Introducción a los espacios de Krein.

APÉNDICE 1
INTRODUCCIÓN A LOS ESPACIOS DE KREIN.
Una forma de generalizar el concepto de producto escalar viene motivada
por el siguiente ejemplo.
1. Ejemplo. En el espacio K = `2 se define el producto
[x, y] =
X
xm ym −
X
xm ym ,
m6∈A
m∈A
para cualesquiera x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ K, donde A es cualquier
subconjunto (fijo) de N.
(1) El producto [·, ·] es una forma sesquilineal hermı́tica en K pero no necesariamente un producto escalar.
P
EnPefecto, de la desigualdad de Hölder se deduce que las series m∈A xm ym
y m6∈A xm ym son absolutamente convergentes. Esto permite sumarlas término a término y multiplicarlas por constantes arbitrarias; es decir:
[αx + βy, z] =
X
(αxm + βym ) zm −
X
m∈A
(αxm + βym ) zm
m6∈A
m∈A
= α
X
xm zm + β
X
y m zm − α
X
xm zm − β
m6∈A
m∈A
X
y m zm
m6∈A
= α[x, z] + β[y, z];
X
X
X
X
[x, y] =
xm ym −
xm ym =
xm ym −
xm ym = [y, x].
m∈A
m6∈A
m∈A
327
m6∈A
Para ver que no es un producto escalar, observamos que
X
X
[x, x] =
|xm |2 −
|xm |2 ,
m6∈A
m∈A
de modo que, si elegimos la
P sucesión 2x = (xn )n∈N ∈ K, con xn = 0 para
n ∈ A, entonces [x, x] = − m6∈A |xm | < 0.
(2) El producto anterior es no-degenerado, es decir se verifica
[x, y] = 0, ∀y ∈ K =⇒ x = 0.
(3) El producto anterior, restringido a los espacios K + = {x ∈ K : sop(x) ⊂
A} y K − = {x ∈ K : sop(x) ⊂ N \ A} sı́ da lugar a espacios de Hilbert. Más
concretamente:
i) K = K + ⊕ K − .
(
xm
=
0
si m ∈ A,
En efecto, si x ∈ K es arbitrario, llamamos ym
y
si m 6∈ A,
(
0
si m ∈ A,
zm =
con lo que y = (ym )m ∈ K + , z = (zm )m ∈ K −
xm si m 6∈ A,
y además x = y + z.
Además la descomposición es única pues, si x ∈ K + ∩ K − , entonces
sop(x) ⊂ A ∩ Ac = ∅, es decir x = 0.
ii) [x+ , x− ] = 0, ∀x+ ∈ K + , x− ∈ K − .
En efecto, si x+ ∈ K + , x− ∈ K − , entonces
X
X
−
−
[x+ , x− ] =
x+
x+
m xm −
m xm = 0
m6∈A
m∈A
+
c
pues x−
m = 0, ∀m ∈ A y xm = 0, ∀m ∈ A .
iii) (K + , [·, ·]) y (K − , −[·, ·]) son espacios de Hilbert.
P
Es evidente que ∀x ∈ K + , [x, x] = m∈A |xm |2 ≥ 0 y si [x, x] = 0,
entonces xm = 0, ∀m ∈ A. Como además sop(x) ⊂ A, entonces xm =
0, ∀m ∈ Ac , es decir x = 0.
Lo anterior prueba que (K + , [·, ·]) es pre-Hilbert.
Análogamente se prueba que (K − , −[·, ·]) es también pre-Hilbert.
Como los productos de K + y K − son los inducidos por el producto
usual de `2 , para ver que K + y K − son completos, basta comprobar
que son cerrados en `2 . Veamos el caso de K + (que es análogo al caso
de K − ):
328
Si x ∈ K + , existe una sucesión (x(n) )n∈N ⊂ K + tal que x(n) → x,
P (n)
es decir kx(n) − xk2 → 0. Esto implica que
|xm − xm |2 → 0, de
m∈N
(n)
(n)
donde |xm − xm | → 0, ∀m ∈ N. Como xm = 0 si m 6∈ A, también
xm = 0, ∀m 6∈ A, es decir sop(x) ⊂ A, de modo que x ∈ K + .
El ejemplo anterior da sentido a la siguiente definición.
