Proveedores Envían Clientes Solicitan Artículos Organización

Teoría de
Inventarios
Proveedores
Envían
Ernesto Ponsot Balaguer
Universidad de Los Andes
Escuela de Estadística
Organización
Almacena
Artículos
Clientes
Solicitan
Inventario
„
Conjunto de procesos físicos,
decisiones y acciones, con miras
al almacenaje de una cierta
cantidad de artículos o bienes,
para protegerse de la escasez.
El Problema de
Inventario
„
Por una lado, cada bien
almacenado tiene un precio de
compra y su almacenamiento
cuesta. Por otro lado, el bien
produce un beneficio y el no
tenerlo cuando se necesita puede
ocasionar pérdidas invaluables.
Entonces:
¿CUÁNTO pedir?
¿CUÁNDO pedir?
El Objetivo y los Costos
Minimizar:
C = C1 + C2 + C3
C1 =
Costo de Mantener
C2 =
Costo de Escasez
C3 =
Costo de Reposición
Tipología
„
„
„
Sistemas Tipo (1,2) C 1 , C 2 interesantes
Sistemas Tipo (1,3) C 1 , C 3 interesantes
Sistemas Tipo (1,2,3) C 1 , C 2 , C 3 interesantes
Las Variables...
del Lote: cantidad que se solicita al
q= Tamaño
reaprovisionar.
Ciclo del Inventario: lapso que transcurre
t = entre
un pedido y otro.
Punto de Reorden: cantidad del bien en inventario,
s = por
debajo de la cual es obligante reaprovisionar.
de Orden: cantidad del bien que ha
S = Nivel
de ser siempre mantenida en inventario.
Cantidad en Inventario: cantidad del bien
Q= que
se encuentra en inventario.
Políticas de Inventario
„
De acuerdo con las variables de
interés en cada caso, se establecen
políticas de inventario y se sintetizan
encerrando entre paréntesis, las
variables objeto de estudio. Así por
ejemplo:
(s,q) :
(s, S) :
Punto de Reorden y Tamaño del Lote
Óptimos
Punto de Reorden y Nivel de Orden
Óptimos
Modelos de Inventario...
„
Dada una política de inventario y
variados supuestos sobre los
factores influyentes en cada
situación, se puede proponer un
“modelo” que represente la
realidad, generalmente expresado
en términos de los costos y las
variables involucradas.
Modelos de Inventario
„
La complejidad de un modelo de
inventario depende fundamentalmente
de dos factores: las suposiciones
sobre la demanda y las suposiciones
sobre el reaprovisionamiento
Salidas y/o llegadas
constantes conocidas
Salidas y/o llegadas
probabilísticas
Modelo del Tamaño del
Lote...
„
„
„
„
Es del tipo (1,3) con una política
(t,q).
Se supone una tasa de demanda
constante; una tasa de
reaprovisionamiento infinita e
inmediata (todo lo que se pide
llega de inmediato)
No se permite escasez.
El costo de ordenar NO depende
de la cantidad ordenada.
Modelo del Tamaño del
Lote...
„
El horizonte temporal es una
unidad preestablecida (por
ejemplo, un año), por lo que t se
mide en fracciones de esta unidad.
Q
q
0
t
2t
3t
Tiempo
Modelo del Tamaño del
Lote... Formulación
C ( q ) = C1 ( q ) + C 3 ( q )
Costo unitario
de Mantener
Costo unitario
de Ordenar
⎛q⎞
C 1 ( q ) = c1 ⎜ ⎟
⎝2⎠
Nº de Órdenes
⎛d
C 3 ( q ) = c 3 N = c 3 ⎜⎜
⎝q
c1 q c 3 d
⇒ C (q ) =
+
2
q
⎞
⎟⎟
⎠
Tasa de
Demanda
Modelo del Tamaño del
Lote... Formulación
$
C (q )
C1 (q )
C3 (q )
0
q
*
q
Modelo del Tamaño del
Lote... Solución
2dc3
q =
c1
*
N = d /q
*
*
t = q /d
*
*
C(q ) = C = 2c1c3d
*
*
Flexibilizando el Modelo
„
El modelo del Tamaño del Lote asume
varios supuestos que podrían
considerarse demasiado “fuertes”, en el
sentido de que en la realidad, pueden no
verificarse con demasiada frecuencia.
