4Los principios de la dinámica

4
Los principios
de la dinámica
Actividades
1 Una fuerza tiene de módulo 5 N y forma un ángulo
con el eje positivo de las x de 30°. Calcula las componentes cartesianas de dicha fuerza.
Las componentes se hallan trazando las proyecciones ortogonales del vector sobre los ejes:
d
y
b) El alargamiento será:
x
Fx
Fx = F · cos 30° = 5 · cos 30° = 4,3 N
Fy = F · sin 30° = 5 · sin 30° = 2,5 N
2 Dadas las fuerzas F1 = 2 i − 7 j y F2 = −3 i + 4 j
a) Represéntalas gráficamente.
k
0,25
=
5,4
= 0,046 m = 4,6 cm
Bl = l − l0 n
l = Bl + l0 = 4,6 + 10 = 14,6 cm
4 Un coche de 500 kg es capaz de adquirir una velocidad de 100 km/h en 8 s, desde el reposo. Calcula cuál
será la fuerza total que actúa sobre él en la dirección del
movimiento para conseguir este resultado.
La velocidad expresada en m/s es:
1 000 m
v = 100 km/h = 100 ·
b) Calcula su suma y represéntala.
c) Halla el módulo de la suma.
3 600 s
= 27,78 m/s
La aceleración que ha conseguido el coche es:
y
F2
F
c) La deformación del muelle es:
30°
d
F = k · x = 5,4 · 0,1 = 0,54 N
x=
F
Fy
a)
a) La fuerza que hay que hacer sobre el muelle para deformarlo x = 0,1 m será:
a=
v − v0
t
27,78 − 0
=
8
= 3,47 m/s2
Esta aceleración ha sido producida por la fuerza:
x
d
d
F = m · a = 500 · 3,47 = 1 736,11 N
5 Un ciclista va a 30 km/h y choca de frente contra un
vehículo aparcado. La duración del choque es de 0,3 s. Si
el ciclista más la bicicleta tienen una masa de 80 kg,
¿qué fuerza soporta el ciclista en el choque? Si el choque
es perfectamente elástico, ¿hacia dónde y con qué velocidad será lanzado?
F1 + F2
d
F1
b) La suma será:
F1 + F2 = (2 i − 7 j) + (−3 i + 4 j) = −i − 3 j
c) El módulo será:
La velocidad expresada en m/s es:
v = 30 km/h = 30 ·
YF1 + F2| = ∂(−1) + (−3) = 3,2 N
2
2
3 Un muelle de longitud 10 cm tiene de constante elástica 5,4 N/m.
a) ¿Qué intensidad tiene una fuerza que produce un alargamiento igual a su longitud inicial?
b) ¿Qué alargamiento produce una fuerza de 0,25 N?
c) ¿Qué longitud tiene el muelle en este caso?
1 000 m
3 600 s
= 8,33 m/s
La aceleración que ha conseguido el coche es:
a=
v − v0
t
=
0 − 8,33
0,3
= −27,78 m/s2
Esta aceleración ha sido producida por la fuerza:
F = m · a = 80 · (−27,78) = −2 222,22 N
El ciclista será lanzado hacia delante con una velocidad
de v = 8,33 m/s.
4. Los principios de la dinámica
191
6 En esta tabla figuran varias aceleraciones y fuerzas.
Justifica el número de cuerpos diferentes que puede
haber.
a (m/s)2
F (N)
2,1
4,20
0,8
0,64
0,4
0,80
1,4
1,12
2,0
4,00
1,5
3,00
1,5
1,20
2,0
1,60
m (kg)
La pendiente de cada recta será la masa. A mayor masa,
mayor pendiente.
8 Dejamos caer una bola de 2 kg de masa y la Tierra la
atrae con una fuerza de 19,6 N (peso de la bola).
a) ¿Cuáles serán el módulo, la dirección, el sentido y el
punto de aplicación de la fuerza que la bola ejerce
sobre la Tierra?
b) ¿Por qué se mueve la bola y no la Tierra?
c) ¿Con qué aceleración cae la bola?
d) Si la masa de la Tierra es de 5,97 · 1024 kg, ¿qué aceleración adquiere la Tierra?
La masa de un cuerpo es la relación entre la fuerza aplicada y la aceleración que produce sobre el cuerpo:
F
F=m·a n m=
a
Realizando estos cocientes obtenemos que existen dos
cuerpos de masas:
m1 = 2 kg y
Se obtienen dos rectas correspondientes a las dos masas
diferentes.
m2 = 0,8 kg
a) La bola ejerce sobre la Tierra una fuerza igual en módulo y dirección a la fuerza de atracción que la Tierra
ejerce sobre la bola, pero de sentido contrario y aplicada en el centro de la Tierra.
Módulo: 19,6 N.
Dirección: la del radio terrestre.
Sentido: hacia la bola.
Punto de aplicación: el centro de la Tierra.
b) Se mueve la bola porque su masa inercial es mucho
menor que la de la Tierra.
c) La aceleración de la bola será:
7 Utilizando los datos de la tabla del ejercicio anterior,
representa gráficamente las fuerzas en función de las
aceleraciones y une entre sí los puntos que corresponden
a la misma masa. ¿Qué obtienes? ¿Qué representa la pendiente de cada gráfica?
a=
F
m
=
19,6
2
= 9,8 m/s2
d) La aceleración de la Tierra será:
a=
F
=
19,6
= 3,28 · 10−24 m/s2
a (m/s)2
F (N)
m (kg)
2,1
4,20
2
0,8
0,64
0,8
0,4
0,80
2
1,4
1,12
0,8
2,0
4,00
2
Sobre el libro:
1,5
3,00
2
66 La fuerza que la Tierra ejerce sobre el libro, FTL = 15 N,
1,5
1,20
0,8
2,0
1,60
0,8
MT
5,97 · 1024
9 Estudia el equilibrio de fuerzas aplicadas sobre un
libro de 15 N de peso que está encima de una mesa de
150 N. Indica por separado las fuerzas aplicadas sobre el
libro y sobre la mesa. ¿Quién ejerce cada fuerza y sobre
quién se aplica?
en la dirección del radio terrestre y sentido hacia el
centro de la Tierra.
66 La fuerza que la mesa ejerce sobre el libro, FML = 15 N,
perpendicular a la mesa y hacia arriba.
F (N)
d
FML = 15 N
m = 2 kg
4
3
2
d
FTL = 15 N
m = 0,8 kg
Sobre la mesa:
1
66 La fuerza que la Tierra ejerce sobre la mesa, FTM = 150 N,
0
0
1
2
192
3
2
4 a (m/s )
4. Los principios de la dinámica
en la dirección del radio terrestre y sentido hacia el
centro de la Tierra.
