneados de manera que:
1
1
ψ1 = (3 ϕ1 +4 ϕ2) , ψ1 = (4 ϕ1−3 ϕ2) .
5
5
a) Se mide el observable A y se obtiene el valor a1. ¿Cuál será el estado del
sistema inmediatamente después de esta medida?
b) Si se mide ahora B, ¿cuáles serán los posibles resultados y sus respectivas
probabilidades?
c) Si ahora se vuelve a medir A, ¿cuál será la probabilidad de volver a medir
a1? (Note que la respuesta sería diferente si el resultado de la medida de B
fuera dado).
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Ejercicio 4.- El Hamiltoniano de cierto
por la siguiente matriz:
1
H=ℏ ω 0
0
(
sistema de tres niveles es representado
0 0
2 0 .
0 2
)
Otros dos observables A y B, son representados, respectivamente por las
siguientes matrices:
0 1 0
2 0 0
A=λ 1 0 0 , B=μ 0 0 1 .
0 0 2
0 1 0
(
) (
)
Suponga que ω , λ , y μ son números reales y positivos.
a) Hallar los autovalores y autovectores (normalizados) de H, A y B.
b) Suponga que el sistema comienza en un estado genérico dado por:
c1
2
2
2
| ψ(t =0) >= c 2 , con |c 1| +|c2| +|c 3| =1.
c3
()
Halle los valores esperados, en t=0, de H, A y B.
c) ¿Cómo será | ψ(t )> ? Si se mide la energía en ese instante (tiempo t), que
valores será posible obtener y con qué probabilidades cada uno? Responda las
mismas preguntas para A y B.
Ejercicio 5.- Sea |n> el autoestado n-ésimo del oscilador armónico, y sean A y
A+, los operadores aniquilación y creación, respectivamente.
a) Probar que A |n >=√ n| n−1 >.
b) Probar que si f(A+) es un polinomio en A+, entonces
d f ( A+ )
A f ( A+ )| 0 >=
|0 > . (Sugerencia: Ver ecuación (6-47) del Gasiorowics).
+
dA
c) Calcular < m| x | n> y mostrar que su valor es nulo a menos que n=m±1.
d) Calcular < m| p | n > .
e) Use los resultados de las partes anteriores para calcular < m| p x |n > y
<m| x p |n >. (Sugerencia: Inserte el operador identidad entre los dos
operadores, utilizando la forma I=∑ k |k > <k | . En las partes (c),(d) y (e) es
útil expresar x y p en función de A y A+.
f) Usar los resultados de (e) para calcular < m| [p , x ]|n >.
g) Probar que tanto <n | x | n > como <n | p |n > son nulos.
h) Calcular < n | x 2 |n > y <n | p2 |n > .
i) Utilizar la definición (Δ x)2 =<n | x 2 | n >−< n | x | n >2 y otra similar para
2
(Δ p) para calcular el producto (Δ x)( Δ p) para el estado |n> del oscilador
armónico.
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Ejercicio 6.- Un estado | α > , que obedece la ecuación A | α >=α | α > , donde
A es el operador aniquilación del oscilador armónico, se llama estado
coherente.
a) Demostrar que | α > puede ser escrito de la forma |α >=C eα A |0> .
b) Usar los resultados del ejercicio anterior para hallar C.
c) Expandir el estado |α > en una serie de autoestados |n > del operador
A+A, y usar el resultado para calcular la probabilidad de que el estado
coherente contenga n cuantos. La distribución hallada se llama distribución de
Poisson.
d) Calcular < α | N | α > , el valor medio de cuantos en el estado coherente,
siendo N= A+A.
+
Ejercicio 7.- La evolución temporal de un observable B está dada por
d
i
B(t )= [ H , B(t )]. Utilice esta ecuación para hallar la dependencia temporal
dt
ℏ
p 2 (t )
del operador x(t), cuando el Hamiltoniano está dado por H=
+ mg x (t ).
2m
Ejercicio 8.- Considere el Hamiltoniano que describe un oscilador armónico en
2
p (t ) 1
un campo eléctrico externo, H=
+ mω2 x (t )2−e E x (t ). Calcule la
2m 2
ecuación de movimiento para x(t) y p(t), de manera similar al ejercicio anterior,
ℏ
utilizando adicionalmente la relación de conmutación [p(t ) , x(t )]= .
i
Demostrar que la ecuación de movimiento queda como la ecuación de
movimiento clásica. Resolver para x(t) y p(t), en función de x(0) y p(0).
Demuestre que [ x (t 1) , x (t 2)]≠0 si t 1≠t 2 . Esto significa que el que dos
operadores conmuten en el mismo tiempo no necesariamente significa que lo
sigan siendo a tiempos distintos.
Ejercicio 9.- Considere una molécula de CN. La molécula puede modelarse
como dos masas M1 y M2 en los extremos de una varilla rígida de masa
despreciable y longitud a. La molécula gira en un plano en torno a un eje
perpendicular que pasa por su centro de masas.
a) Escriba el Hamiltoniano que describe ese movimiento.
b) ¿Cuál es el espectro de energía?
c) Escriba una expresión para la diferencia de energías entre el estado
fundamental y el primer estado excitado en función de las masas y a.
Ejercicio 10.a) Escriba los armónicos esféricos para l=0,1,2, en términos de x,y,z.
b) Calcular < l ,m1 |L x | l , m2 > y < l , m1 |L y | l , m2 >.
2
2
c) Calcular < l ,m1 |L x | l , m2 > y < l , m1 |L y | l , m2 >. (Sugerencia: Las cuentas
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2
son más sencillas en términos de L+ , L- , L+ , L- , etc.).
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Ejercicio 11.- El Hamiltoniano para un rotor axialmente simétrico está dado
2
2
2
L +L
L
por H= x y + z .
2 I1 2 I3
a) ¿Cuáles son los autovalores de H?
b) Bosqueje el espectro, asumiendo que I1 > I3.
c) ¿Cómo queda el espectro en el límite en que I1 ≫I3 ?
Ejercicio 12.- Un sistema es descripto por el Hamiltoniano H=
será el espectro de energía del sistema?
⃗
L2
+ α Lz . ¿Cuál
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Ejercicio 13.- Considere un estado de momento angular total l=2.
a) ¿Cuáles serán los autovalores posibles para Lz?
3
4
L x − Ly ?
b)¿Cuáles serán los autovalores posibles para
5
5
6
c)¿Cuáles serán los autovalores posibles para 2 L x− L y +3 L z ?
5
Ejercicio 14.- Una partícula en un potencial con simetría esférica se encuentra
en un estado descripto por el paquete de ondas
ψ( x , y , z )=C ( x y + y z + z x) e−α r . ¿Cuál será la probabilidad de que una medida
del cuadrado del momento angular dé como resultado 0? ¿Y cuál será la
probabilidad de que la medida dé como resultado 6 ℏ2 ?
Si se determina que el valor de l es igual a 2, ¿cuáles serán las probabilidades
relativas para m=2,1,0,-1,-2?
2
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