Ejercicios Propuestos Normal

EJERCICIOS PROPUESTOS - DISTRIBUCION NORMAL
1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos?
a) La distribución normal es asimétrica
b) Es necesario conocer la media y la desviación estándar para construir una distribución
normal específica.
c) Cada combinación de media y desviación estándar define una distribución normal única.
d) La distribución normal se extiende al infinito en cualquier dirección a partir de la media.
e) La distribución normal se mide en una escala discreta.
f) El área total bajo la curva es igual a 1,0
g) La probabilidad de que una variable aleatoria tenga un valor entre dos puntos cualquiera
es igual al área bajo la curva entre esos dos puntos.
2. ¿Por qué tienen que convertirse los valores de x en valores z?
3. Para medir los conocimientos sobre cierta materia en una misma población, se utilizan dos
tipos de pruebas, A y B. Los resultados en ambas tienen distribución normal y la media de los
resultados en la prueba A es 78,3 con una desviación estándar de 4,2 puntos. La media de las
puntuaciones en la prueba B es 58,1 y su desviación estándar de 3,2 puntos. Una persona ha
obtenido 83,1 puntos en la prueba A y otra persona ha conseguido 87,5 en la prueba B. ¿Cuál
de las dos personas se encuentra en mejor posición? ¿Por qué?
4. Si Z es una variable aleatoria normal estandarizada,
a)
b)
c)
d)
¿Cuál es el rango de la variable aleatoria Z?
¿Cuál es la probabilidad de tomar un valor menor que cero?
¿Cuál es la probabilidad de que Z tome un valor entre -3 y +3?
¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor en el rango media más menos dos
desviaciones estándar?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que Z tome un valor comprendido entre –1,28 y +1,65.
5. Usando su tabla de probabilidad normal determine las siguientes probabilidades para la
variable aleatoria normal estándar (Dibuje una curva normal y sombree el área bajo la
curva):
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
P
P
P
P
P
P
P
(
(
(
(
(
(
(
Z < 1,32 )
-2,34 < Z < 1,76 )
Z < 3,00 )
0<Z<1)
Z > 1,457 )
-3 < Z < 3 )
Z > -2,153 )
6. Suponga que Z tiene una distribución normal estándar. Determine el valor de z que resuelve
las siguientes probabilidades (Dibuje una curva normal, sombree el área bajo la curva y
ponga los valores correspondientes en el eje horizontal):
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
P (-z < Z < z ) = 0,95
P ( Z < z ) = 0,9
P (-z < Z < z ) = 0,99
P ( Z < z ) = 0,5
P (-z < Z < z ) = 0,684
P( Z > z ) = 0,1
P (-z < Z < z ) = 0,9973
P ( -1.24 < Z < z ) = 0,8
Instituto de Matemática y Física – Universidad de Talca
[email protected]
7. Averigüe el valor z que corresponde a cada área descrita:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
El
El
El
El
El
El
70%
20%
10%
60%
50%
30%
de
de
de
de
de
de
los
los
los
los
los
los
elementos
elementos
elementos
elementos
elementos
elementos
está a la derecha de este valor z.
se encuentra a la izquierda de este valor z.
es mayor que este valor z.
es menor que este valor z.
se encuentran a la derecha de este valor z
se encuentran a la izquierda de este valor z
8. La duración de un determinado tipo de lavadora automática tiene una distribución normal, con
una media de 3,1 años y una desviación estándar de 1,2 años. La compañía ofrece en su
garantía que si la lavadora presenta algún defecto será reemplazada.
a) Describa gráficamente esta distribución en particular.
b) Si la lavadora está garantizada por un año, ¿qué proporción del total de unidades vendidas
tendrá que ser reemplazada?
c) Si el fabricante de las lavadoras está dispuesto a reemplazar sólo el 3% de las lavadoras
que vende. ¿Por cuántos meses debe ofrecer la garantía para asegurar que no más de un
3% de las lavadoras tendrá que ser reemplazada?
d) ¿Qué porcentaje de las lavadoras vendidas van a durar entre 3 y 6 años?
9. El consumo promedio de combustible de una flota de 1,000 camiones sigue una distribución
normal con una media de 12 millas por galón y una desviación estándar de 2 millas por galón.
a)
b)
c)
d)
¿Cuántos camiones tendrán un promedio de 11 millas o más por galón?
¿Cuántos camiones tendrán un promedio de menos de 10 millas por galón?
¿Cuántos camiones tendrán un promedio entre 9,5 y 14 millas por galón?
Averigüe la probabilidad de que un camión elegido al azar tenga un promedio de 13,5
millas por galón o más.
e) ¿El 70% de los camiones tuvo un promedio más alto que cuántas millas por galón?
f) ¿El 10% de los camiones tuvo un promedio menor que cuántas millas por galón?
10. El departamento de mantenimiento de LMart, tiene instrucciones de reemplazar todas las
ampolletas al mismo tiempo. La experiencia anterior indica que la vida útil de las ampolletas
tiene una distribución normal con una vida media de 750 horas y una desviación estándar de
40 horas. ¿Cuándo se deben cambiar las ampolletas para que sólo el 7% se funda?
11. Una empresa ha encontrado que la duración de sus llamadas telefónicas a larga distancia,
tiene aproximadamente una distribución normal, con media de 3 minutos y desviación típica
de 3 minutos.
a) ¿En qué proporción las llamadas a larga distancia tienen una duración de más de 2
minutos, pero de menos de 3 y medio minutos?
b) ¿Qué proporción de llamadas se completan en 1 minuto o menos?
c) Una secretaria va a hacer una llamada a larga distancia. ¿Cuál es la probabilidad de que
dure más de 5 minutos?
Instituto de Matemática y Física – Universidad de Talca
[email protected]
12. El gerente de personal de una gran compañía requiere que los postulantes a un puesto
efectúen una prueba de aptitud y que en ella obtengan una calificación mínima de 500. Si las
calificaciones de la prueba se distribuyen normalmente con una media de 485 y desviación
estándar de 30:
a) ¿Qué porcentaje de postulantes aprobará la prueba?
b) Si aquellos postulantes que obtienen un puntaje comprendido entre 471 y 499 pueden
optar a una segunda oportunidad, y un total de 1200 postulantes rindió la primera prueba,
¿cuántos de los 1200 postulantes tendrán derecho a rendir la prueba por segunda vez?
c) Si el puntaje de la segunda prueba se relaciona con el puntaje de la primera prueba a
través de la expresión: Y=1.25 X + 2.5, donde Y es el puntaje en la segunda prueba y X
es el puntaje obtenido en la primera prueba, determine la probabilidad de que en el
segunda prueba un postulante cualquiera elegido al azar obtenga el puntaje aprobatorio
de 500 puntos o más.
d) Determine un puntaje “k” correspondiente al percentil 90 de la distribución. Interprete.
13. Se regula una máquina despachadora de refresco para que sirva un promedio de 200 mililitros
por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar
igual a 15 mililitros,
a) ¿cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?
b) ¿cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las
siguientes 1000 bebidas?
c) ¿por debajo de qué valor obtendremos 25% de las bebidas más pequeñas?
Instituto de Matemática y Física – Universidad de Talca
[email protected]