66 La fuerza que el libro ejerce sobre la mesa, FLM = 15 N,
perpendicular a la mesa y hacia abajo.
66 La fuerza que el suelo ejerce sobre la mesa con el li-
bro, FSM = 165 N, perpendicular al suelo y hacia arriba.
Después del choque los dos cuerpos quedan empotrados y
viajan como un solo cuerpo de masa la suma de las masas
y en la misma dirección y sentido.
El momento lineal del sistema ahora será:
d
pf = (mca + mco) · u i
FSM = 165 N
Aplicando la conservación del momento lineal:
pi = pf
mca · vca = (mca + mco) · u
n
Despejando la velocidad después del choque, u:
d
FLM = 15 N
u=
d
FTM = 150 N
10 Cuando una bola de 100 g se mueve con una velocidad de 1 m/s, se le aplica una fuerza de 0,4 N durante
0,5 s en el mismo sentido que el desplazamiento. Calcula
la aceleración y la variación del momento lineal.
La fuerza aplicada sobre la bola produce una aceleración:
F=m·a
n
a=
F
m
=
0,4
0,1
= 4 m/s2
mca · vca
mca + mco
=
5 000 · 19,44
5 500
13 Dos coches de 500 kg y 600 kg circulan por calles
perpendiculares a 50 km/h y 80 km/h, respectivamente.
En el cruce chocan, y se quedan empotrados. ¿Cuál será la
velocidad de los vehículos juntos después del choque?
¿En qué dirección se moverán después del choque?
Tomando los ejes del sistema de referencia coincidiendo
con las direcciones de los movimientos, los momentos
lineales de los coches serán:
La variación del momento lineal se puede calcular directamente aplicando el teorema del impulso mecánico:
Bp = F · Bt = 0,4 · 0,5 = 0,2 N · s
= 17,67 m/s
v
m1 = 500 kg
11 Un balón de baloncesto de 600 g llega al suelo con
una velocidad vertical de 4,5 m/s y comienza a subir
con una velocidad, también vertical, de 4 m/s. Calcula:
a) El momento lineal antes del bote.
b) El momento lineal después del bote.
c) La variación del momento lineal de la pelota al botar
en el suelo.
Tomamos el eje del movimiento como eje de ordenadas.
pa = −m · va j n pa = −0,6 · 4,5 j = −2,7 j kg · m/s
b) El balón sube verticalmente:
pd = 0,6 · 4 j = 2,4 j kg · m/s
c) La variación del momento lineal del balón será:
Bp = pd − pa = 2,4 j − (−2,7 j) = 5,1 j kg · m/s
12 Un camión de 5 t avanza a una velocidad de 70 km/h,
y choca contra un coche de 500 kg que se encuentra en
reposo. Después del choque el camión arrastra al coche
en la misma dirección de su movimiento. ¿Con qué velocidad se mueven los dos vehículos después del choque?
La velocidad expresada en m/s es:
v = 70 km/h = 70 ·
1 000 m
3 600 s
El momento inicial del sistema será:
pi = mca · vca i
p1 = m1 · v1 i = 500 · 50 i = 25 000 i kg · km/h
p2 = m2 · v2 j = 600 · 80 j = 48 000 j kg · km/h
El momento inicial del sistema será:
pi = p1 + p2 = 25 000 i + 48 000 j
a) El balón baja verticalmente:
p d = m · vd j n
m2 = 600 kg
Después del choque, los dos cuerpos quedan empotrados
y viajan como un solo cuerpo de masa la suma de las
masas y en la dirección que forma un ángulo O respecto
al eje de abscisas.
El momento lineal del sistema ahora será:
pf = (m1 + m2) · u · cos O i + (m1 + m2) · u · sin O j =
= 1 100 · u · cos O i + 1 100 · u · sin O j
Aplicando la conservación del momento lineal: pi = pf
25 000 = 1 100 · u · cos O
48 000 = 1 100 · u · sin O
Dividiendo la segunda ecuación entre la primera obtenemos:
= 19,44 m/s
tan O = 1,92
n
O = 62,49°
A partir del valor de O obtenemos la velocidad, u:
u = 49,20 km/h
4. Los principios de la dinámica
193
14 Un cañón de 1 t dispara horizontalmente un proyectil
de 6 kg con una velocidad de 225 m/s. Calcula la velocidad de retroceso del cañón y la variación de su momento
lineal.
En el estado inicial tanto el cañón como el proyectil están en reposo; por tanto, el momento lineal del sistema
será:
El momento lineal del sistema será:
pf = (mp · vp − mc · vc ) i
Aplicando la conservación del momento lineal:
pi = pf
pp = mp · vp i
0 = mp · vp − mc · vc
Despejando la velocidad del cañón:
pi = 0 i
Después del disparo hay dos cuerpos en movimiento, sus
momentos lineales serán:
n
vc =
mp · vp
mc
=
6 · 225
1 000
= 1,35 m/s
La variación del momento lineal del cañón es:
Bpc = pf − pi = −mc · vc − 0 = −1 000 · 1,35 = −1 350 kg · m/s
pc = −mc · vc i
Actividades finales
Consolidación
1 Explica qué es un dinamómetro y cómo se calibra.
Un dinamómetro es un resorte o muelle, uno de cuyos
extremos se fija en un soporte que puede ser un tubo
transparente. Al ejercer una fuerza en el otro extremo, el
resorte se alarga proporcionalmente a la fuerza aplicada.
Si se mide esta fuerza, tirando con otro dinamómetro calibrado, se puede marcar la misma en una escala de papel
pegada al tubo. De esta forma, el resorte puede ser utilizado como un dinamómetro calibrado.
5 Demuestra, a partir del principio fundamental de la
dinámica, el principio de inercia.
Si no hay fuerzas aplicadas sobre el cuerpo de masa m:
F=0
En consecuencia, F = m · a
n
0=m·a n a=0
Si el vector aceleración es cero, no hay cambios en el
módulo ni en la dirección del vector velocidad, lo que
implica que el movimiento es rectilíneo uniforme.
2 Explica si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes:
6 ¿Qué entiendes por masa inerte de un cuerpo? ¿Es
absolutamente cierto que la masa inerte es constante?
a) Si un cuerpo se mueve, está sometido a una fuerza.
La masa inerte es una propiedad de los cuerpos que mide
su oposición a que se altere su estado de movimiento. Se
mide, en unidades del SI, en kilogramos.
b) Si la fuerza resultante aplicada a un cuerpo no es
nula, el movimiento es acelerado.
c) Si en la Luna no hay atmósfera, una bola de acero
llega antes al suelo que otra de madera, si caen desde
la misma altura.
a) Falsa. El principio de inercia dice que es posible el
movimiento sin que existan fuerzas aplicadas o cuando la suma de las fuerzas aplicadas sea cero.
b) Verdadera. Las fuerzas son las causas de las aceleraciones.
c) Falsa. Todos los cuerpos en la Luna caen con la misma
aceleración, gL ; por tanto, llegan a la vez.
