)( )()( m2 xEx xV dx x Ψ= Ψ + )(Ψ − d ħ 0)())( ( m 2 = Ψ − + )(Ψ x xVE

CAPITULO 2. Aplicación de la mecánica cuántica a la resolución
de problemas físicos sencillos
1) Partícula en un foso de potencial infinito (caja de una
dimensión)
I
II
III
V(x)=∞
∞
V(x)=∞
∞
V(x)=0
X=0
h 2 d 2 Ψ( x )
−
+ V ( x)Ψ ( x) = EΨ ( x)
2m dx 2
d 2 Ψ( x ) 2 m
+ 2 ( E − V ( x))Ψ ( x) = 0
dx 2
h
Ec. [1.21]:
d 2 Ψ( x) 2 m
+ 2 ( E − ∞ )Ψ ( x ) = 0
dx 2
h
Zonas I, III.:
d 2 Ψ( x)
− Ψ ( x) ∞ = 0
dx 2
Zona II:
x=l
1 d 2 Ψ ( x)
Ψ ( x) =
∞ dx 2
[2.1]
ΨI(x) = ΨIII(x) = 0
d 2 Ψ( x) 2 m
+ 2 E Ψ ( x) = 0
dx 2
h
[2.2]
Ecuación diferencial, homogénea, lineal de segundo orden y de
coeficientes constantes. Solución:
ΨII = c1ei ( 2 mE )
1/ 2
x/h
+ c2e − i ( 2 mE )
1/ 2
x/h
[2.3]
2mE x
2mE x
+ B sen
h
h
ΨII ( x) = A cos
[2.4]
La función de estado debe ser continua
x = 0 → ΨI(0) = ΨII(0) = 0
Ψ(0)= A cos[0] + B sen[0] = A =0
Ψ(x)= B sen  2mE x 



x = l
→
sen
h
[2.5]

ΨII(l)= ΨIII(l) = 0
l 2mE
=0
h
Cap. 2. Aplicaciones M.C.
→
Ψ(l)= B sen
l 2mE
=±nπ
h
1
l 2mE
= 0
h
(n = 1, 2, …)
n = 0 no es válido, ya que
4π 2
2 m E l 2 = n2 π2
h2
E=
2mE /h = 0 anula la función [2.5]
h2 n2
8 m l2
( n = 1, 2, …)
[2.6]
Sólo los valores de energía de [2.6] permiten que Ψ(x) sea
continua en x = l (Cuantización de la energía).
Ψ ( x) = B sen
nπx
l
( n = 1, 2, …)
[2.7]
La cte B se calcula normalizando la función.
∞
∫ Ψ (x)
2
l
dx = B
−∞
2
∫ sen
0
Ψ ( x) =
2
nπx
2 l

 dx = B = 1
2
 l 
2
nπx
sen
l
l
( n = 1, 2, …)
Ψ4(x)
Ψ4 (x)
[2.8]
2
E4=16E1
Ψ3(x)
Ψ3 (x)
2
Ψ2(x)
Ψ2 (x)
2
Ψ1(x)
Ψ1 (x)
2
E3=9E1
E2=4E1
E1
0
x
l
0
x
l
Principio de correspondencia de Bohr: en el límite de números
cuánticos elevados, los resultados proporcionados por la
mecánica cuántica tienden a los de la mecánica clásica.
Cap. 2. Aplicaciones M.C.
2
Ejemplo 2.1. ¿Son las funciones de estado tipo [2.8] funciones propias del operador
impulso?
Solución:
h ∂  2
nπx nπh
nπx

