Capítulo 1

1
Divisibilidad y primeros resultados
En este capı́tulo recordamos conceptos ya conocidos por el estudiante en cursos
anteriores y
1.1 Divisibilidad
En esta primera sección repasamos algunos resultados conocidos por el estudiante e introduciremos notación que usaremos a lo largo de este curso. Las
demostraciones de estos resultados elementales se omiten.
Definición 1.1 Un número natural a es divisible por b 6= 0, y se escribe b|a,
si existe c ∈ N tal que a = bc; se dice a múltiplo de b, b divisor de a o que b
divide a a.
Un número p ∈ N es primo si sus únicos divisores son 1 y p.
Los conceptos de divisibilidad y primalidad se remontan hasta la antigüedad.
La siguiente proposición se prueba fácilmente.
Proposición 1.2 Sean a, b, c, m y n ∈ N.
(i) Se cumple que a|0; 1|a y a|a;
(ii)Si a|b entonces a|bc para todo c ∈ N;
(iii)Si a|b entonces ac|bc;
(iv)Si a|b y b|c entonces a|c;
(v) Si a|b y a|c entonces a|mb + nc;
(vi)Si a|b entonces a ≤ b;
(vii) Si a|b y b|a entonces a = b.
Dados a, b ∈ N, por el apartado (vi) de la proposición anterior existe un
único mayor entero positivo d ∈ N tal que d|a y d|b. Éste número se llama
máximo común divisor y lo denotaremos por m.c.d(a, b).
8
Divisibilidad y primeros resultados
Teorema 1.3 (Algoritmo de la división) Sean a, b ∈ N con a < b. Entonces
existen únicos q, r ∈ N tal que b = aq + r con 0 ≤ r < a. Es más, a|b si y solo
si r = 0.
Una consecuencia inmediata del algoritmo de la división es que puede
usarse el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor, d, de
dos números enteros a, b, [?, p. 27]. En este caso, existen m, n ∈ Z tales que
m.c.d(a, b) = d = ma + nb.
La identidad anterior se conoce como identidad de Bézout. La identidad de
Bézout no sólo funciona en el anillo de los enteros, sino que también es válido
en cualquier otro dominio de ideales principales (DIP). Una consecuencia de
la identidad de Bézout es el siguiente corolario.
Corolario 1.4 Si p es primo y p|ab entonces p|a ó p|b.
Teorema 1.5 (Teorema fundamental de la aritmética). Todo número natural puede descomponerse de manera única, excepto por reordenación de los
factores, en producto de sus factores primos.
El teorema anterior nos resulta bastante obvio, al conocer perfectamente
la estructura
de Z y por√tanto de N. Sin embargo, en otros √
anillos no es√cierto.
√
Sea Z( −5) := {a + b −5 ; a, b ∈ Z}. Los números 1 + 2 −5, 1 − 2 −5, 3
y 7 son primos diferentes y se cumple que
√
√
3 · 7 = (1 + 2 −5)(1 − 2 −5).
√
El anillo Z( −5) no es un D.F.U. (dominio de factorización única).
1.2 Algunos resultados acerca de la distribución de números
primos
La sucesión de los números primos,
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, . . .
ha interesado a los matemáticos a lo largo de la historia. Es fácil plantearse
diversas preguntas. Algunas de estas preguntas podrı́an ser las siguientes.
(i) ¿cúantos números primos existen?;
(ii) Si existen una cantidad infinita, ¿ podemos “medir” el tamaño de ese
infinito ?;
(iii)¿cómo se distribuyen en el conjunto de los números naturales?;
(iv)¿existe alguna función algebraı́ca f : N → N tal que f (n) es primo para
todo valor de n ∈ N ?.
Algunos resultados acerca de la distribución de números primos
9
Empezemos por la última de las preguntas. Es curioso comprobar que el
polinomio
f (n) = n2 − n + 41,
n ∈ N,
proporciona valores primos para n = 1 . . . 40 y sin embargo f (41) = 412 .
P. Fermat in 1650 conjeturó que los números Fn definidos mediante
n
Fn = 22 + 1,
n ∈ N,
eran números primos para todo valor de n. Llegó a tal conclusión comprobando
que
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537,
eran primos. Sin embargo estaba equivocado. Euler en 1732 probó que
F5 = 232 + 1 = 4.294.967.297 = 641 · 6.700.417,
y hasta hoy no se han encontrado más primos de Fermat. Se ha probado que
Fn no es primo para 5 ≤ n ≤ 32. Hay que tener en cuenta que los números de
Fermat son tan grandes que es difı́cil trabajar con ellos. La idea original de la
prueba de Euler para F5 puede encontrarse en
http://www.uv.es/fivorra/Matematicas/prifer.htm .