3 Enuncia el principio de inercia.
Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas o la suma de las que
actúan es cero, mantiene el estado de reposo o movimiento rectilíneo uniforme.
4 Si la fuerza resultante aplicada a un cuerpo no es
nula, ¿cómo es el movimiento de ese cuerpo?
Movimiento uniformemente acelerado.
194
4. Los principios de la dinámica
Representa la constante de proporcionalidad entre las
fuerzas aplicadas y la aceleración que producen.
Según la teoría de la relatividad especial, la masa aumenta con la velocidad sí ésta es cercana a la velocidad de la
luz en el vacío.
7 Enuncia y explica el principio de acción y reacción.
Pon un ejemplo.
Toda acción produce una reacción igual y contraria. Las
acciones y reacciones son, por tanto, de igual módulo, la
misma dirección y de sentidos contrarios.
Es importante entender que las acciones y las reacciones
están aplicadas en cuerpos diferentes. Además este principio hace necesaria la existencia de, al menos, dos cuerpos para que se produzcan fuerzas; de ahí el denominar a
las fuerzas interacciones.
8 Expresa, en función de la variación del momento lineal, el principio fundamental de la dinámica.
F=m·a=m·
Bv
Bt
=
m · Bv
Bt
=
Bp
Bt
Las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo producen cambios
en su momento lineal.
9 ¿Qué se entiende por sistema aislado en dinámica?
¿Y por partícula o cuerpo libre?
Un sistema aislado es aquel cuerpo o conjunto de cuerpos que no están sometidos a fuerzas o momentos desde
el exterior.
posee la misma ecuación de dimensiones que el momento lineal.
El impulso mecánico, I, se define como el producto de las
fuerzas aplicadas por el tiempo durante el cual se aplican.
I = F · Bt
Es una magnitud vectorial y tiene la misma dirección y
sentido que la fuerza. Se mide en N · s.
Un cuerpo libre es aquel cuerpo sobre el que no se ejercen
fuerzas desde el exterior, de forma que está en reposo o
se mueve con movimiento rectilíneo uniforme.
La ecuación de dimensiones del momento lineal es:
[p] = M · L · T −1
10 Enuncia el principio de conservación del momento lineal. Pon un ejemplo.
13 ¿Son las fuerzas causa de los movimientos?
En un sistema aislado, el momento lineal del sistema se
mantiene constante:
No; las fuerzas son las causas de los cambios del movimiento, es decir, de las aceleraciones.
Bpsistema = 0
14 En el espacio aplicamos la misma fuerza a dos cuerpos aparentemente iguales, sin embargo, uno se acelera
el doble que el otro. ¿Cuál será la causa?
En los disparos con arma de fuego, las fuerzas que intervienen son internas del sistema; por tanto, se verifica
este principio.
[I] = [F] · T = M · L · T −2 · T = M · L · T −1 = [p]
El valor de la fuerza aplicada sobre cada cuerpo será:
F1 = m1 · a1 ;
F2 = m2 · a2
11 ¿En qué unidad del SI se mide el momento lineal?
¿Qué otro nombre tiene el momento lineal?
Como F1 = F2: m1 · a1 = m2 · a2
El momento lineal, p = masa · velocidad, se mide en
kg · m/s. También se denomina cantidad de movimiento.
Si, por ejemplo, el cuerpo 2 se acelera el doble que el 1:
a2 = 2 a1
12 Define qué es impulso mecánico e indica en qué unidades del SI se mide. Demuestra que el impulso mecánico
m1 · a1 = m2 · 2 a1
n
m1 = 2 m2
La masa del cuerpo 1 es el doble que la del cuerpo 2.
Ejercicios y problemas
1 El resorte de un dinamómetro de laboratorio se ha
alargado 5,85 cm a tope de escala, que es 1 N. ¿Cuál es la
constante del resorte con el que ha sido fabricado ese
dinamómetro? ¿Cuánto se alargará al aplicarle la fuerza
de 0,4 N?
La constante del resorte será:
F = k · Bl n
F
k=
=
Bl
Bl =
k
=
1
5,85 · 10−2
= 17,1 N/m
0,4
17,1
F
k
=
2,5
25
= 0,1 m = 10 cm
Para una fuerza de 1 N:
Bl =
F
k
=
1
25
= 0,04 m = 4 cm
= 0,023 m = 2,3 cm
2 Un dinamómetro se alarga 8 cm a tope de escala, que
es 2 N. ¿Cuál es su constante de recuperación y cuánto
marca si se alarga 2,5 cm?
La constante del resorte será:
F = k · Bl n
La constante del resorte es k = 25 N/m; por tanto, la
deformación producida será:
Bl =
El alargamiento será:
F
3 ¿Cuál es la elongación del resorte anterior cuando se
le aplica la fuerza de 2,5 N? ¿Y cuando es de 1 N?
k=
F
Bl
=
2
8 · 10−2
4 Un resorte de 20 cm se alarga 5 cm al aplicarle una
fuerza de 2,5 N. Calcula la constante en el SI y la longitud
del resorte cuando se le estira con una fuerza de 4 N.
La constante del resorte será:
F = k · Bl n
F
Bl
=
2,5
5 · 10−2
= 50 N/m
= 25 N/m
La deformación para una fuerza de 4 N será:
La fuerza será:
−2
k=
F = k · Bl = 25 · 2,5 · 10 = 0,625 N
Bl =
F
k
=
4. Los principios de la dinámica
4
50
= 0,08 m = 8 cm
195
La deformación del muelle es:
Bl = l − l0 n
l = Bl + l0 = 8 + 20 = 28 cm
5 Descompón el peso de un cuerpo apoyado en un plano inclinado 30° con la horizontal en dos componentes
perpendiculares, donde la dirección de una es la del plano inclinado.
de la aceleración centrípeta del sistema. En consecuencia, te sientes empujado hacia la izquierda.
10 A un cuerpo de 10 kg le aplicamos una fuerza de 49 N.
Halla la aceleración del cuerpo. ¿Qué velocidad tendrá a
los 5 s?
d
F
d
Px
d
30°
Py
Aplicando el segundo principio:
d
P
30°
F=m·a
El ángulo que forma la dirección del peso con la dirección
de la perpendicular al plano inclinado coincide, por ser
ángulos de lados perpendiculares, con el ángulo de inclinación del plano. Por tanto:
a=
F
m
=
49
10
= 4,9 m/s2
El cuerpo sigue, por tanto, un movimiento uniformemente acelerado. Su velocidad será:
v=a·t
Px = P · sin 30°
n
n
v = 4,9 · 5 = 24,5 m/s
; Py = P · cos 30°
6 ¿Puede ser nula la resultante de las fuerzas ejercidas
sobre un cuerpo y que este se mueva?
