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PRÁCTICAS CON DERIVE
1
DERIVE 6
Las ventanas principales de Derive 6, al igual que otras aplicaciones bajo Windows, consta de una barra
de herramientas con iconos que facilitan el uso de distintas funciones que ejecuta la aplicación.
Hay tres ventanas principales o entornos: Álgebra, Gráficas-2D y Gráficas-3D. En cada una de ellas, la
barra de herramientas tiene elementos comunes y otros propios de su entorno. Cuando trabajamos con más
de una a la vez, está activa la que está resaltada. El aspecto general de la ventana principal de la aplicación
es:
Barra de herramientas
←−
Entorno gráfico
(ventana no activa)
Entorno algebraico
(ventana activa)
Pestañas indicadoras
de ventanas
Editor de lı́nea
Alfabeto Griego
Sı́mbolos matemáticos
Teclas de funciones interesantes en el entorno algebraico:
F1 Ayuda.
F2 Editor de lı́nea para introducir una expresión.
F3 Introduce en la lı́nea de edición una expresión previamente marcada.
F4 Introduce en la lı́nea de edición una expresión previamente marcada, introduciéndola entre paréntesis.
F5 Inserta una lı́nea de texto.
PRÁCTICAS CON DERIVE
BARRA DE HERRAMIENTAS Derive 6
Iconos de manejo de archivos
Nuevo
Abrir
Guardar
Imprimir
Iconos de ventanas
Álgebra
Gráfica 2D
Gráfica 3D
Iconos de edición
Cortar
Menú de ventanas
Menú de opciones
Copiar
Pegar
Eliminar
Ayuda
2
PRÁCTICAS CON DERIVE
3
Ventana de Álgebra
Introducir Texto
Simplificar
Pasos intermedios
Básico Aproximar
Menú Introducir
Menú Resolver
Resolver Sustituir
Expresión
Vector
Matriz
Calculus
Lı́mite Derivada Integral Suma Producto
Menú Simplificar
Menú Cálculo
PRÁCTICAS CON DERIVE
Ventana gráfica 2D
Copiar
ventana 2D
Trazar
gráfica
Borrar
última
gráfica
Centrar en
el cursor
Dibujar
expresión
F4
Insertar
anotación
F12
Centrar en
el origen
Seleccionar
rango
Restablecer
rango
ZOOM
Hacia
fuera
F10
Menú Seleccionar
Menú Opciones
Reducir
en OY
F8
Reducir
en OX
F6
Hacia
dentro
F9
Ampliar
en OY
F7
Ampliar
en OX
F5
4
PRÁCTICAS CON DERIVE
NUM.de MATRÍCULA
5
FECHA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
APELLIDOS /Nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PC
INTRODUCCIÓN AL DERIVE
1. Introduce las siguientes expresiones:(Introducir/Expresión, el icono correspondiente, F2 o lı́nea de
edición de expresiones y/o comandos)
(1)
(x + y)(x2 + y 2 )
x4 − y 4
(2)
y 3 (x2 − y 2 )e−x
x6 − y 6
2. Simplifica las expresiones anteriores.
(Simplificar/Normal o el icono correspondiente)
(1)
(2)
3. Evalúa la expresión (1) en y = 5 y la expresión (2) en y = 2π.
(Simplificar/Sustituir Variable o el icono correspondiente)
(1)
(2)
4. Simplifica la expresión (2):
a)
Simplificar/Expandir
b) Simplificar/Factorizar
c) Simplificar/Aproximar
¿Qué diferencias encuentras entre las distintas formas de simplificar?
2 +sen y
6
PRÁCTICAS CON DERIVE
5. Con el resultado obtenido en el apartado 3 define la función f (x) con (1) y la función g(x) con
(2),(Introducir/Definición de una función), y evalúa las funciones donde se indica.
(1) f (x) =
(2) g(x) =
(1) f (3) =
(2) g(5) =
6. Dibuja f (x). (Marcar f (x)/ Ventana/Nueva Ventana 2D // Insertar/Gráfica o los iconos correspondientes)
7. Dividir la pantalla en dos ventanas verticales para ver a la vez la ventana de las expresiones algebraicas
(Álgebra) y la ventana de dibujo (Gráficas-2D).(Ventana/Mosaico Vertical )
8. Cambia el aspecto de la gráfica utilizando los iconos de Zoom y observa como cambia la escala.
9. Dibuja g(x).
10. Calcula los siguientes lı́mites:(Cálculo/Lı́mites o el icono correspondiente)
lı́m f (x) =
lı́m f (x) =
x→5+
lı́m f (x) =
lı́m f (x) =
x→∞
x→5
x→5−
11. Calcula lı́m g(x) =
x→π/2
Aproxima numéricamente el resultado anterior.
(Simplificar/Aproximar o el icono correspondiente)
lı́m g(x) ≈
x→π/2
Modifica los parámetros de precisión y vuelve a aproximar el lı́mite anterior.
