Tema 1

1. ESPACIOS DE HILBERT Y OPERADORES
1. DEFINICIÓN, PROPIEDADES Y EJEMPLOS
Definición. Sea H un espacio vectorial sobre el cuerpo C de los números complejos, un producto escalar
sobre H es una aplicación (·|·) de H × H en C tal que
(x|x) ≥ 0, para todo x ∈ H;
(x|x) = 0 si y sólo si x = 0;
(x|y) = (y|x), para todo x, y ∈ H;
(αx + βy|z) = α(x|z) + β(y|z), para todo x, y, z ∈ H, α, β ∈ C.
Un espacio vectorial dotado de un producto escalar es un espacio prehilbertiano.
Notas.
1. Se cumple (x|αy + βz) = α(x|y) + β(x|z).
2. Si H es un espacio vectorial sobre R, entonces (x|y) = (y|x).
3. x = 0 si y sólo si (x|y) = 0 para todo y ∈ H.
Proposición. Desigualdad de Cauchy–Schwarz:
|(x|y)|2 ≤ (x|x) · (y|y) x, y ∈ H
Ejemplos.
1. Cn con (x|y) = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn .
P∞
2. `2 con (x|y) = 1 xi yi .
R1
3. L2 ([0, 1], C) con (f |g) = 0 f (x)g(x) dx.
4. Análogamente Rn , L2 ([0, 1], R) y `2 para sucesiones reales.
p
Definición. La norma de x ∈ H es kxk := (x|x), se cumple
kxk ≥ 0, kxk = 0 si y sólo si x = 0;
kx + yk ≤ kxk + kyk;
kαxk = |α|kxk, para x ∈ H y α ∈ C.
Definiendo d(x, y) = kx − yk se obtiene una distancia en H.
Propiedades.
1. El producto escalar es una aplicación continua de H × H en C.
2. La norma es una aplicación continua de H en C.
3. Ley del paralelogramo: kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 .
Definición. Un espacio prehilbertiano que es completo para la distancia inducida por el producto escalar es
un espacio de Hilbert. Todo subespacio vectorial cerrado de un espacio de Hilbert, es un espacio de Hilbert.
Ejemplos.
1. Los espacios Cn , L2 [0, 1] y `2 son de Hilbert.
2. El espacio de sucesiones casi nulas c00 = {(xn ) : xn ∈ C, xn = 0 para n ≥ n0 } con el producto escalar de
`2 no es completo.
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2. ORTOGONALIDAD
Definición. Sea H un espacio prehilbertiano, dos vectores x, y ∈ H son ortogonales si (x|y) = 0; se denota
por x ⊥ y. Se llama ortogonal de un conjunto A al conjunto A⊥ de todos los vectores ortogonales a los
vectores de A, es decir, A⊥ = {x ∈ H : x ⊥ y, ∀y ∈ A}. A⊥ es un subespacio vectorial cerrado.
Proposición. (Teorema de Pitágoras)
Si x e y son ortogonales entonces kx + yk2 = kx2 k + kyk2 .
Definición. Un subconjunto A de un espacio vectorial es convexo si dados x, y ∈ A el segmento que une x
con y está contenido en A, es decir, αx + (1 − α)y ∈ A, para todo 0 ≤ α ≤ 1.
Ejemplo. La bola unidad de un espacio de Hilbert H, BH = {x ∈ H : kxk ≤ 1}, es convexa.
Teorema. (Lema de Riesz)
Sea H un espacio de Hilbert, A un subconjunto convexo y cerrado y x ∈ H. Entonces existe un único x0 ∈ A
tal que
d(x, x0 ) = d(x, A) = inf{d(x, y) : y ∈ A}.
Teorema. (Teorema de la proyección)
Sea H un espacio de Hilbert, Y un subespacio vectorial cerrado de H. Entonces todo elemento x ∈ H se
puede expresar de forma única como x = y + z donde y ∈ Y y z ∈ Y ⊥ .
Notas.
1. Si x = y + z, con y ∈ Y y z ∈ Y ⊥ , se dice que y es la proyección de x sobre Y .
2. Y ⊥ es el complemento ortogonal en H de Y .
3. Si Y es un subespacio vectorial cerrado de H y Y 6= H entonces Y ⊥ 6= {0}.
3. BASES E ISOMORFISMOS (en espacios separables)
Definición. Una sucesión (xn ) en un espacio prehilbertiano es un sistema ortogonal si xn 6= 0 y xn ⊥ xm
para n 6= m. Si todos los vectores del sistema tienen norma uno, se dice que es ortonormal.