11 ¿Durante cuánto tiempo ha actuado una fuerza de
120 N, inclinada 60° respecto a la horizontal, sobre una
masa de 80 kg para que alcance una velocidad de 10 m/s?
d
Sí, si el cuerpo se mueve con movimiento rectilíneo uniforme.
F
60°
7 ¿Puede ser curva la trayectoria de un cuerpo si no
actúa ninguna fuerza sobre él?
No. Si la trayectoria es curva, la dirección del vector velocidad varía; en consecuencia, existe aceleración y, por
tanto, debe haber alguna fuerza que la origine.
8 Un pequeño péndulo va suspendido en el techo de un
automóvil. Indica qué dirección tiene el hilo:
a) Cuando arranca el automóvil.
La fuerza en la dirección del movimiento es:
Fx = F · cos 60°
Aplicando el segundo principio sobre el eje del movimiento:
Fx = m · a
b) Cuando se mueve con velocidad constante.
c) Al frenar y disminuir su velocidad.
En los sistemas no inerciales existen fuerzas de inercia
cuya dirección es igual a la de la aceleración y el sentido
es opuesto. Por tanto:
a) Hacia atrás; debido a la fuerza de inercia de sentido
opuesto a la aceleración.
b) Vertical; el sistema es inercial, por tanto, no existen
aceleraciones.
c) Hacia delante; debido a la fuerza de inercia de sentido contrario a la aceleración.
9 Viajas en el asiento posterior de un automóvil. De
improviso el conductor toma una curva a la derecha a
gran velocidad. ¿Por qué eres desplazado? ¿Hacia dónde?
=
n
a=
Fx
m
120 · cos 60°
80
=
F · cos 60°
m
=
= 0,75 m/ss
El cuerpo sigue, por consiguiente, un movimiento uniformemente acelerado. En consecuencia:
v − v0 = a · t
n
t=
v − v0
a
=
10 − 0
0,75
= 13,3 s
12 ¿Con qué fuerza hay que impulsar verticalmente un
cohete de 2 500 kg para que suba con aceleración de
4 m/s2?
Si llamamos F a la fuerza aplicada, la fuerza total en el eje
del movimiento será: F − P.
Por tanto: F − P = m · a
F = P + m · a = m · g + m · a = m · (g + a) =
Sobre ti se ejerce una fuerza de inercia en la dirección del
radio de la curva y hacia el exterior, en sentido contrario
196
4. Los principios de la dinámica
= 2 500 · (9,8 + 4) = 34 500 N
13 Si a toda acción se opone otra de sentido contrario y
de igual intensidad, ¿cómo se produce el movimiento?
Las acciones y las reacciones están aplicadas sobre cuerpos diferentes, de modo que producen aceleraciones distintas en los cuerpos sobre los que se aplican.
14 Estudia las fuerzas aplicadas sobre una chincheta
cuando la clavas con el dedo en una pared. Indica por
separado las fuerzas aplicadas sobre la pared, la chincheta y el dedo. ¿Por qué penetra la chincheta en la pared?
Las fuerzas sobre la chincheta son:
66 La que ejerce el dedo sobre ella: Fdc.
66 La fuerza de resistencia que ejerce la pared sobre
ella: Fpc.
a) En el sistema de la figura tenemos:
d
d
v2
v1
d
Fdc
d
d
Fpc
d
v3
Sobre el dedo, la reacción será la fuerza que la chincheta ejerce sobre él: Fcd = −Fdc. Esta fuerza se compensa con los apoyos que tiene la persona que está
intentando clavar la chincheta.
v4
p1 = m · v1 = 10 · 5 j = 50 j kg m/s
p2 = m · v2 = 10 · (−5 i) = −50 i kg m/s
p3 = m · v3 = 10 · (−5 j) = −50 j kg m/s
p4 = m · v4 = 10 · 5 i = 50 i kg m/s
d
Fcd
b) Las variaciones del momento lineal son:
Sobre la pared, la reacción será la fuerza que la chincheta ejerce sobre ella: fcd = −fpc. Esta fuerza se compensa con los anclajes de la pared a los muros.
d
p14
d
p12
d
p13
Bp12 = p2 − p1 = −50 i − 50 j kg m/s
Bp13 = p3 − p1 = −50 j − 50 j = −100 j kg m/s
d
f
Bp14 = p4 − p1 = 50 i − 50 j kg m/s
16 Define la unidad de masa en el SI y en el Sistema
Técnico. ¿Cuál es su relación?
Para que la chincheta entre en la pared, se ha de cumplir la siguiente condición entre los módulos de estas
fuerzas:
La unidad de masa es la masa que adquiere la unidad de
aceleración al aplicarle la unidad de fuerza del sistema
considerado.
66 En el SI, la unidad de masa es el kilogramo (kg):
Fdc > fpc
1 kg =
15 Un cuerpo de 10 kg sigue un movimiento circular uniforme con velocidad lineal constante de valor 5 m/s.
a) Calcula el vector momento lineal p del cuerpo cuando
se encuentra en las posiciones de la figura.
b) Calcula y dibuja las variaciones del momento lineal
Bp entre la posición inicial y las otras tres posiciones.
1N
1 m/s2
66 En el Sistema Técnico, la masa se mide en unidades
técnicas de masa (utm): 1 utm =
1 kp
1 m/s2
La relación es la misma que la que existe entre kilopondio
y newton: 1 utm = 9,8 kg
4. Los principios de la dinámica
197
17 Define la unidad de fuerza en un sistema en el que la
masa se mida en toneladas (t), la longitud, en kilómetros
(km) y el tiempo, en minutos (min). Transforma esa unidad en newton (N).
Dibujamos la situación:
v0 = –25
m
s
v = –25
m
s
La fuerza se define como:
x
F=m·a
La unidad de fuerza, U, será la fuerza que, aplicada a un
cuerpo de una tonelada de masa, le comunica una aceleración de 1 km/min2:
1U=1t·1
km
2
min
= 1 000 kg ·
1 000 m
(60 s)
2
= 277,78 N
18 De las expresiones ML, MLT−1 y ML−1T, una corresponde
al momento lineal. ¿Cuál?
El momento lineal está definido como el producto de la
masa por la velocidad:
p=m·v
La ecuación de dimensiones de una velocidad es
[v] = LT−1; por tanto, el momento lineal tiene de dimensiones:
[p] = MLT−1
19 ¿Tiene relación el momento lineal de un cuerpo con
la fuerza ejercida sobre el mismo?
Sí. La fuerza está definida como la variación del momento lineal respecto al tiempo.
