EJERCICIOS HILBERT 1 Postguıa 4

EJERCICIOS HILBERT
1
Postguı́a 4
1.1
Sean {en | n ∈ N} y {e0n | n ∈ N} dos bases ortonormales del espacio de Hilbert H . Sabemos que e0n = en si n 6= 5 .
Que se puede decir de los vectores e5 y e05 ?
1.2
Sea B la bola abierta de centro 0 y radio 1 en el espacio de Hilbert H .
• Muestre que B es un conjunto convexo.
• Calcule la cerradura de B .
1.3
Sea
P {en }n∈N una2 base ortonormal en el espacio de Hilbert H y {xn }n∈N una familia de vectores de H que cumple
n k xn − en k < 1 . Muestre que {xn }n∈N genera un subespacio denso de H .
1.4
Encuentre un isomorphismo U : `2 (N∗ ) 7→ `2 (N) .
Encuentre un isomorphismo V : `2 (Z) 7→ `2 (N) .
1.5
Sea U : H 7→ K un isomorfismo de espacios de Hilbert. Sea M un subespacio de H .
Cómo se relacionan M ⊥ y (U M )⊥ ?
1.6
Si m 6= n los espacios de Hilbert Cm y Cn no son isomorfos.
1.7
Sea el subconjunto A := {x | 2 ≤k x k≤ 5} de un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Es A compacto?
1
1.8
Si A, B son dos conjuntos, se escribe #(A) ≤ #(B) si existe una función inyectiva ϕ : A → B .
• Muestre que se trata de una relación de preorden.
• Cómo se puede caracterizar la equivalencia asociada a esta preorden?
Sean H, K dos espacios de Hilbert. Se escribe dim(H) ≤ dim(K) si existen b.o.n. A ⊂ H y B ⊂ K tal que #(A) ≤
#(B) .
• Verifique que, si A0 ⊂ H y B 0 ⊂ K son dos otras b.o.n., se tiene #(A0 ) ≤ #(B 0 ) .
• Muestre que dim(H) ≤ dim(K) sss existe una isometrı́a lineal V : H → K .
Sea H un subespacio cerrado del espacio de Hilbert K .
• Interpreta a H como un espacio de Hilbert.
• Demuestre que dim(H) ≤ dim(K) .
1.9
Sea (an )n∈N una sucesión de vectores normados en el espacio de Hilbert H tal que, para un elemento a, se tiene
han , bi −→ ha, bi ,
n→∞
∀b ∈ H.
Qué se puede decir de k a k ?
1.10
w
Si fn −→ f y k fn k ≤ k f k , ∀ n ∈ N entonces fn −→ f .
n→∞
n→∞
1.11
En el espacio de Hilbert H se supone que la esfera S := {x ∈ H | k x k = 1} es cerrada en la topologı́a debil.
Muestre que H tiene dimensión finita.
1.12
w
w
Sean fn → f y fn → g ; muestre que f = g .
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