Ejemplos. {eint : n ∈ Z} en L2 (T) y en = (0, . . . , 1, 0, . . .) en `2 .
Propiedades.
1. Todo sistema ortogonal está formado por vectores linealmente independientes.
2. Proceso de ortonormalización de Gram–Schmidt: dados vectores x1 , . . . , xn linealmente independientes
en un espacio prehilbertiano, existen vectores ortonormales y1 , . . . , yn tales que para todo k, con 1 ≤ k ≤ n,
los subespacios vectoriales generados por {x1 , . . . , xk } y por {y1 , . . . , yk } coinciden.
3. El proceso anterior se puede hacer para (xn )∞
1 linealmente independientes.
Teorema. (Desigualdad de Bessel)
X
Sea (xn ) un sistema ortonormal, se cumple
|(x|xn )|2 ≤ kxk2 , para todo x ∈ H.
Teorema. (Teorema de Riesz–Fischer)
P
P
Sea H un espacio de Hilbert y (xn ) un sistema ortonormal. Entonces αn xn converge si y sólo si |αn |2 <
∞.
Definición. Sea H un espacio de Hilbert y (xn )n∈N un sistema ortonormal en H. La serie de Fourier de
X
x ∈ H respecto de (xn )n∈N es
(x|xn )xn .
Teorema. (Teorema de la base)
Sea H un espacio de Hilbert (separable) y (xn ) un sistema ortonormal en H. Son equivalentes:
a) (xn ) es un sistema ortonormal maximal: si (x|xn ) = 0 para todo n, entonces x = 0;
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b) (xn ) es completo: H es el menor subespacio vectorial cerrado que contiene a (xn );
X
c) (xn ) es una base de H: x =
(x|xn )xn , para todo x ∈ H;
X
d) Identidad de Parseval: kxk2 =
|(x|xn )|2 , para todo x ∈ H.
Ejemplo. (en ) es una base de `2 y {eint : n ∈ Z} es una base de L2 (T).
Corolario. Todo espacio de Hilbert tiene una base.
Definición. Un isomorfismo entre espacios de Hilbert es una aplicación lineal sobreyectiva T : H1 −→ H2
que conserva el producto escalar (T x|T y) = (x|y), para todo x, y ∈ H1 (en ese caso es inyectiva y conserva
la norma, es una isometrı́a).
Notas.
1. Dos espacios de Hilbert son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión (el cardinal de una base).
2. Todo espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es isomorfo a `2 .
3. Un espacio de Hilbert tiene dimensión finita si y sólo si la bola unidad es compacta.
Teorema. (Teorema de la mejor aproximación)
Sea H un espacio de Hilbert, M un subespacio vectorial cerrado y (xn ) una base de M . Dado x ∈ H la
mejor aproximación de a x en M es la serie de Fourier de x respecto de (xn ).
4. OPERADORES EN ESPACIOS DE HILBERT
Propiedad. Sea T : H1 −→ H2 un operador lineal entre dos espacios prehilbertianos, son equivalentes:
a) T es continuo;
b) T es continuo en x = 0;
c) T es acotado, es decir, existe C > 0 tal que kT xk ≤ Ckxk.
Ejemplos.
1. Un operador lineal T : Cn −→ Cm tiene asociada una matriz n × m respecto de dos bases ortonormales
m
(ui )n1 de Cn y (vj )m
1 de C , dada por (aij ), donde aij = (T ui |vj ). En estas condiciones todo operador lineal
es acotado.
2. Operador de desplazamiento: T : `2 −→ `2 dado por T (α1 , α2 , . . .) = (0, α1 , α2 , . . .) es lineal y continuo.
3. Operadores diagonales: T : `2 −→ `2 dado por T (α1 , α2 , . . .) = (β1 α1 , β2 α2 , . . .) es lineal y continuo si la
sucesión (βn ) está acotada.
4. Operador de multiplicación: T : L2 (0, 1) −→ L2 (0, 1) definido por T f = f g para g ∈ L∞ (0, 1) es lineal y
continuo.
Rx
5. El operador de Volterra T f (x) = 0 f (t) dt de L2 (0, 1) en L2 (0, 1) es lineal y continuo.
Definición. Se llama norma de un operador lineal y continuo entre dos espacios prehilbertianos a
kT k = sup{kT xk : kxk ≤ 1}.
El espacio de los operadores lineales y continuos de H1 en H2 se denota por L(H1 , H2 ), es un espacio vectorial
donde d(T, S) = kT − Sk es una métrica.