2. Definición. Un espacio vectorial K en el que se define una forma sesquilineal hermı́tica [·, ·] es un espacio de Krein si existen dos subespacios K + y
K − con las propiedades i), ii) y iii).
3. Observaciones. a) Todo espacio de Hilbert puede considerarse como un
espacio de Krein, con la descomposición trivial H = H ⊕ 0.
b) El apartado ii) de la definición permite decir que K + y K − son ortogonales
de modo que la descomposición i) es una suma directa ortogonal, llamada
descomposición fundamental de K.
4. Proposición. Si P + : K → K + y P − : K → K − son las proyecciones ortogonales asociadas a la descomposición K = K + ⊕ K − , entonces el
operador J = P + − P − , llamada simetrı́a fundamental, verifica que
[Jx, y] = [x, Jy], ∀x, y ∈ K;
además J es invertible y J −1 = J.
Demostración. Sean x = x+ + x− ∈ K, y = y + + y − ∈ K arbitrarios.
Entonces
[Jx, y] = [x+ −x− , y + +y − ] = [x+ , y + ]−[x− , y − ] = [x+ +x− , y + −y − ] = [x, Jy].
Por otra parte, si Jx = 0, entonces x+ − x− = 0 y, por la unicidad de la
descomposición K = K + ⊕ K − , se deduce que x+ = x− = 0, de modo que
J es invertible.
Por último, como J(x+ − x− ) = x+ + x− , deducimos que J −1 = J. ♦
5. Proposición. Si definimos hx, yiJ = [Jx, y], x, y ∈ K, entonces (K, h·, ·iJ )
es un espacio de Hilbert en el cual J es un operador autoadjunto e involutivo. Recı́procamente, si (H, h·, ·i) es un espacio de Hilbert y G ∈ L(H) un
operador autoadjunto tal que G2 = I, entonces (H, [·, ·]) es un espacio de
Krein con el producto [x, y] = hGx, yi, ∀x, y ∈ H.
Demostración. a) Es evidente que el producto h·, ·iJ es lineal en la primera
componente. Además, de la proposición anterior, resulta:
hy, xiJ = [Jy, x] = [x, Jy] = [Jx, y] = hx, yiJ .
329
Por ser (K + , [·, ·]) y (K − , −[·, ·]) pre-Hilbert, deducimos que
hx, xiJ = [Jx, x] = [x+ − x− , x+ + x− ] = [x+ , x+ ] − [x− , x− ] ≥ 0,
y, si hx, xiJ = 0, entonces [x+ , x+ ] = 0, [x− , x− ] = 0 de donde x+ = 0, x− =
0, es decir x = 0.
Veamos que K es completo con dicho producto:
Sea (xn )n∈N ⊂ K de Cauchy, es decir kxn − xm kJ → 0. Esto implica que
[J(xn − xm ), xn − xm ] → 0, de donde
+
−
−
+
+
−
−
[x+
n − xm − xn + xm , xn − xm + xn − xm ] → 0
+
+
+
−
−
−
−
=⇒ [x+
n − xm , xn − xm ] − [xn − xm , xn − xm ] → 0,
+
−
lo que implica que (x+
n )n∈N es de Cauchy en K y (xn )n∈N es de Cauchy en
+
−
−
K − . Ası́ pues, existen x+ ∈ K + , x− ∈ K − tales que x+
n → x y xn → x .
+
−
Si llamamos x = x + x , entonces
+ +
+
−
− −
−
hxn −x, xn −xiJ = [J(xn −x), xn −x] = [x+
n −x , xn −x ]−[xn −x , xn −x ] → 0
lo que implica que xn → x.
Como J es simétrico respecto a [·, ·], entonces
hJx, yiJ = [J 2 x, y] = [Jx, Jy] = hx, JyiJ .
Además, de J = J −1 resulta que JJ = JJ −1 =⇒ J 2 = I, es decir J es
involutivo.
Para probar el recı́proco, veamos los siguientes apartados:
•) [·, ·] es una forma sesquilineal hermı́tica.
[αx + βy, z] = hG(αx + βy), zi = hαGx + βGy, zi
= αhGx, zi + βhGy, zi = α[x, z] + β[y, z];
[y, x] =
hGy, xi = hx, Gyi = hGx, yi = [x, y].
•) ∃K + , K − tales que K = K + ⊕ K − .