20 Un cuerpo de 2 kg cae desde 20 m de altura sin velocidad inicial. ¿Ha variado su momento lineal al tocar en
el suelo? ¿En cuánto?
El momento lineal inicial, si parte con velocidad inicial
cero, será: pi = m · v0 = 0 kg m/s.
Al llegar al suelo, lleva una velocidad:
v = ∂2 g · h = ∂2 · 9,8 · 20 = 19,80 m/s
Por tanto, el momento lineal en este instante será:
pf = m · v = 2 · 19,80 = 39,60 kg · m/s
La variación del momento lineal es:
Bp = pf − pi = 39,60 − 0 = 39,60 kg · m/s
21 Una pelota de 120 g choca perpendicularmente contra el frontón cuando su velocidad es de 25 m/s, rebotando con la misma velocidad en un tiempo de 0,02 s. Calcula:
a) La variación del momento lineal.
b) La fuerza media de la pelota contra el frontón.
198
4. Los principios de la dinámica
a) El momento lineal inicial, si parte con velocidad inicial cero, será:
pi = −m · v0 i = −0,12 · 25 i = −3 i kg · m/s
Después del choque el momento lineal sería:
pf = m · v i = 0,12 · 25 i = 3 i kg · m/s
La variación del momento lineal es:
Bp = pf − pi = 3 i − (−3 i) = 6 i kg · m/s
b) La fuerza media se puede calcular a partir del teorema
del impulso mecánico:
F · Bt = Bp
n F=
Bp
=
Bt
6
0,02
= 300 N
22 Hay futbolistas que son capaces de impulsar el balón
parado hasta alcanzar la velocidad de 100 km/h. Si el
balón de fútbol tiene una masa de 430 g y la patada tiene
una duración de 8 · 10−3 s, calcula la variación del momento lineal del balón y la fuerza media durante la patada.
La velocidad expresada en m/s será:
v = 100 km/h = 100 ·
1 000 m
3 600
= 27,78 m/s
El momento lineal inicial, si el balón está parado, será:
pi = m · v0 = 0 kg m/s
Después de la patada, el momento lineal es:
pf = m · v = 0,43 · 27,78 = 12 kg · m/s
La variación del momento lineal es:
Bp = pf − pi = 12 − 0 = 12 kg · m/s
La fuerza media se puede calcular a partir del teorema del
impulso mecánico:
F · Bt = Bp n
F=
Bp
Bt
=
12
8 · 10−3
= 1 500 N
23 Un patinador de 80 kg se desliza en la pista de hielo a
2 m/s cuando un niño de 30 kg choca frontalmente y
se agarra a él para no caerse. Si la velocidad del niño al
entrar en contacto era de 4 m/s, ¿con qué velocidad se
mueven ambos mientras se deslizan juntos y en qué sentido?
La situación inicial es la siguiente: dos patinadores se
mueven en la misma dirección y sentidos contrarios.
Tomamos la dirección del movimiento como eje de abscisas, el momento inicial del sistema será:
pi = p1 + p2 = m1 · v1 i + (−m2 · v2) i
El momento lineal del sistema se conserva:
pi = pf
0 = mp · vp − mc · vc
n
Despejando la velocidad de retroceso del cañón:
Por tanto:
Después del choque (estado final), los dos patinadores se
mueven agarrados y viajan como un solo cuerpo de masa
la suma de las masas y en la misma dirección.
pf = (m1 + m2) · u i
Como el momento lineal se conserva: pi = pf
m1 · v1 − m2 · v2 = (m1 + m2) · u
Despejando la velocidad después del choque, u:
u=
m1 + m2
=
80 · 2 − 30 · 4
80 + 30
= 0,36 m/s
La velocidad expresada en m/s será:
1 000 m
3 600 s
10 · 500
990
= 30 m/s
26 Un soldado esquiador, en prácticas, se encuentra en
un lago helado y realiza 20 disparos en 2 s con un fusil
automático. Si el soldado con su equipo pesa 80 kg y
cada proyectil pesa 40 g, calcula, sabiendo que la velocidad de los proyectiles es de 400 m/s:
b) El impulso experimentado por el soldado.
c) La fuerza media.
a) En los ejercicios de disparos por armas de fuego, el
momento lineal del sistema se conserva ya que las
fuerzas que actúan son internas al sistema.
En el estado inicial tanto el esquiador como los proyectiles están en reposo; por consiguiente, el momento lineal del sistema será:
El momento lineal inicial, si el automóvil está parado,
será: pi = m · v0 = 0 kg m/s
A los 20 segundos, el momento lineal es:
pi = 0 i
Después del disparo hay dos cuerpos en movimiento;
sus momentos lineales serán:
pf = m · v = 1 200 · 30 = 36 000 kg · m/s
pp = 20 · mp · vp i
La variación del momento lineal es:
Bp = pf − pi = 36 000 − 0 = 36 000 kg · m/s
La fuerza media se puede calcular a partir del teorema del
impulso mecánico:
Bp 36 000
F · Bt = Bp n F =
=
= 1 800 N
Bt
20
25 Calcula la velocidad de retroceso de un cañón de 1 t
(proyectil incluido) al disparar una granada de 10 kg con
velocidad de 500 m/s.
En el estado inicial tanto el cañón como el proyectil están en reposo; por tanto, el momento lineal del sistema
será:
pi = 0 i
Después del disparo hay dos cuerpos en movimiento, sus
momentos lineales serán:
pp = mp · vp i
pc = −mc · vc i
El momento lineal del sistema será:
pf = (mp · vp − mc · vc) i
= 5,05 m/s
a) La velocidad con que es impulsado.
24 Un automóvil de 1 200 kg arranca y en 20 s alcanza la
velocidad de 108 km/h. ¿Cuál es la fuerza media que ha
impulsado al vehículo? ¿Cuál es el momento lineal final?
v = 108 km/h = 108 ·
mc
La masa del cañón será: mc = 1 000 − 10 = 990 kg
vc =
El momento lineal del sistema será ahora:
m1 · v1 − m2 · v2
mp · vp
vc =
pi = (m1 · v1 − m2 · v2) i
pe = −me · ve i
El momento lineal del sistema será:
pf = (20 · mp · vp − me · ve) i
El momento lineal del sistema se conserva:
pi = pf n
0 = 20 · mp · vp − me · ve
Despejando la velocidad de retroceso del esquiador:
ve =
20 · mp ·vp
me
La masa del esquiador con su equipo, después de haber disparado 20 proyectiles de 0,04 kg cada uno,
será:
me = 80 − 20 · 0,04 = 79,2 kg
ve =
20 · 0,04 · 400
79,2
= 4,04 m/s
b) El impulso tiene que ser igual a la variación del momento lineal del esquiador:
I = Bpe = −me · ve i − 0 i = −79,2 · 4,04 i = −320 i N·s
4. Los principios de la dinámica
199
c) La fuerza media se puede calcular a partir del teorema del impulso mecánico:
F · Bt = Bpe
n F=
Bpe
=
−320 i
2
Bt
= −160 i N
27 Te encuentras junto a una piscina. Sobre un bloque
de madera colocas una garrafa de plástico llena de agua.