Examinemos estos supuestos...
Tasa de
Reaprovisionamiento...
„
„
„
„
El Modelo TDL supone una tasa de
reaprovisionamiento infinita, esto es, todo lo que
se pide al proveedor llega en el instante mismo
en que se hace la solicitud y en la cantidad
exacta que se solicitó
¿Qué ocurre si el proveedor entrega todo lo que
se le pide pero no en el instante mismo de la
solicitud?.
Hay escasez.
La solución: Estimar la demora en la entrega y
solicitar al proveedor ANTES de que se llegue al
nivel 0 de inventario.
Tasa de
Reaprovisionamiento...
„
Sea l la demora constante conocida del
proveedor en surtir. En esta situación es
claro que hay dos casos:
l <=t
l >t
*
* Debe ordenarse l días antes de
llegar a Q=0, una cantidad q*.
Requiere un análisis detallado
Tasa de
Reaprovisionamiento...
Q
q
0
t
2t
3t
l
Tiempo
l < t*
l > t*
Políticas de Revisión
Continua
„
Una política de revisión continua del
inventario implica verificar día a día (o
aún con más frecuencia) el nivel de
inventario Q y con base en esta revisión
periódica determinar si debe o no
reordenarse. Esta política se denomina
(s,q) ya que se controla el punto de
reorden y el tamaño del lote.
El modelo TDL con (s,q).
„
Se trata entonces de medir el momento en que
debe ordenarse no en unidades de tiempo sino
en términos del nivel de inventario por debajo del
cual debe colocarse un pedido. Ahora:
q
Q (T ) = − T + q , 0 ≤ T < t
t
q
= − T + 2q , t ≤ T < 2t
t
#
q
= − T + kq , (k-1 )t ≤ T < kt
t
Si l < t ...
„
Hay que ordenar l unidades de tiempo antes de
completar cada ciclo, en términos de Q esto es:
q
, 10 ciclo
Q (t − l ) = − (t − l ) + q
t
q
Q (2t − l ) = − (2t − l ) + 2q , 20 ciclo
t
#
q
Q (kt − l ) = − (kt − l ) + kq , k - ésimo ciclo
t
Si l < t ...
Q (t − l )
=
Q (2t − l ) =
#
Q (kt − l ) =
q
l , 10 ciclo
t
q
0
l , 2 ciclo
t
q
l , k - ésimo ciclo
t
En cualquier ciclo, debe ordenarse cuando el nivel
del inventario alcance la cantidad (q / t)* l
Si l > t ...
„
Sigue siendo válido que hay que ordenar
l unidades de tiempo antes de llegar a
Q=0. Es sólo que ahora, medir este
parámetro es un poco más complicado:
Si t ≤ l < 2t ⇒ l = t + l ' , 0 ≤ l ' < t y s = Q(2t − l ) = Q(t − l ' )
Si 2t ≤ l < 3t ⇒ l = 2t + l ' , 0 ≤ l ' < t y s = Q(3t − l ) = Q(t − l ' )
#
Si (k - 1)t ≤ l < kt ⇒ l = (k − 1)t + l ' , 0 ≤ l ' < t y s = Q(kt − l ) = Q(t − l ' )
Si l > t ...
„
Como se ha visto, todas estas
cantidades son iguales a (q / t )*l’
Si t ≤ l < 2t ⇒ 1 ciclo antes
Si 2t ≤ l < 3t ⇒ 2 ciclos antes
#
Si (k - 1)t ≤ l < kt ⇒ k - 1 ciclos antes
El modelo TDL con (s,q)
y escasez ...