Más información sobre los números de Fermat aparece en la enciclopedia
Wikipedia,
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat number .
Algunas propiedades de los números de Fermat son las siguientes.
Lema 1.6 Sean (Fn )n≥1 los números de Fermat, definidos mediante
n
Fn = 22 + 1,
n ∈ N.
Entonces
(i) Fn |(Fn+k − 2) para n, k ≥ 1;
(ii)m.c.d(Fn , Fm ) = 1 para todo n 6= m, es decir, dos números de Fermat
distintos son primos entre sı́.
k
Demostración. Probemos (i) Notemos que x2 − 1 = (x + 1)(x2
. . . − 1, para k ≥ 1 y por tanto
n+k
n k
k
−1
− x2
k
−2
+
k
k
k
Fn+k − 2
22
−1
22 2 − 1
x2 − 1
= 2n
= 2n
=
= x2 −1 − x2 −2 + . . . − 1,
Fn
2 +1
2 +1
x+1
n
donde x = 22 y Fn |(Fn+k − 2) para n, k ≥ 1.
Para (ii), supongamos que m|Fn y m|Fn+k con n, k ≥ 1. Es claro que m
es impar y por la parte (i), m|Fn+k − 2. Por tanto m|2 y al ser impar m|1 y
concluimos m = 1. u
t
Teorema 1.7 Existen infinitos números primos en N.
10
Divisibilidad y primeros resultados
Demostración. Propondemos dos demostraciones de este resultado. La primera
se atribuye a Euclides. Supongamos que existe un conjunto finito de números
primos,
P := {p1 , p2 , p3 , . . . , pn }.
Consideramos m := p1 p2 · · · pn +1. El número m no es primo, en caso contrario
m ∈ P pero m > pi para todo 1 ≤ i ≤ n. Por tanto existe un primo p que
divide a m y p ∈ P . Ası́, p = pi para algún pi ∈ P y
pi |m = p1 , p2 , p3 , . . . , pn + 1,
y por tanto pi |1. En conclusión pi = 1, llegando a contradicción.
La segunda demostración es debida a Polya y se basa en la siguiente observación. Sea (an ) una sucesión de números naturales tales que
m.c.d(an , am ) = 1
para todo n 6= m. Entonces el número de primos debe ser mayor o igual que el
cardinal de la sucesión (an ). Tomemos como an = Fn los números de Fermat.
Por el Lema 1.10 (ii), m.c.d(Fn , Fm ) = 1 y por la observación anterior, existen
infinitos números primos u
t
El siguiente teorema se debe a Euler. Este resultado constituyó un hito en
la Teorı́a de números. La conexión entre los números primos y el función de
variable compleja ζ,
∞
X
1
ζ(z) =
,
<z > 1,
nz
n=1
fue la que retomó en 1850 B. Riemann para plantear en su famoso artı́culo el
camino para la demostración del teorema del número primo.
Teorema 1.8 La suma de los inversos de los números primos diverge,
X 1
= ∞.
p
p,primo
Demostración. Sea s > 1. Debido a que
(1 −
1 −1 X 1
) =
,
ps
pjs
j=1
con p un número primo y al teorema 1.5, se cumple que
∞
X
Y
1
1
=
(1 − s )−1 .
s
n
p
n=1
p,primo
Sea R(x) = log(1 − x) + x para x ∈ [0, 12 ]. Entonces
Teorema de Chebychev
log(
11
∞
X
X
X 1
X
1
1
1
)
=
−
log(1
−
)
=
−
R( s ).
s
s
s
n
p
p
p
n=1
p,primo
p,primo
p,primo
Es fácil probar que |R(x)k ≤ 4x2 para x ∈ [0, 12 ], y por tanto
|
X
R(
p,primo
Por tanto
X 1
X 1
1
2π 2
)|
≤
4
≤
4
=
.
ps
p2s
n2
3
n=1
p,primo
Ã
!
∞
X
1
1
lim
= lim log(
) = ∞,
s→1
s→1
ps
ns
n=1
p,primo
X
y el teorema está probado u
t
Notas Un consecuencia inmediata del teorema anterior es la existencia de
infinitos primos y que se distribuyen de “forma lenta en los números naturales.