Después haces un agujero en la garrafa, por donde empieza a salir agua a la vez que el flotador y la garrafa se
ponen en movimiento. ¿Hacia dónde? ¿Por qué?
El momento lineal del sistema se conserva; en consecuencia, la garrafa se pondrá en movimiento hacia la izquierda.
u2 = 10 m/s, respectivamente. El resto sale despedido
con una velocidad de u3 = 50 m/s. Determina la dirección
y la masa del tercer fragmento.
La roca, en el momento inicial, se puede considerar como
una sola partícula en reposo y de masa M. Después de la
explosión, la roca se divide en tres pedazos de manera
que, en el estado final, el sistema consta de tres partículas de masas m1, m2 y m3 que se mueven con velocidades
u1, u2 y u3.
y
y d
u2
x
M
d
u1
d
u3
x
En efecto, si tomamos como sentido positivo el de salida
del agua, el momento lineal del sistema en el momento
inicial será cero: pi = 0
Las fuerzas que parten la roca en tres pedazos son internas al sistema; por tanto, el momento lineal se conserva.
Al salir el agua, el momento lineal del sistema será:
El momento lineal inicial del sistema es cero ya que la
roca está inicialmente en reposo: pi = 0
pf = mg · vg + ma · va
Como esta magnitud se conserva:
pi = pf
n
0 = mg · vg + ma · va
n vg =
−ma · va
mg
El momento lineal final del sistema será la suma de los
momentos lineales de las tres partículas que salen de la
explosión: pf = m1 · u1 + m2 · u2 + m3 · u3
Aplicando la conservación de esta magnitud:
0 = m1 · u1 + m2 · u2 + m3 · u3
28 Una patinadora de 55 kg que se desliza en una pista
de hielo a 6 m/s coge en brazos por detrás a su hijo de 25
kg, que se desliza en la misma dirección y sentido que
ella a 2 m/s. ¿Con qué velocidad se mueven ambos patinadores mientras se deslizan juntos y en qué sentido?
De esta ecuación vectorial se obtienen las ecuaciones sobre los ejes:
y
d
u2
La situación inicial es la siguiente: dos patinadores se
mueven en la misma dirección y sentido.
Tomamos la dirección del movimiento como eje de abscisas, el momento inicial del sistema será:
pi = p1 + p2 = m1 · v1 i + m2 · v2 i
d
u1
x
u3
u1 = (u1, 0); u2 = (0, u2); u3 = (−u3 · cos O, −u3 · sin O)
Sobre el eje x: 0 = m1 · u1 − m3 · u3 · cos O
Sobre el eje y: 0 = m2 · u2 − m3 · u3 · sin O
Por tanto:
Sustituyendo los datos obtenemos el sistema de ecuaciones:
pi = (m1 · v1 + m2 · v2) i
Una vez que la patinadora coge a su hijo (estado final),
los dos se mueven agarrados y viajan como un solo cuerpo de masa la suma de las masas, en la misma dirección y
sentido.
El momento lineal del sistema en este momento será:
pf = (m1 + m2) · u i
Como el momento lineal se conserva: pi = pf
m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2) · u
Despejando la velocidad en el estado final, u:
u=
d
m1 · v1 + m2 · v2
m1 + m2
=
55 · 6 + 25 · 2
55 + 25
= 4,75 m/s
29 Al dinamitar una roca sale despedida en tres fragmentos, dos de los cuales, de masas m1 = 10 kg y m2 = 20 kg,
salen en ángulo recto con velocidades de u1 = 15 m/s y
200
4. Los principios de la dinámica
0 = 150 − m3 · 50 · cos a
0 = 200 − m3 · 50 · sin O
Para resolverlo hay que despejar los términos en los que
están las razones trigonométricas y dividir la ecuación
del seno entre la del coseno para obtener la tangente:
tan O =
sin O
cos O
=
4
3
n O = 53,1°
Con ese valor, la masa se obtiene de cualquiera de las dos
ecuaciones:
m3 = 5 kg
30 Sobre un cuerpo de 50 kg actúan F1 = 100 N formando
un ángulo de 30° con la horizontal en el sentido del movimiento y F2 = 20 N en sentido contrario al movimiento.
Calcula:
a) La normal.
b) El movimiento que sigue el cuerpo es rectilíneo uniformemente acelerado.
b) La aceleración del cuerpo.
a) Sobre el cuerpo se ejercen las siguientes fuerzas:
Como el cuerpo parte del reposo: v = ∂2a · s
66 El peso del cuerpo: P = (0, −m · g)
Sustituyendo los datos: v = 4 m/s
66 La reacción del suelo sobre él: N = (0, N)
66 Las fuerzas aplicadas:
F1 = (F1 · cos 30°, F1 · sin 30°) y F2 = (−F2, 0)
y
d
N
d
F2
x
30°
32 En una mesa de billar, una de las bolas de 210 g se
impulsa hacia la banda con velocidad de 0,75 m/s formando un ángulo de 30° con dicha banda. Rebota saliendo con un ángulo de 15° y con velocidad de 0,25 m/s.
Calcula:
a) Los momentos lineales de la bola antes y después del
choque.
F1
d
Por tanto: v 2 − v02 = 2a · s
b) La variación del momento lineal de la bola.
c) La fuerza media durante el choque con la banda si la
interacción duró 0,15 s.
d
P
En la vertical no hay movimiento; por tanto, la
suma de fuerzas sobre esta dirección tiene que ser
cero:
y
F1 · sin 30° + N − m · g = 0
d
Despejando la normal: N = m · g − F1 · sin 30°
Sustituimos los datos y obtenemos: N = 440 N
pf
30°
15°
b) En el eje del movimiento la ecuación será:
d
pi
F1 · cos 30° − F2 = m · a
Despejando la aceleración: a =
x
F1 · cos 30° − F2
a) Antes de chocar con la banda, el momento lineal de la
bola será:
m
Sustituimos los datos y obtenemos: a = 1,3 m/s
pi = m · vi
2
31 En la parte superior de un plano inclinado 25° se deja
caer un cuerpo. Si la longitud del plano es de 2 m, calcula:
a) La aceleración de bajada.
