problemas ligaduras debiles y fuertes

FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO
Curso 2013/2014
Dpto. Física de la Materia Condensada, Cristalografía y Mineralogía.
PROBLEMAS LIGADURAS DÉBILES Y FUERTES
1. Considere
un
sólido
bidimensional
como
el
de
la
figura
donde
a = 3 y b = 4 y los átomos A y B son químicamente diferentes.
Supongamos que la relación de dispersión de los electrones de valencia obedece a la
teoría de electrones débilmente ligados, de forma que en la dirección [mn] del espacio
recíproco dicha relación es la de los electrones libres salvo en las cercanías de los
límites de la primera zona de Brillouin. En el límite de la primera zona de Brillouin y en
la dirección [mn] la curva de dispersión se separa del valor predicho por la teoría de
electrones libres
[mn] dando lugar a dos bandas y siendo 2U[mn] la diferencia entre
la energía de la primera banda
[mn] y la de la segunda banda
[mn].
a) Encontrar la red directa y la base estructural del sólido considerado, así como la red
recíproca y la primera y segunda zona de Brillouin.
b) Representar las curvas de dispersión en las direcciones [10], [01] y [11] del espacio
recíproco.
c) Supongamos que tenemos dos electrones libres por molécula (AB). ¿Qué relación
debe existir entre los valores U[mn], a y b para que el material bajo estudio sea un
aislante?
2. Determinar las bandas de energía por el método de ligaduras fuertes de una cadena
lineal monoatómica de parámetro de red a. Utilizar las aproximaciones de no
solapamiento, interacción a primeros vecinos y un orbital s por átomo.
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Curso 2013/2014
Dpto. Física de la Materia Condensada, Cristalografía y Mineralogía.
3. Obtener las bandas de energía para una cadena unidimensional diatómica de
parámetro de red a, suponiendo que es posible aplicar el modelo de ligaduras fuertes
en las aproximaciones de no solapamiento, interacción a primeros vecinos y un orbital
s por átomo.
4. En la aproximación de ligaduras fuertes, obtener las energías correspondientes para
orbitales atómicos tipo s, en un cristal cúbico centrado en las caras (fcc) y en las
direcciones:
a)
µ
, 0,0 con 0 ≤ µ ≤ 1
b)
µ
,µ
,µ
c)
µ
,µ
, 0 con 0 ≤ µ ≤ 3/4
d)
µ
, µ
con 0 ≤ µ ≤ 1/2
, 0 con 0 ≤ µ ≤ 1
5. Consideramos una estructura cristalina en la que existe un átomo de masa m en cada
uno de los vértices de una red bidimensional con forma hexagonal.
a) Describir esta estructura en términos de su red y base estructural.
b) Obtener los vectores de la red recíproca y la primera zona de Brillouin.
c) Utilizando el método de ligaduras fuertes, calcular la energía en las direcciones [10] y
[01]. Considérese para ello la aproximación de interacción entre primeros vecinos.
6. Utilizando el método de electrones fuertemente ligados para una red cúbica centrada
en el cuerpo (bcc) y para el caso de átomos cuyos orbitales atómicos más externos
son del tipo s, demostrar que las superficies de energía constante en torno a k=0 son
esféricas. Determinar la masa efectiva para k=0.
7. Se tiene un cristal monoatómico bidimensional como el de la figura.
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a) Supuestos los vectores base de la red directa del dibujo, calcular los
correspondientes vectores base de la red recíproca.
b) Determinar la función ε
correspondiente a las bandas de energía asociadas a los
orbitales 1s que interaccionan entre sí a primeros vecinos con un acople de 0.94eV.
c) Sabiendo que el valor absoluto de la masa efectiva en los extremos de la 2ª zona de
Brillouin y en la dirección [1,0] vale: m*=-0.9me (me: masa del electrón), calcular el
parámetro reticular “a” utilizando el concepto de masa efectiva en el modelo
semiclásico.
Nota:
me = 9.11.10-31 Kg ; h = 6.626.10-34 J.s