Otras demostración de este resultado puede encontrarse en Wikipedia,
http://en.wikipedia.org/wiki/
Proof that the
sum
of the reciprocals
of the
primes
diverges
El Teorema de Brun es un teorema probado por el matemático noruego
Viggo Brun en 1919. Sea P (x) el número de primos p, con p ≤ x tal que
p + 2 es también primo, (a los números p y p + 2 se les llama primos gemelos).
Entonces, para x = 3, se tiene que
P (x) < c
x
(log(log x))2 ,
(log x)2
para alguna constante c > 0. Este resultado prueba que la suma de los inversos
de los primos gemelos converge, es decir,
µ
¶ µ
¶ µ
¶
X
1
1
1 1
1 1
1
1
+
=
+
+
+
+
+
+ . . . < ∞.
p p+2
3 5
5 7
11 13
p,p+2,primos
El valor de esta suma se llama constante de Brun. Notemos que no podemos concluir la existencia de infinitos primos gemelos y éste sigue siendo un
problema abierto en teorı́a de números.
1.3 Teorema de Chebychev
En 1850 el matemático Chebychev, introdujo las funciones aritméticas Θ y Ψ ,
definidas mediante
X
Θ(x) :=
log p,
x ≥ 1,
p≤x
donde la suma se toma sobre los primos p menores o iguales que x y
12
Divisibilidad y primeros resultados
X
Θ(x) :=
log p,
x ≥ 1,
pm ≤x
donde la suma se toma sobre los primos py numeros naturales m tales que
pm ≤ x. Notemos que se cumple
X · log x ¸
1
1
1
log p,
Ψ (x) = Θ(x) + Θ(x 2 ) + Θ(x 3 ) + . . . + Θ(x k ) + . . . =
log p
p≤x
donde [ ] denota la función parte entera. Las funciones Θ y Ψ son ejemplos
de funciones aritméticas que estudiaremos con más detalle en el siguiente
capı́tulo.
Recodemos que dada (an ) ⊂ R+ una sucesión, entonces lim supn (an ) existe
donde
lim sup(an ) := lim sup{an ; n ≥ k};
n
n
k
similarmente, se define lim inf n (an ).
Teorema 1.9 Los tres cocientes
π(x)
,
x/ log(x)
Ψ (x)
,
x
Θ(x)
,
x
tienen los mismos tipos de indeterminación, es decir
lim sup
x
y
lim inf
x
π(x)
Ψ (x)
Θ(x)
= lim sup
= lim sup
,
x/ log(x)
x
x
x
x
π(x)
Ψ (x)
Θ(x)
= lim inf
= lim inf
.
x
x
x/ log(x)
x
x
Demostración. Probaremos la igualdad de los lı́mites superiores dejando como
ejercicio la igualdad de los lı́mites inferiores. Sean
A1 := lim sup
x
π(x)
;
x/ log(x)
A2 := lim sup
x
Ψ (x)
;
x
A3 := lim sup
Notemos que A1 , A2 , A3 ∈ R+ ∪ {∞}. Como se cumple que
Θ(x) ≤ Ψ (x) ≤
X log(x)
log(p) = π(x) log(x),
log(p)
p≤x
se deduce que A2 ≤ A3 ≤ A1 .
Tomemos x > 1 y 0 < α < 1. Entonces
X
Θ(x) ≥
log(p) ≥ (π(x) − π(xα )) log(xα ),
xα <p≤x
x
Θ(x)
.
x
Teorema de Chebychev
13
y por tanto
π(x) xα
π(x)
log(x)
Θ(x)
≥ α log(x)(
−
) = α(
− 1−α ).
x
x
x
x/ log(x)
x
Tomando lim sup se obtiene la desigualdad A2 ≥ αA1 para todo α ∈ (0, 1) y
por tanto A2 ≥ A1 , concluyendo la igualdad A1 = A2 = A3 . u
t
En 1848 fue Chebyshev quien demostró, que si dicho cociente tenı́a lı́mite,
este lı́mite debı́a ser 1. Sin embargo, no fue capaz de demostrar que el cociente
tenı́a lı́mite. La prueba de este resultado fue completada solamente dos años
después de la muerte de Chebyshev, en 1896 por Hadamard y por de la Vallée
Poussin, independientemente uno del otro. En realidad probaron que
Z x
dy
π(x) ∼ Li(x) =
,
x ≥ 2.
2 log(y)
Lema 1.10 La desigualdad Θ(x) < (2 log(2))x se cumple para x ≥ 1.
