UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FÍSICO-QUÍMICAS Y NATURALES
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CARRERA/S: Licenciatura en Matemática
PLAN DE ESTUDIOS: 2008.
ASIGNATURA: Análisis Funcional
CÓDIGO: 1916
DOCENTE RESPONSABLE: Dr. Héctor H. Cuenya
EQUIPO DOCENTE: Héctor H. Cuenya, Doctor en Cs. Matemáticas.
Fabián E. Levis, Doctor en Cs. Matemáticas.
AÑO ACADÉMICO: 2012
REGIMEN DE LA ASIGNATURA: cuatrimestral
RÉGIMEN DE CORRELATIVIDADES. Se debe tener regular el Código 1917 y 2263.
CARGA HORARIA TOTAL: 120 hs.
TEÓRICAS: 60 hs.
PRÁCTICAS: 60 hs.
CARÁCTER DE LA ASIGNATURA: Optativa
A. CONTEXTUALIZACIÓN DE LA ASIGNATURA: Cuarto año.
B. OBJETIVOS PROPUESTOS
Estudiar los conceptos básicos del Análisis Funcional con aplicaciones a los espacios de
Hilbert y espacios de Banach clásicos
CONTENIDOS BÁSICOS DEL PROGRAMA A DESARROLLAR
Espacios de Hilbert. Ortogonalidad. Teorema de representación de Riesz. Bases en espacios
de Hilbert. Operadores en espacios de Hilbert. Operador adjunto. Operadores Compactos.
Diagonalización de operadores compactos y autoadjuntos. Espacios de Banach. Funcionales
lineales. Teorema de Hahn-Banach. Teorema de la aplicación abierta y del gráfico cerrado.
Espacios localmente convexos. Topologías débiles. Teorema de Alaoglu. Reflexividad.
Operadores lineales sobre espacios de Banach. Operador Adjunto. Operadores Compactos.
Espacios Lp y de Sobolev.
.
FUNDAMENTACIÓN DE LOS CONTENIDOS
Además de la importancia que reviste la Análisis Funcional en la formación de los
Licenciados en Matemática, esta asignatura es utilizada para el desarrollo de algunos tópicos
de otras asignaturas como Teoría de Aproximación , Ecuaciones Diferenciales, Optimización.
ACTIVIDADES A DESARROLLAR
CLASES TEÓRICAS: Se realizan exposiciones por parte del docente a cargo.
CLASES PRÁCTICAS: Se resuelven ejercicios y se discuten los resultados.
C. NÓMINA DE TRABAJOS PRÁCTICOS
Los teoremas de Hahn-Banach
Topologías débiles. Espacios reflexivos. Operador adjunto.
Los espacios Lp.
Los espacios de Hilbert.
Operadores compactos. Descomposición espectral de los operadores compactos autoadjuntos.
Espacios de Sobolev.
D. HORARIOS DE CLASES: Viernes de 17 a 20 hs y Sábado: 12 a 15 hs. Teoría.
Viernes de 8 a 12 hs. Prácticos.
HORARIO DE CLASES DE CONSULTAS: Miércoles de 15 a 17 hs..
E. MODALIDAD DE EVALUACIÓN:
Evaluaciones Parciales: Los exámenes parciales versarán sobre ejercicios del tipo de
aquellos desarrollados en los trabajos prácticos.
Evaluación Final: En el caso de los alumnos regulares el examen final será oral y versará
sobre los aspectos teóricos impartidos en el curso. En el caso de los alumnos libres
previamente a la exposición oral, deberá aprobarse un examen escrito sobre los temas tratados
en los trabajos prácticos.
CONDICIONES DE REGULARIDAD:
Para la regularización de esta asignatura el alumno deberá tener una asistencia del 80% a las
clase prácticas y aprobar dos parciales, teniendo cada parcial la posibilidad de ser recuperado
una vez.
PROGRAMA ANALÍTICO
CONTENIDOS
Programa Analítico
I.
Los teoremas de Hahn-Banach. Forma analítica del teorema de Hahn-Banach:
extensión de formas lineales. Formas geométricas del teorema de Hahn-Banach:
separación de conjuntos convexos.
II.
Los teoremas de Banach-Steinhaus y de la gráfica cerrada. Operadores no acotados. Noción de adjunto. Caracterización de los operadores sobreyectivos. Repaso
del Lema de Baire. El teorema de Banach-Steinhaus. Teorema de la aplicación abierta
y teorema de la gráfica cerrada. Relaciones de ortogonalidad. Introducción a los
operadores lineales no acotados. Definición de adjunto. Caracterización de los
operadores con imagen cerrada. Operadores sobreyectivos. Operadores acotados.
III.
Topologías débiles. Espacios reflexivos. Espacios separables. Repaso sobre la
topología menos fina que hace continuas una familia de aplicaciones. Definición y
propiedades elementales de la topología débil σ (E, E'). Topología débil, conjuntos
convexos y operadores lineales. La topología débil * σ(E', E). Espacios reflexivos.
Espacios separables.
IV.
Los espacios Lp. Algunos resultados de integración que es absolutamente necesario
cono cer. Definición y propiedades elementales de los espacios Lp
Reflexividad.
Separabilidad. Dual de Lp.
V.
Los espacios de Hilbert. Definiciones. Propiedades elementales. Proyección sobre
un convexo cerrado. Dual de un espacio de Hilbert. Teoremas de Stampacchia y de
Lax-Milgram. Suma Hilbertiana. Base Hilbertiana..
VI.
Operadores compactos. Descomposición espectral de los operadores compactos
autoadjuntos. Definición. Propiedades elementales. Adjunto. La teoría de RieszFredholm. Espectro de un operador compacto. Descomposición espectral de los
operadores compactos autoadjuntos.
Espacios de Sobolev. Motivación. El espacio de Sobolev W 1,p(I). Propiedades.
VII.
Formas metodológicas de enseñanza y aprendizaje:
Se realizarán exposiciones por parte de los docentes responsables de la teoría. Paralelamente
se desarrollarán trabajos prácticos correspondientes a los temas desarrollados.
A. CRONOGRAMA DE CLASES Y PARCIALES
Semana
1-2
3-4
5-6
7-8
9-10
11-12
13-14
Día/Fech
a
Teóricos
Unidad I
Unidad 2
Unidad 3
Unidad 4
Unidad 5
Unidad 6
Unidad 7
Día/Fecha
Prácticos
Día/Fecha
Laboratorios
Unidad I
Unidad 2
Unidad 3
Unidad 4
Unidad 5
Unidad 6
Unidad 7
Parciales /
Recuperatorios
04/05 1º Parcial
08/06 2º Parcial
13/06 1º Recup
15/06 2ª Recup
B. BIBLIOGRAFÍA
[1] - H. Brézis. Análisis Funcional. Alianza Editorial, 1984.
[2] - J. Conway. A Course in Functional Analysis. Springer, 1985.
[3]- W. Rudin. Functional Análisis. Mc-Graw Hill. 1991
Dr. Héctor Hugo Cuenya