( Opciones/Ajustes de Modo )
lı́m g(x) ≈
x→π/2
Restaura los parámetros de precisión (Opciones/Ajustes de Modo/Restablecer )
12. Calcula f 0(x). (Cálculo/Derivadas o el icono correspondiente). Dibuja f 0 (x).
13. Borra solamente la gráfica de f (x). (Editar/Borrar Gráfica/Primera)
14. Calcula
Z
Z
f (x) dx =
(Cálculo/Integrales o el icono correspondiente)
Z
1
f (x) dx =
−1
15. Calcula
Z
+∞
f (x) dx =
7
Z
1
g(x) dx =
−1
Z
1
−1
16. Aproximar el resultado de
6
f (x) dx =
4
Z
6
f (x) dx =
3
2
8π 3e−x
dx. (Cálculo/Integrales o el icono correspondiente)
x4 + 4π 2x2 + 16π 4
Z
+∞
g(x) dx =
−∞
Z
+∞
−∞
2
8π 3e−x
dx ≈
x4 + 4π 2x2 + 16π 4
7
PRÁCTICAS CON DERIVE
DESIGUALDADES
Resolver/Expresión
• Método algebraico: resuelve ecuaciones e inecuaciones mediante métodos algebraicos siempre que sea
posible, calcula las soluciones exactas (tanto raı́ces reales como complejas). Si se quiere calcular sólo
las raı́ces reales o dentro de un intervalo concreto se indica en el Dominio. La función de Derive es
SOLVE(expresión,variable,Real/Extremos del Intervalo)
Utilizando Simplificar/Aproximar tendremos las soluciones aproximadas, tanto reales como complejas.
APPROX(SOLVE(expresión,variable,Real/Extremos del Intervalo))
• Método numérico: resuelve ecuaciones mediante métodos numéricos. Encuentra una única solución
de la ecuación en el intervalo especificado (raı́z real). Una representación gráfica del problema nos
ayudará a encontrar todos los intervalos donde es posible hallar una única raı́z.
NSOLVE(expresión,variable,Real/Extremos del Intervalo)
NOTA: En el caso de ecuaciones algebraicas es capaz de encontrar aproximadamente todas las soluciones posibles, tanto reales como complejas.
Resolución gráfica de desigualdades
Para resolver las desigualdades gráficamente introduciremos la expresión en la ventana de álgebra y
la representaremos en una ventana de Gráficas-2D.
EJEMPLO: Estudia para qué conjunto de números reales se verifica la desigualdad
|x2 − 9| < 2.
1. En la ventana de Álgebra introducimos la expresión
ABS(x2 − 9) < 2
2. Con la expresión anterior marcada, abrimos una ventana de Gráficas-2D y dibujamos.
3. Para introducir el dibujo en la ventana de Álgebra seleccionamos en la barra de herramientas de
la ventana gráfica: Archivo/Incrustar.
4. Para obtener la solución analı́tica, utilizaremos la instrucción de la barra de herramientas Resolver/Expresión o el icono correspondiente.
PRÁCTICAS CON DERIVE
8
* Resolver gráfica y analı́ticamente las siguientes desigualdades, introduciendo la solución gráfica en el
fichero de la práctica:
1. x2 − 5x + 6 ≥ 0
2. |x + 2| − |x| ≥ 1
3. |x − 1| + |x + 2| ≥ 3
3
5
4.
−
≤0
x−2 x−6
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PRÁCTICAS CON DERIVE
NUM.de MATRÍCULA
FECHA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
APELLIDOS /Nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PC
PRÁCTICA UNO. COMPLEJOS CON DERIVE
La unidad imaginaria puede escribirse directamente con la barra de sı́mbolos matemáticos de la derecha
pulsando i, o bien escribir #i.
Funciones asociadas a los números complejos
En Derive están implementadas las siguientes funciones relacionadas directamente con los números
complejos:
ABS(z)
calcula el módulo del número complejo z. Si
z = x + iy =⇒ ABS(z) =
PHASE(z)
calcula el argumento principal del número complejo z. Si
arc tg(y/x) estando el resultado dentro del intervalo (−π, π]
RE(z)
calcula la parte real del número complejo z. Si
IM(z)
calcula la parte imaginaria del número complejo z. Si
CONJ(z)
p
x2 + y 2
z = x+iy =⇒ PHASE(z) =
z = x + iy =⇒ RE(z) = x
calcula el conjugado del número complejo z. Si
z = x + iy =⇒ IM(z) = y
z = x + iy =⇒ CONJ(z) = x − iy
Representación de los números complejos
Un número complejo z = x + iy se representa como el punto del plano [x, y].
Si queremos representar un número complejo z = x + iy como el vector cuyo origen es el punto (0, 0)
y el extremo es (x, y), introducimos una matriz cuyas filas son las coordenadas de cada punto
[0, 0; x, y]
en el menú de la ventana Gráficas-2D seleccionamos Opciones/Pantalla (F11)/Puntos:Conectar Sı́ y
dibujamos.
