Ejercicios propuestos - distribucion normal

EJERCICIOS PROPUESTOS - DISTRIBUCION NORMAL
Procuren resolverlos todos
1.
¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos?
a) La distribución normal es asimétrica
b) Es necesario conocer la media y la desviación estándar para construir una distribución normal
específica.
c) Cada combinación de media y desviación estándar define una distribución normal única.
d) La distribución normal se extiende al infinito en cualquier dirección a partir de la media.
e) La distribución normal se mide en una escala discreta.
f) El área total bajo la curva es igual a 1,0
g) La probabilidad de que una variable aleatoria tenga un valor entre dos puntos cualquiera es igual al área
bajo la curva entre esos dos puntos.
2. ¿Por qué tienen que convertirse los valores de x en valores z?
3. Para medir los conocimientos sobre cierta materia en una misma población, se utilizan dos tipos de pruebas,
A y B. Los resultados en ambas tienen distribución normal y la media de los resultados en la prueba A es
78,3 con una desviación estándar de 4,2 puntos. La media de las puntuaciones en la prueba B es 58,1 y su
desviación estándar de 3,2 puntos. Una persona ha obtenido 83,1 puntos en la prueba A y otra persona ha
conseguido 87,5 en la prueba B. ¿Cuál de las dos personas se encuentra en mejor posición? ¿Por qué?
4. Si Z es una variable aleatoria normal estandarizada,
a)
b)
c)
d)
e)
¿Cuál
¿Cuál
¿Cuál
¿Cuál
¿Cuál
es el rango de la variable aleatoria Z?
es la probabilidad de tomar un valor menor que cero?
es la probabilidad de que Z tome un valor entre -3 y +3?
es la probabilidad de obtener un valor en el rango media más menos dos desviaciones estándar?
es la probabilidad de que Z tome un valor comprendido entre –1,28 y +1,65.
5. Usando su tabla de probabilidad normal determine las siguientes probabilidades para la variable aleatoria
normal estándar (Dibuje una curva normal y sombree el área bajo la curva):
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
P ( Z < 1,32 )
P ( -2,34 < Z < 1,76 )
P ( Z < 3,00 )
P(0<Z<1)
P ( Z > 1,457 )
P ( -3 < Z < 3 )
P ( Z > -2,153 )
6. Suponga que Z tiene una distribución normal estándar. Determine el valor de z que resuelve las siguientes
probabilidades (Dibuje una curva normal, sombree el área bajo la curva y ponga los valores
correspondientes en el eje horizontal):
a)
b)
c)
d)
P (-z < Z < z ) = 0,95
P ( Z < z ) = 0,9
P (-z < Z < z ) = 0,99
P ( Z < z ) = 0,5
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Procuren resolverlos todos
e)
f)
g)
h)
P (-z < Z < z ) = 0,684
P( Z > z ) = 0,1
P (-z < Z < z ) = 0,9973
P ( -1.24 < Z < z ) = 0,8
7. Averigüe el valor z que corresponde a cada área descrita:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
El
El
El
El
El
El
70% de los elementos está a la derecha de este valor z.
20% de los elementos se encuentra a la izquierda de este valor z.
10% de los elementos es mayor que este valor z.
60% de los elementos es menor que este valor z.
50% de los elementos se encuentran a la derecha de este valor z
30% de los elementos se encuentran a la izquierda de este valor z
8. La duración de un determinado tipo de lavadora automática tiene una distribución normal, con una media de
3,1 años y una desviación estándar de 1,2 años. La compañía ofrece en su garantía que si la lavadora
presenta algún defecto será reemplazada.
a) Describa gráficamente esta distribución en particular.
b) Si la lavadora está garantizada por un año, ¿qué proporción del total de unidades vendidas tendrá que
ser reemplazada?
c) Si el fabricante de las lavadoras está dispuesto a reemplazar sólo el 3% de las lavadoras que vende.
¿Por cuántos meses debe ofrecer la garantía para asegurar que no más de un 3% de las lavadoras
tendrá que ser reemplazada?
d) ¿Qué porcentaje de las lavadoras vendidas van a durar entre 3 y 6 años?
9. El consumo promedio de combustible de una flota de 1,000 camiones sigue una distribución normal con una
media de 12 millas por galón y una desviación estándar de 2 millas por galón.
a)
b)
c)
d)
¿Cuántos camiones tendrán un promedio de 11 millas o más por galón?
¿Cuántos camiones tendrán un promedio de menos de 10 millas por galón?
¿Cuántos camiones tendrán un promedio entre 9,5 y 14 millas por galón?
Averigüe la probabilidad de que un camión elegido al azar tenga un promedio de 13,5 millas por galón o
más.
e) ¿El 70% de los camiones tuvo un promedio más alto que cuántas millas por galón?
f) ¿El 10% de los camiones tuvo un promedio menor que cuántas millas por galón?
10. El departamento de mantenimiento de LMart, tiene instrucciones de reemplazar todas las ampolletas al
mismo tiempo. La experiencia anterior indica que la vida útil de las ampolletas tiene una distribución
normal con una vida media de 750 horas y una desviación estándar de 40 horas. ¿Cuándo se deben cambiar
las ampolletas para que sólo el 7% se funda?
11. Una empresa ha encontrado que la duración de sus llamadas telefónicas a larga distancia, tiene
aproximadamente una distribución normal, con media de 3 minutos y desviación típica de 3 minutos.
a) ¿En qué proporción las llamadas a larga distancia tienen una duración de más de 2 minutos, pero de
menos de 3 y medio minutos?
b) ¿Qué proporción de llamadas se completan en 1 minuto o menos?
c) Una secretaria va a hacer una llamada a larga distancia. ¿Cuál es la probabilidad de que dure más de 5
minutos?
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12. El gerente de personal de una gran compañía requiere que los postulantes a un puesto efectúen una prueba
de aptitud y que en ella obtengan una calificación mínima de 500. Si las calificaciones de la prueba se
distribuyen normalmente con una media de 485 y desviación estándar de 30:
a) ¿Qué porcentaje de postulantes aprobará la prueba?
b) Si aquellos postulantes que obtienen un puntaje comprendido entre 471 y 499 pueden optar a una
segunda oportunidad, y un total de 1200 postulantes rindió la primera prueba, ¿cuántos de los 1200
postulantes tendrán derecho a rendir la prueba por segunda vez?
c) Si el puntaje de la segunda prueba se relaciona con el puntaje de la primera prueba a través de la
expresión: Y=1.25 X + 2.5, donde Y es el puntaje en la segunda prueba y X es el puntaje obtenido en la
primera prueba, determine la probabilidad de que en el segunda prueba un postulante cualquiera elegido
al azar obtenga el puntaje aprobatorio de 500 puntos o más.
d) Determine un puntaje “k” correspondiente al percentil 90 de la distribución. Interprete.
13. Se regula una máquina despachadora de refresco para que sirva un promedio de 200 mililitros por vaso. Si
la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar igual a 15 mililitros,
a) ¿cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?
b) ¿cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes
1000 bebidas?
c) ¿por debajo de qué valor obtendremos 25% de las bebidas más pequeñas?