Definimos para ello K + = N (I − G), K − = N (I + G) y escribimos la
descomposición h = 12 (h + Gh) + 12 (h − Gh), ∀h ∈ H. Veamos que:
1
1
h+ = (h + Gh) ∈ K + : (I − G)h+ = (h + Gh − Gh − G2 h) = 0;
2
2
1
1
h− = (h − Gh) ∈ K − : (I + G)h− = (h − Gh + Gh − G2 h) = 0;
2
2
K + ∩ K − = {0} : h ∈ K + ∩ K − =⇒ (I − G)h = (I + G)h = 0
=⇒ h = Gh = −Gh =⇒ h = 0.
330
•) [x+ , x− ] = 0, ∀x+ ∈ K + , x− ∈ K − .
(∗)
x+ ∈ K + =⇒ (I − G)x+ = 0 =⇒ x+ = Gx+ ,
(∗∗)
x− ∈ K − =⇒ (I + G)x− = 0 =⇒ x− = −Gx− .
Por tanto,
[x+ , x− ] = hGx+ , x− i = hx+ , Gx− i = hx+ , −x− i
= hGx+ , −x− i = −[x+ , x− ] =⇒ [x+ , x− ] = 0.
•) (K + , [·, ·]) y (K − , −[·, ·]) son espacios de Hilbert.
Para ello, sólo falta comprobar que
[x+ , x+ ] ≥ 0 y [x+ , x+ ] = 0 =⇒ x+ = 0,
[x− , x− ] ≥ 0 y [x− , x− ] = 0 =⇒ x− = 0
(al ser K + y K − subespacios cerrados de H, que es de Hilbert, ya son
completos).
Aplicando las igualdades (∗) y (∗∗), obtenemos en efecto:
[x+ , x− ] = hGx+ , x− i = hx+ , x+ i ≥ 0,
[x+ , x+ ] = 0 =⇒ hx+ , x+ i = 0 =⇒ x+ = 0;
[x− , x− ] = hGx− , x− i = −hx− , x− i ≤ 0,
[x− , x− ] = 0 =⇒ hx− , x− i = 0 =⇒ x− = 0.
Como en K + coinciden los productos [·, ·] y h·, ·i y (K + , h·, ·i) es subespacio
cerrado de H, K + es de Hilbert (análogamente se argumenta con K − ).
♦
6. Teorema. Sea (H, h·, ·i) un espacio de Hilbert en el que se define una
forma sesquilineal hermı́tica [·, ·] : H × H → C tal que
α > 0 : |[x, y]| ≤ αhx, xi1/2 hy, yi1/2 , ∀x, y ∈ H.
Entonces existe un operador autoadjunto G ∈ L(H) tal que [x, y] = hGx, yi,
∀x, y ∈ H y kGk ≤ α.
Dicho operador G se llama operador de Gram de h·, ·i con respecto a [·, ·]
y lo dicho anteriormente sugiere que (K, h·, ·i) es de Krein si y sólo si G es
invertible.
Demostración. Se define el operador G : H × H por hGx, yi = [x, y], ∀x, y ∈
H. Se cumple ası́:
331
•) G es lineal:
hG(ax1 + bx2 ), yi
=
[ax1 + bx2 , y] = a[x1 , y] + b[x2 , y]
=
ahGx1 , yi + bhGx2 , yi = haGx1 + bGx2 , yi, ∀y ∈ H
=⇒ G(ax1 + bx2 ) = aGx1 + bGx2 .
•) G es acotado:
|hGx, Gxi|
=
|[x, Gx]| ≤ αhx, xi1/2 · hGx, Gxi1/2
=⇒ kGxk2 ≤ αkxk · kGxk =⇒ kGxk ≤ αkxk =⇒ kGk ≤ α.
•) G es autoadjunto:
hGx, yi = [x, y] = [y, x] = hGy, xi = hx, Gyi.
♦
7. Teorema. Sean K = K1+ ⊕ K1− , K = K2+ ⊕ K2− dos descomposiciones
fundamentales del espacio de Krein (K, [·, ·]) con simetrı́as fundamentales
J1 y J2 , respectivamente. Entonces:
i) dim K1+ = dim K2+ , dim K1− = dim K2− .
ii) Las normas k · kJ1 y k · kJ2 asociadas a los productos internos h·, ·iJ1 y
h·, ·iJ2 , respectivamente, son equivalentes.