„
El no permitir escasez en la
formulación del modelo, no sólo
puede ser irreal, sino que también
puede ocasionar que el costo del
sistema de inventarios no sea el
mejor posible.
El modelo TDL con (s,q)
y escasez ...
Q
q
Q = -D T + S
s
S
T
t
l
Punto de
Interés
El modelo TDL con (s,q)
y escasez ...
„
Fijemos el origen de coordenadas al
inicio de ciclo que va de 0 a t. En ese
ciclo, hay un espacio de tiempo en el
que se tiene inventario (a) y otro en el
que se tiene escasez (b)...
Q0
q
b
t
a
El modelo TDL con (s,q)
y escasez ...
„
El momento en el que se deja de tener
inventario y se pasa a tener escasez,
llámese Q0, se obtiene fácilmente de la
ecuación que representa el nivel de
inventario:
Q (T ) = − DT + S
0 = − DT + S
T =S/D
„
Entonces, el tiempo durante el que hay
que mantener inventario en un ciclo es
a=S/D
El modelo TDL con (s,q)
y escasez ...
„
Ahora bien, el inventario promedio que
se mantiene en cada instante del ciclo,
como en el tamaño del lote, es S/2.
Debe ser mantenido durante un tiempo
S/D, con un costo unitario de c1. Luego,
el costo de mantener inventario en UN
ciclo es:
2
S S c1S
c1
=
2 D 2D
El modelo TDL con (s,q)
y escasez ...
„
Dado que hay N ciclos y que N = D / q,
el costo completo de mantener es:
c1S 2
c1S 2 D c1S 2
C1 (q, S ) =
N=
=
2D
2D q
2q
El modelo TDL con (s,q)
y escasez ...
„
Con el mismo argumento, si la longitud
del ciclo es t = q / D, el tiempo durante el
que hay escasez en el ciclo es:
S q S q−S
b=t− = − =
D D D
D
El modelo TDL con (s,q)
y escasez ...
„
La escasez promedio que se mantiene
en cada instante del ciclo, de forma
similar a la anterior, es (q - S) / 2 y
ocurre durante (q-S) / D, con un costo
unitario de c2. Luego, el costo de
escasez en UN ciclo es:
( q − S ) ( q − S ) c2 ( q − S )
=
c2
2
D
2D
2
El modelo TDL con (s,q)
y escasez ...
„
Nuevamente, dado que hay N = D / q
ciclos, el costo completo de escasez es:
c2 ( q − S ) 2
c2 ( q − S ) 2 D
=
C 2 ( q, S ) =
N=
q
2D
2D
c2 ( q − S ) 2
=
2q
El modelo TDL con (s,q)
y escasez ...
„
Los demás costos no se ven afectados
por permitir escasez, en consecuencia,
la función de costos total, ahora con dos
variables q y S es
c1S 2 c2 (q − S ) 2 c3 D
C ( q, S ) =
+
+
+ cpD
2q
2q
q
El modelo TDL con (s,q)
y escasez ...
„
Al tomar derivadas parciales, respecto a
q y S, igualar a cero y probar que se
trata de un mínimo, se obtienen los
valores que optimizan la función de
costos:
(c1 + c2 ) 2c3 D
q =
×
c2
c1
*
2c3 D
c2
S =
×
c1
(c1 + c2 )
*
El modelo TDL con (s,q)
y escasez ...
„
Entonces:
c2
C (q , S ) =
× 2c1c3 D + c p D
(c1 + c2 )
*
„
*
un costo, cuando mayor, igual al del TDL
sin escasez. En conclusión, puede ser
apropiado permitir escasez y el costo
será a lo sumo igual al de no permitirla.
El modelo TDL con (s,q)
y escasez.
„
Por último, el punto de reorden s, dada
una demora de longitud l, como en el
caso anterior es:
s = S −q , l = 0
s = − D × (t − l ) + S , 0 < l < t
s = − D × ( kt − l ) + S , l ≥ t
k ciclos antes