PRÁCTICAS CON DERIVE
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I. Funciones de números complejos
1. Introduce el número complejo
z = 1 + 4i. Calcular:
a) |z| =
b)
d)
Arg(z) =
c)
z3 =
e)
2. Introduce el número complejo
ientes números complejos:
z̄ =
1
=
z
w = −2 − 3i. Representar gráficamente como vectores los sigu-
a) w
c) w3
b) w̄
d)
1
w
3. Demostrar las siguientes propiedades:
z + z̄
= Re(z)
2
a)
b)
z − z̄
= Im(z)
2i
II. Potencias de i
1. Calcular y representar gráficamente las siguientes potencias de i:
a) i34 =
b) i847 =
c) i5624 =
2. Hallar las quince primeras potencias de i.
La función Derive
VECTOR(expresión que depende de k, k, a, b, h)
simplifica a un vector cuyas componentes son las expresiones en el valor k donde
k = a + nh
n = 0, 1, . . .,
b−a
h
cuando h = 1 es el valor por defecto del paso y puede omitirse.
La expresión utilizada para generar un vector con las quince primeras potencias de i es
VECTOR(
,
,
,
,
)=
3. Sumar las quince primeras potencias de i.
(NOTA: Utiliza el icono correspondiente de la barra de herramientas)
15
X
ik =
k=1
4. Calcular la siguiente expresión
4n
X
k=1
ik =
11
PRÁCTICAS CON DERIVE
Si el resultado no es el esperado, tendrás que especificar qué tipo de número es n
(Introducir/Dominio de una Variable)
Si
n ∈ IN =⇒
4n
X
ik =
k=1
5. Introducir y representar gráficamente los números complejos
Arg(2 + 2i) =
Arg(i(2+2i)) = Arg(
z = 2 + 2i, iz, i2z, i3z, i4 z.
|2 + 2i| =
)=
|i(2+2i)| = |
|=
Arg(i2(2+2i)) = Arg(
)=
|i2(2+2i)| = |
|=
Arg(i3(2+2i)) = Arg(
)=
|i3(2+2i)| = |
|=
Arg(i4(2+2i)) = Arg(
)=
|i4(2+2i)| = |
|=
¿Qué movimiento en el plano relaciona z con iz?
¿Qué figura geométrica obtienes al unir los números complejos generados? (NOTA: Cambia el
aspecto de la pantalla Gráficas-2D con Seleccionar/Relación de Aspecto: 1:1 )
6. Generar la figura geométrica anterior partiendo del número complejo
función VECTOR para obtener la matriz de puntos.
El número complejo z = x + iy se representa por el punto del plano
(x, y) = (|z| cos(Arg(z)), |z| sen(Arg(z)))
z = 2+i
utilizando la
PRÁCTICAS CON DERIVE
12
III. Operaciones básicas con números complejos
1. Introducir y representar gráficamente, como vectores, los números complejos
z = 3 + 2i w = −1 + 3i z + w =
z−w=
¿Qué operación de vectores está asociada a la suma de números complejos? ¿ y a la diferencia?
2. Introducir y representar gráficamente, como vectores, los números complejos
z = 3 + 2i w = 1 + i zw =
z/w =
Analiza la relación entre los módulos y argumentos de los números anteriores
|z| =
|w| =
|zw| =
|z/w| =
Arg(z) =
Arg(w) =
Arg(zw) =
Arg(z/w) =
La relación es
MÓDULOS
ARGUMENTOS
3. Hallar los vértices de un pentágono regular cuyo centro es (0, 0) y uno de los vértices es (3, 4),
utilizando las operaciones de los números complejos.
VÉRTICES
4. Hallar los vértices de un cuadrado cuyo centro es (3, 4) y uno de los vértices es (5, 7), utilizando
las operaciones de los números complejos.
VÉRTICES
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PRÁCTICAS CON DERIVE
IV. Raı́ces de números complejos
z = |z|(cos(Arg(z)) + i sen(Arg(z))) ∈ C
wk = |z|
1/n
1. Hallar
√
3
Arg(z) + 2kπ
cos
n
tiene las n−ésimas raı́ces distintas
Arg(z) + 2kπ
+ i sen
n
k = 0, 1, . . ., n − 1
n ∈ IN
−8 =
Comprobarás que sólo obtienes una raı́z de las tres posibles. El programa DERIVE implementa las funciones matemáticas con variable compleja mostrando como resultado, por defecto, el
correspondiente a la rama principal. Por ejemplo:

√

 1 + i 3 ∈ Rama Principal
√
3
−2 ∈ Rama Real
−8 =

 1 − i√3
Para obtener las n−ésimas raı́ces distintas de un número complejo tendremos que recurrir a la
definición, utilizando la función de Derive VECTOR
√
3
π + 2kπ
π + 2kπ
−8 = VECTOR 2 cos
, sen
3
3
, k, 0, 2
Comprueba
√ gráficamente que las tres raı́ces están situadas en la circunferencia
siendo | 3 −8| = 2
x 2 + y 2 = 22
Uniendo los puntos asociados a las tres raı́ces, ¿qué figura geométrica obtienes?
2. Hallar
√
6
−4 + 3i
RAÍCES
Uniendo los puntos asociados a las seis raı́ces, ¿qué figura geométrica obtienes?
3. Construye un DECÁGONO con centro el origen y radio de la circunferencia circunscrita igual a
3.