El vector velocidad en el sistema de referencia indicado en la figura será:
vi = vi · cos 30° i − vi · sin 30° j
Por tanto, el momento lineal inicial será:
b) La velocidad con que llega al final del plano.
a) Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son:
66 El peso del cuerpo:
pi = m · vi · cos 30° i − m · vi · sin 30° j
Sustituyendo los datos:
pi = 0,21 · 0,75 · cos 30° i − 0,21 · 0,75 sin 30° j
P = (m · g · sin 25°, −m · g · cos 25°)
66 La normal: N = (0, N)
pi = 0,14 i − 0,08 j kg · m/s
El módulo es: pi = ∂(0,14)2 + (−0,08)2 = 0,16 kg·m/s
y
Después del choque con la banda, el momento lineal
de la bola será:
d
N
pf = m · vf
d
x
El vector velocidad en el mismo sistema de referencia
será:
P
En el eje del movimiento la ecuación es:
m · g · sin 25° = m · a
Simplificando la masa y sustituyendo los datos obtenemos:
a = 4,1 m/s2
vf = vf · cos 15° i + vf · sin 15° j
Por tanto, el momento lineal final será:
pf = m · vf · cos 15° i + m · vf · sin 15° j
Sustituyendo los datos:
pf = 0,05 i + 0,01 j kg m/s
4. Los principios de la dinámica
201
Inicialmente, el sistema está formado por dos cuerpos,
de forma que el momento lineal del sistema será la suma
de los momentos lineales de cada uno de los cuerpos. En
el estado final los dos cuerpos viajan juntos con una cierta velocidad u.
El módulo será:
pf = ∂(0,05)2 + (0,01)2 = 0,051 kg m/s
b) La variación del momento lineal será:
Bp = pf − pi
El momento lineal inicial del sistema será la suma de los
momentos lineales de las dos partículas:
Sustituyendo los datos, obtenemos:
Bp = (0,05 − 0,14) i + (0,01 + 0,08) j =
pi = m1 · v1 + m2 · v2
= −0,09 i + 0,09 j kg · m/s
Después del choque las partículas salen unidas, de manera que el momento lineal es:
Su módulo será:
pf = (m1 + m2) · u
2
2
Bp = ∂(−0,09) + (0,09) = 0,13 kg · m/s
c) La fuerza media durante la interacción se puede obtener utilizando el teorema del impulso mecánico:
F · Bt = Bp
n
F=
Bp
=
−0,09
0,15
Bt
i+
0,09
0,15
j
F = −0,60 i + 0,60 j N
Cuyo módulo será: F = ∂(−0,60)2 + 0,602 = 0,85 N
33 Un futbolista golpea horizontalmente y durante 0,3 s
un balón de 420 g de masa que se encuentra en reposo,
comunicándole una velocidad horizontal de 5 m/s.
a) ¿Cuál es el momento lineal de la pelota antes y después de la patada?
b) ¿Cuál es el impulso sobre la pelota?
a) Antes de producirse la patada la pelota está en reposo. Por tanto, el momento lineal inicial será:
pi = m · vi = 0,42 · 0 = 0 kg · m/s
Después de la patada, la pelota sale con velocidad
vf = 5 m/s. Su momento lineal será:
pf = m · vf = 0,42 · 5 = 2,10 kg · m/s
Aplicando la conservación del momento lineal obtenemos:
m1 · v1 + m2 · v2 = (m1 + m2) · u
Como todo el proceso transcurre sobre una misma dirección, no es necesario utilizar la notación vectorial; entonces, despejando la velocidad a la salida del choque
obtenemos:
u=
m1 · v1 + m2 · v2
m1 + m2
=
2·8+5·4
2+5
= 5,14 m/s
El vector tiene la misma dirección y sentido que las velocidades iniciales.
35 Una grúa arrastra un coche de 500 kg mediante un
cable que forma un ángulo de 45° con la dirección de la
carretera. Si la fuerza ejercida sobre el coche es de
F = 4 000 N, calcula la reacción del suelo sobre el coche y
la aceleración que adquiere en los siguientes casos:
a) La carretera es horizontal.
b) La carretera tiene una inclinación de 30° respecto de
la horizontal y la grúa lo desplaza ascendiendo la
rampa.
a) Las fuerzas que actúan sobre el coche son:
66 El peso, P, en la dirección del radio terrestre y ha-
cia el centro de la Tierra.
66 La normal, N, o reacción del suelo sobre el coche,
d
vf
en dirección perpendicular a la superficie de apoyo y hacia arriba.
66 La fuerza, F, con que la grúa tira del coche.
b) El impulso sobre la pelota será:
d
d
I = Bp = 2,10 − 0 = 2,10 kg · m/s = 2,10 N · s
34 Dos cuerpos de masas m1 = 2 kg y m2 = 5 kg se mueven en la misma dirección y sentido con velocidades de
v1 = 8 m/s y v2 = 4 m/s. Suponiendo que después del
choque que se produce al alcanzar el de mayor al de menor velocidad ambos permanecen unidos, calcula la velocidad del conjunto después del choque.
F
N
45°
d
P
Las fuerzas proyectadas sobre los ejes son:
N = (0, N)
d
v1
d
d
v2
u
; P = (0, −m · g)
F = (F · cos 45°, F · sin 45°)
La fuerza total aplicada al coche es:
FT = N + P + F = (F · cos 45°, N − m · g + F · sin 45°)
202
4. Los principios de la dinámica
Sobre el eje y no hay movimiento; por tanto, al
aplicar el segundo principio en este eje queda:
a) Dibuja, indicando quién la ejerce, cada una de las
fuerzas que actúan sobre la mesa y los libros.
N − m · g + F · sin 45° = 0
b) Calcula cada una de las fuerzas y comprueba que el
sistema se encuentra en equilibrio.
Despejando la reacción del suelo sobre el coche:
(Dato: g = 10 m/s2).
N = m · g − F · sin 45° =
a) Aplicando el tercer principio, cada pareja de cuerpos
interacciona ejerciendo fuerzas iguales y de sentidos
contrarios.