Demostración. Notemos que basta probar la desigualdad para números naturales:
Θ(x) = Θ([x]) < (2 log(2))[x] ≤ (2 log(2))x,
x ≥ 1.
µ
¶
2m + 1
Sea ahora m ∈ N y N :=
. Se cumple que 2N < 22m+1 ya que
m
(1 + 1)2m+1 =
2m+1
X µ
j=0
2m + 1
j
¶
≥
µ
¶ µ
¶
2m + 1
2m + 1
+
= 2N.
m
m+1
Sea ahora p un número primo tal que p ∈ (m + 1, 2m + 1]. Es claro que p
divide al numerador pero no al denominador de N y por tanto p|N . Por tanto
2m+1
Y
p ≤ N,
p>m+1
y tomando logaritmos se tiene que
Θ(2m + 1) − Θ(m + 1) =
2m+1
X
log(p) ≤ log(N ) < 2m log(2).
p>m+1
Probemos por inducción la desiguadad buscada para los números naturales. Se comprueba que Θ(1) = log(1) = 0 < 2 log(2). Supongamos que
la desiguadad es cierto para todo número natural m con m < n (inducción
completa). Si n es par, entonces
Θ(n) = Θ(n − 1) < (2 log(2))(n − 1) < (2 log(2))n.
Si n es impar, entonces n = 2m+1 y por la desigualdad obtenida en el párrafo
anterior y la hipótesis de inducción se obtiene,
14
Divisibilidad y primeros resultados
Θ(n) < 2m log(2)+Θ(m+1) < 2m log(2)+2(m+1) log(2) = 2(2m+1) log(2),
concluyendo el resultado.
u
t
Se dice que un número p divide exactamente k veces a un entero n si pk
divide a n pero pk+1 no lo divide.
Lema 1.11 El número de veces que un primo p divide a a m! es exactamente
· ¸ · ¸ · ¸
· ¸
m
m
m
m
+ 2 + 3 + ... + n
p
p
p
p
h i
Demostración. Notemos que en la colección {1, 2, 3, . . . , m} hay m
p números
h i
que son divisibles por p. En general hay pmk números que son divisble por
pk . Por lo tanto la cantidad de números henteros
i hen {1,
i 2, 3, . . . , m} que son
m
m
divisibles exactamente k veces es igual a pk − pk+1 , es decir, p divide a
m! exactamente
X µ· m ¸ · m ¸¶ X · m ¸
k
− k+1
=
,
pk
p
pk
k≥1
k≥1
veces. u
t
El siguiente resultado es debido a Chebychev.
Teorema 1.12 Existen constantes 0 < c ≤ 1 ≤ C tal que
c
x
x
≤ π(x) ≤ C
,
log(x)
log(x)
x > 2.
Demostración. Notemos que por el Teorema 1.9, basta probar que existen
constantes c, C > 0 tales que
Θ(x) < Cx,
Ψ (x) > cx,
x ≥ 2.
La primera desigualdad
¡ se
¢ cumple por el Lema 1.10.
Sea n ∈ N y N = 2n
n . Es claro que
N>
22n
.
2n + 1
Por el lema 1.11, se tiene que
N=
Y
psp ,
p≤2n
P
donde sp = k≥1
y ≥ 0, entonces
h
2n
pk
i
h
−2
n
pk
i
. Debido a que [2y] − 2[y] ∈ {0, 1} para todo
Teorema de Chebychev
sp =
15
£ log(n) ¤
¸
log(p) µ·
X
2n
k≥1
pk
·
n
−2 k
p
¸¶
·
¸
log(n)
≤
.
log(p)
Por tanto se tienen las desigualdaddes
Y £ log(n) ¤
22n
<N <
p log(p) .
2n + 1
p≤2n
Tomando logaritmos, tenemos que
X · log(n) ¸
log(p) > log(N ) > 2n log(2) − log(2n + 1)
Ψ (2n) =
log(p)
p≤2n
para n ∈ N. Sea ahora x ≥ 1, se cumple que
hxi
hxi
hxi
Ψ (x) ≥ Ψ (2
)>2
log(2)−log(2
+1) > x log(2)−log(x+1)−2 log(2).
2
2
2
Tomando lim inf, se sigue lim inf
que Ψ (x) > cx para x > 2. u
t
Ψ (x)
x
≥ log(2), y por tanto existe c > 0 tal
Notas. Las constantes C y c del teorema anterior se pueden estimar. En [?,
Theorem 4.6], se prueba las desigualdades para c = 16 y C = 6. En el teorema
original de Chebychev, [?] se prueba que
0, 921x < Ψ (x) < 1, 106x;
El matemático inglés J. Sylvester en un trabajo de 1881 probó que
0, 96695
x
x
< π(x) < 1, 04423
;
log(x)
log(x)
para x suficientemente grande.