Propiedad. Si H2 es completo entonces L(H1 , H2 ) es completo.
Nota. El espacio B(`2 ) = L(`2 , `2 ) con la norma de operadores no es un espacio prehilbertiano.
Definición. Sea H un espacio prehilbertiano sobre C (ó R), un funcional lineal es una aplicación lineal
f : H −→ C (ó R).
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Ejemplo. Pi0 : `2 (I) −→ C, siendo Pi0 ((αi )i∈I ) = αi0 .
Nota. Si H tiene dimensión finita, todo funcional lineal es continuo.
Definición. El espacio vectorial de los funcionales lineales y continuos sobre un espacio prehilbertiano H,
es el dual topológico de H denotado por H ∗ . La norma de un funcional lineal continuo es kf k = sup{|f (x)| :
kxk ≤ 1}. El dual topológico H ∗ es completo.
Nota. El núcleo de un operador T : H1 → H2 es KerT = {x ∈ H1 : T x = 0}.
Teorema. (Teorema de Frechet–Riesz)
Un vector x0 ∈ H define un funcional lineal f (x) = (x|x0 ), que es continuo.
Recı́procamente, dado un funcional lineal y continuo f sobre un espacio de Hilbert H, existe un único vector
x0 ∈ H tal que f (x) = (x|x0 ) para todo x ∈ H. Se cumple kf k = kx0 k.
Corolario. Identificación de un espacio de Hilbert con su dual.
Definición. Dado un operador lineal y continuo entre dos espacios de Hilbert T : H1 −→ H2 , existe un
único operador T ∗ : H2 −→ H1 lineal y continuo tal que (T x|y) = (x|T ∗ y) para todo x ∈ H1 , y ∈ H2 . T ∗ es
el adjunto de T .
Ejemplos. Adjuntos de los operadores del ejemplo anterior.
Propiedades.
1. (αT + βS)∗ = αT ∗ + βS ∗ .
2. T ∗∗ = (T ∗ )∗ = T .
3. kT k = kT ∗ k.
4. (T S)∗ = S ∗ T ∗ , para S: H1 −→ H2 y T : H2 −→ H3 .
Definición. Un operador lineal y continuo T : H −→ H es autoadjunto si T = T ∗ , y es una proyección si
TT = T.
Propiedad. Si T es una proyección autoadjunta (proyección ortogonal), entonces para cada x ∈ H, T x es
la proyección de x sobre el subespacio vectorial cerrado T H. Se cumple kT k = 1.
5. OPERADORES COMPACTOS
Definición. Un operador lineal T : H1 −→ H2 es compacto si la imagen de la bola unidad de H1 es un
conjunto de clausura compacta en H2 .
Un operador lineal T : H1 −→ H2 tiene rango de dimensión finita si dim T (H1 ) < ∞.
Nota. K ⊂ H es relativamente compacto si y sólo si es totalmente acotado: para todo ε > 0 existen
x1 , · · · , xn ∈ H tal que
n
[
K⊂
B(xi , ε) = {x1 , · · · , xn } + Bε .
i=1
Ejemplo. Los operadores: x ∈ H1 7−→ (x|x0 )y0 ∈ H2 , con x0 ∈ H1 y y0 ∈ H2 tienen rango de dimensión
finita.
Propiedades.
1. Todo operador lineal y compacto es continuo.
2. Un operador lineal y continuo con rango de dimensión finita es compacto.
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3. El conjunto de los operadores lineales compactos de H1 en H2 , K(H1 , H2 ), es un subespacio vectorial
cerrado de L(H1 , H2 ).
4. Los operadores compactos forman un ideal de operadores: si T y S son operadores lineales y continuos y
uno de ellos es compacto, entonces ST es compacto.
Teorema. Sean H1 y H2 espacios de Hilbert y T : H1 −→ H2 lineal y continuo. Son equivalentes:
a) T es compacto;
b) T ∗ es compacto;
c) T es lı́mite en L(H1 , H2 ) de una sucesión de operadores con rango de dimensión finita.
Ejemplo. El operador de Volterra es compacto.
Teorema. (Teorema espectral para operadores compactos)
Un operador lineal T : H1 −→ H2 es compacto si y sólo si se puede representar de la forma
T =
∞
X
an (·|en )fn ,
1
donde (en ) es una sucesión ortonormal en H1 , (fn ) es una sucesión ortonormal en H2 , (an ) es una sucesión
de escalares que tiende a cero y la serie converge en la norma de L(H1 , H2 ).
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