8. Definición. Un subespacio L de un espacio de Krein (K, [·, ·]) es ortocomplementado si L admite un subespacio complementario ortogonal, es
decir si K = L ⊕ L⊥ , donde L⊥ = {y ∈ K : [x, y] = 0, ∀x ∈ L}.
9. Observación. Es conocido el hecho que en espacios de Hilbert todo subespacio cerrado es ortocomplementado. En espacios de Krein esta propiedad
no siempre es cierta, como muestran los siguientes ejemplos.
P
j
10. Ejemplos. a) Sea K = `2 y [x, y] = ∞
j=1 (−1) xj yj , donde x = (xj )j∈N ,
y = (yj )j∈N son elementos arbitrarios de K. Como vimos en el ejemplo 1,
(K, [·, ·]) es un espacio
P de KreinPpues basta tomar A = {2n : n ∈ N}, de
modo que [x, y] = j∈A xj yj − j6∈A xj yj .
Si definimos
L = x ∈ K : x2j =
2j
x2j−1 , ∀j ∈ N ,
2j − 1
se puede probar lo siguiente:
•) L es cerrado pues, si x ∈ L, existe (x(n) )n∈N ⊂ L tal que x(n) → x.
(n)
Es evidente (análogamente al ejemplo 1) que xj
(n)
x2j
=
2j
2j−1
(n)
x2j−1 ,
tomando lı́mites, x2j =
332
2j
2j−1
→ xj , ∀j ∈ N. Como
x2j−1 , es decir x ∈ L.
•) L es definido positivo pues, si x ∈ L,
X
X
X
[x, x] =
(−1)j |xj |2 =
|x2j |2 −
|x2j−1 |2
j∈N
j∈N
j∈N
X 4j − 1
X 2j =
− 1 |x2j−1 |2 =
|x2j−1 |2 ≥ 0
2j − 1
(2j − 1)2
j∈N
j∈N
y [x, x] = 0 =⇒ x2j−1 = 0, ∀j =⇒ x2j = 0, ∀j.
•) L⊥ = {y ∈ K : y2j = 2j−1
2ji y2j−1 , ∀j} pues, si [x, y] = 0, ∀x ∈ L, en
h
2j
2j
particular e2j−1 + 2j−1
e2j , y = 0 =⇒ −y2j−1 + 2j−1
y2j = 0 =⇒ y2j =
2j−1
2j y2j−1 ,
∀j.
Recı́procamente, si y2j =
[x, y] =
X
=
X
j∈N
j∈N
2j−1
2j y2j−1 ,
x2j y2j −
X
∀j =⇒ [x, y] = 0, ∀x ∈ L pues
x2j−1 y2j−1
j∈N
X
2j − 1
2j
x2j−1 ·
y2j−1 −
x2j−1 · y2j−1 = 0.
2j − 1
2j
j∈N
•) Veamos por último que L no es ortocomplementado, es decir L⊕L⊥ 6= K.
Para ello consideramos x ∈ K de la forma x2j−1 = 0, x2j = 1/(2j) y
supongamos que existen y ∈ L, z ∈ L⊥ tales que x = y + z. Entonces
x2j−1 = y2j−1 + z2j−1 = 0 =⇒ y2j−1 = −z2j−1
1
1
2j
2j − 1
x2j = y2j + z2j =
=⇒
=
y2j−1 +
z2j−1
2j
2j
2j − 1
2j
h 2j
1
2j −1 i
4j 2 −(2j −1)2
=⇒
=
−
y2j−1 =
y2j−1
2j
2j −1
2j
2j(2j − 1)
2j − 1
=⇒ y2j−1 =
, ∀j.
4j − 1
Sin embargo, la sucesión y = (y2j−1 )j∈N no está en `2 porque
∞.
P
j∈N
2j−1
4j−1
2
=
b) Sea K un espacio de Krein y x, y ∈ K tales que [x, x] > 0, [y, y] < 0.
Consideramos el subespacio L = {λx + µy : λ, µ ∈ C}. Se prueba entonces:
- L es cerrado.
- Si L fuera ortocomplementado, serı́a no degenerado.
- L es degenerado (sugerencia: considerar las raı́ces de la ecuación [λx +
y, λx + y] con λ ∈ R).
333
Observación. Dos referencias básicas correspondientes a este tema son [An]
y [Bog].
334