En 1845 el matemático francés Joseph Bertrand verificó que para cada
entero n entre 2 y 6,000,000 existe siempre como mı́nimo un primo entre n y 2n.
Este resultado pero para todo número n fue demostrado por primera vez por
el matemático ruso P.L. Chebychev en 1851. Vamos a dar una demostración
”elemental” de este postulado, o sea una demostración donde se usan solo
resultados ”elementales” de matemáticas. Esta demostración es debida a P.
Ërdos, uno de los matemáticos más geniales del siglo XX, que la descubrió
cuando tenia solo 18 años.
Teorema 1.13 (Postulado de Bertrand)Para todo entero positivo n existe un
primo p tal que n < p ≤ 2n.
16
Divisibilidad y primeros resultados
Demostración. Supongamos que n ≤ 520. Consideramos la cadena de primos
2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 521.
Es directo probar que se cumple pi < pi+1 < 2pi . Por tanto existe pi tal que
pi ≤ n < pi+1 < 2pi ≤ 2n,
y por tanto pi+1 ∈ (n, 2n].
Sea n ≥ 521. La demostración la plantearemos por reducción al absurdo.
Supongamos que no existe ningún primo p ∈ (n, 2n]. Consideramos el número
¡ ¢
(2n)!
2
combinatorio N = 2n
n = (n!)2 , y sea p primo tal que p ∈ ( 3 n, n]. Es claro
que p no divide a N y por tanto
Y
Y
Y
N=
psp =
psp
psp ,
p≤ 23 n
√
p≤ 2n
√
2n<p≤ 23 n
h
i
√
sp
donde sp = log(2n)
≤ 2n. Por otro lado si p > 2n entonces
log(p) . Es claro que p
sp ≤ 1 y por tanto
Y
Y
22n
<N =
psp
2n + 1
√
√
p≤ 2n
2n<p≤ 23 n
Y
√
2n
p ≤ (2n)
√
2n<p≤ 32 n
Por el Lema 1.10, se tiene Θ(k) < 2k log(2) y por tanto
donde se deduce la desigualdad
Q
p≤k
p
p ≤ 22k , de
√
4
22n
< (2n) 2n 2 3 n ;
2n + 1
simplificando y tomando logaritmos se obtiene la desigualdad equivalente
1
2
log(2) < (2n) 2 log(2n) + log(2n + 1),
3
la cual es falsa para n ≥ 521, llegando a contradicción. t
u
Notas. En [?, Teorema 4, p.393] se prueba que si x ≥ 115, entonces existe un
primo p en el intervalo [x, 10
9 x].
Es una área activa en teoria de números probar la existencia de primos en
intervalos del tipo (x, x + xθ ) con θ < 1.
Para terminar presentamos el siguiente corolario del postulado de Beltrand.
Corolario 1.14 Existe α ∈ (1, 2) tal que la sucesión definida por α0 = α y
αn+1 = 2αn cumple que [αn ] es primo para todo n ∈ N.
Demostración. Tomamos p1 = 3 y elegimos una sucesión de números primos
pn tal que que
Teorema de Chebychev
17
2pn < pn+1 ≤ 21+pn .
Esta sucesión existe por el postulado de Bertrand. Además, como pn ≥ 3, para
todo n ∈ N, no puede ser pn+1 = 21+pn . Tampoco puede ser pn+1 = 21+pn − 1
ya que en este caso, pn + 1 = 2kn y por lo tanto
21+pn − 1 = (2kn − 1)(2kn + 1).
(n)
Por consiguiente 2pn < pn+1 < 1 + pn+1 < 21+pn . Sean un := log2 (pn ), y
(n)
vn := log2 (pn + 1) donde
(n+1)
log2
(n)
(x)= log log2 (x),
x > 1.
Entonces se cumple que pn < log2 (pn+1 ) < log2 (pn+1 + 1) < 1 + pn , y por
tanto
un < un+1 < vn+1 < vn .
Por tanto, existe limn un . Tomamos α = limn un y como
u1 = log2 (3),
(n)
v1 = log2 (4) = 2,
(n)
resulta 1 < α < 2. Además log2 (pn ) = un < α < vn = log2 (pn + 1) y por
tanto pn < α < 1 + pn . Por tanto [αn ] = pn y es primo. t
u