= 500 · 9,81 − 4 000 · sin 45° = 2 076,57 N
Sobre el eje x existe aceleración; entonces:
d
N L2
d
F · cos 45° = m · a
NL1
Despejando la aceleración:
a=
F · cos 45°
m
d
a = 5,7 m/s2
;
P ’L1
d
b) Las fuerzas que actúan sobre el coche son las mismas
de antes: el peso, P, la normal, N, y la fuerza, F, con
la que la grúa tira de él.
d
d
y
N’L1
F
d
x
d
PM
d
d
P ’L2
N’L2
d
Np
N
Np
Fuerzas sobre el libro 1:
66 El peso, PL1, que ejerce sobre él la Tierra.
66 La normal, NL1, que ejerce la superficie de apoyo.
30°
d
P
Fuerzas sobre el libro 2:
66 El peso, PL2, que ejerce sobre él la Tierra.
Las fuerzas proyectadas sobre los ejes son:
N = (0, N) ; P = (−m · g · sin 30°, −m · g · cos 30°)
F = (F · cos 45°, F · sin 45°)
66 La reacción de NñL1 ejercida por el libro L1,
66 La normal, NL2, que ejerce la superficie de apoyo.
Fuerzas sobre la mesa:
La fuerza total aplicada al coche es:
66 El peso de la mesa, PM, ejercido por la Tierra.
FT = F + P + N = (F · cos 45° − m · g · sin 30°,
66 Las reacciones del suelo sobre cada una de las cua-
F · sin 45° − m · g · cos 30° + N)
tro patas de la mesa: NM = 4 · NP
Sobre el eje y no hay movimiento, por tanto, aplicando el segundo principio a este eje:
F · sin 45° − m · g · cos 30° + N = 0
66 La reacción de NñL2 ejercida por el libro L2.
b) Fuerzas sobre el libro 1:
66 El peso: PL1 = m1 · g = 0,6 · (0, −10) = (0, −6) N
Despejando la normal:
66 La normal que sujeta el libro 1, que será igual y de
sentido contrario: NL1 = (0, 6) N
N = m · g · cos 30° − F · sin 45° =
= 500 · 9,81 · cos 30° − 4 000 · sin 45° = 1 419,43 N
Sobre el libro 1 la suma de fuerzas es cero: PL1 + NL1 = 0
d
Sobre el eje x existe aceleración:
NL1
F · cos 45° − m · g · sin 30° = m · a
Despejando la aceleración:
a=
=
d
PL1
F · cos 45° − m · g · sin 30°
m
4 000 · cos 45° − 500 · 9,81 · sin 30°
500
Fuerzas sobre el libro 2:
=
66 El peso: PL2 = m2 · g = 1 · (0, −10) = (0, −10) N
= 0,75 m/s
2
36 Tenemos dos libros colocados uno encima del otro,
de masas m1 = 600 g y m2 = 1 kg, ambos sobre una mesa de
masa M = 15 kg.
66 La reacción de NñL1, ejercida por el libro L1, en
la misma dirección y sentido contrario que NL1:
NñL1 = (0, −6) N
66 La normal que ejerce la superficie de apoyo y que
sujeta ambos libros: NL2 = (0, 16) N
4. Los principios de la dinámica
203
Sobre el libro 2 la suma de fuerzas es cero: PL2 + NñL1 +
+ NL2 = 0
d
Por tanto, la ecuación de la posición del balón en este
eje sobre el que describe un movimiento rectilíneo y uniforme es:
NL2
x = (v0 · cos O) · t
Despejando el valor de la velocidad inicial:
v0 =
d’
NL1
x
t · cos O
Sustituyendo los datos obtenemos:
d
PL2
v0 = 2,83 m/s
Fuerzas sobre la mesa:
66 El peso de la mesa: PM = M · g = 15 · (0, −10) =
= (0, −150) N
66 La reacción de NñL2 , ejercida por el libro L2, en
la misma dirección y sentido contrario a NL2 :
NñL2 = (0, −16) N
66 Las reacciones del suelo que sujetan la mesa y los
libros: NM = (0, 4 · NP) = (0, 166) N; NP = 41,5 N
Sobre la mesa la suma de fuerzas es cero: PM + NM +
+ NñL2 = 0
d
d
Np
Np
d
d
N’L2
PM
37 Un futbolista da una patada a un balón parado con
una fuerza media de 500 N. El balón, después de recibir el
golpe, sale lanzado con un ángulo de 45° con la horizontal y vuelve a tocar tierra, después de 20 s, a la distancia
de 40 m. Calcula el tiempo que dura el golpe dado al
balón, cuya masa es de 0,42 kg. Desprecia el rozamiento
del aire.
El balón sale del pie del futbolista con una velocidad v0
que necesitamos conocer para poder calcular, a partir de
la aplicación del teorema del impulso mecánico, el tiempo que dura el golpe.
Con este valor de la velocidad, la variación del momento
lineal del balón, teniendo en cuenta que inicialmente estaba en reposo, será:
Bp = m · v0 − 0 = 1,19 kg m/s
Utilizando el teorema del momento lineal, obtenemos el
tiempo que dura el golpe al balón:
F · Bt = Bp n
Bt = 0,002 s
38 Un cohete que se desplaza en línea recta y con velocidad uniforme de 2 000 km/h sufre una explosión y se
dividee en dos partes; una de ellas, de 2/5 de la masa
total, se mueve formando un ángulo de 30° por encima
de la horizontal y con una velocidad de 1 000 km/h. Calcula la velocidad y la dirección del segundo fragmento.
El cohete, antes de la explosión, se puede considerar
como una sola partícula con velocidad v y masa m. Después de la explosión se divide en dos pedazos de masas:
2
3
m1 = m y m2 = m, que se mueven con velocidades u1
5
5
y u2.
y
y
d
u1
30°
d
v
d
x
u2
x
Las fuerzas que producen la explosión del cohete son internas al sistema; por tanto, el momento lineal se conserva.
y
El momento lineal inicial del sistema es:
pi = m · v
d
v0
45°
x
Por consiguiente, lo primero que se plantea es una cuestión puramente cinemática. Si el balón cae a 40 m del
lugar del lanzamiento siguiendo un movimiento parabólico, ¿con qué velocidad debe salir?
La componente del vector velocidad inicial sobre el eje x
es:
v0x = v0 · cos O
204
4. Los principios de la dinámica
El momento lineal final del sistema será la suma de los
momentos lineales de las dos partes que salen de la explosión:
pf =
2
5
m · u1 +
3
5
m · u2
Aplicando la conservación del momento lineal del sistema:
m·v=
2
5
m · u1 +
3
5
m · u2
De esta ecuación vectorial se obtienen las ecuaciones sobre los ejes:
Simplificando y sustituyendo los datos, obtenemos el
sistema de ecuaciones:
v = (v, 0)
10 000 = 1 000 ∂3 + 3 · u2 · cos O
u1 = (u1 · cos 30°, u1 · sin 30°)
0 = 1 000 − 3 · u2 · sin O
u2 = (u2 · cos O, − u2 · sin O)
Sobre el eje x:
m·v=
2
5
m · u1 · cos 30° +
3
5
m · u2 · cos O
Sobre el eje y:
0=
2
5
m · u1 · sin 30° −
3
5
Despejamos los términos en los que están las razones trigonométricas y dividimos la ecuación del seno entre la
del coseno:
tan O =
sin O
cos O
= 0,12
n
O = 6,9°
Con ese valor, la velocidad se obtiene de cualquiera de
las dos ecuaciones anteriores:
m · u2 · sin O
u2 = 2 774,6 km/h
4. Los principios de la dinámica
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