=
p̂ x Ψ ( x ) =
sen
cos
≠ cte Ψ (x)


i ∂x  l
l 
il
l
Ψ no es función propia.
Ejemplo 2.2. Calcule el valor promedio del impulso en un estado propio cualquiera de
Ĥ .
Solución:
De acuerdo con el tercer postulado (ec. [1.10]) y puesto que Ψ(x) está normalizada.
l
< p x >= ∫
0
2
nπx h ∂  2
nπx

dx = 0
sen
sen

l i ∂x  l
l 
l
Ejemplo 2.3. ¿Son las funciones de estado tipo [2.8] funciones propias del operador p̂ 2x ?
Solución:
p̂ 2x = −h 2
∂2
∂x 2
p̂ 2x Ψ ( x ) =
p 2x =
Valor propio:
n2 h2
Ψ ( x)
4 l2
n2 h2
4 l2
px = ±
nh
2l
2) Partícula libre en una dimensión ( V(x) = cte = 0)
Ec. de Schrödinger del sistema es igual que [2.2] y por tanto
tiene la misma solución matemática [2.3]
1/ 2
ΨII = c1e ix ( 2mE )
/h
1/ 2
+ c 2e − ix ( 2mE )
/h
[2.9]
Ψ(x) debería ser finita cuando x tiende a ±∞;
Si E<0 ; i(2mE)1/2 = i i (2m|E|)1/2 = - (2m|E|)1/2
Si x → - ∞ el primer sumando en [2.9] tiende a ∞.
Si x → ∞ el primer sumando en [2.9] tiende a ∞.
por tanto E ≥ 0 (la energía no está cuantizada)
La función de onda de la partícula libre no es normalizable en
el sentido usual del término.
∞
∫ Ψ * (x)Ψ(x) dx = ∞
(es divergente)
−∞
Cap. 2. Aplicaciones M.C.
3
3) Partícula
dimensión)
en
un
foso
I
de
potencial
II
V=0
V=∞
III
V0
0
Zona III (V(x) = V0 )
finito
(caja
de
una
IV
l1 l2
d 2 Ψ ( x) 2 m
+ 2 (E − V0 )Ψ ( x ) = 0
dx 2
h
[2.10]
Ecuación diferencial que tiene solución análoga a [2.3].
Si E > V0 → partícula libre
Si E < V0 → ψIII(x) ≠ 0
ψ (l ) = ψ (l1) (condición de entorno)
II
1
III
1/ 2
ΨII = a II e i ( 2mE )
1/ 2
+ b II e − i ( 2mE )
x/h
1/ 2
ΨIII = a III e ( 2m ( V0 − E ))
Efecto
x/h
x/h
1/ 2
+ b III e −( 2m ( V0 − E ))
x/h
túnel: La partícula ha atravesado la barrera de
potencial, aun cuando su energía E es menor que la barrera de
potencial Vo.
Probabilidad de penetración: P = 1/(1+G)
G =
(e L / D − e − L / D ) 2
16 ε (1 − ε )
D =
h
2m( V0 − E)
ε = E/V0
[2.11]
La
probabilidad
de
que
ocurra
depende
de
la
altura
(potencial), de la anchura de la barrera y de la masa de la
partícula.
Evidencias experimentales: desintegración nuclear por emisión
de partículas a, reacciones de transferencia electrónica y
protónica, microscopio de efecto túnel (1981).
m=me=9,109.10-31 Kg, E=1000 cm-1,V=2000 cm-1
ε=0,5; D= 5,54.10-9 m
Anchura
Probabilidad
1Å
10 Å
100 Å
Cap. 2. Aplicaciones M.C.
0.9997
0.9681
0,1026
4
4) Partícula en una caja de tres dimensiones
z
V(x,y,z) = 0
(0<x<a; 0<y<b; 0<z<c)
V(x,y,z) = ∞ (en otras condiciones)
c
b
y
Ψ(x,y,z) = 0 fuera de la caja.
a
x
Dentro de la caja (método de separación de variables)
h2  ∂2
∂2
∂2 
Hˆ = −
 2 + 2 + 2  = Hˆ x + Hˆ y + Hˆ z
2m  ∂x
∂y
∂z 
∂ 2 Ψ ( x, y , z )
= f ' ' ( x ) g ( y ) p( z )
∂x 2
∂ 2 Ψ ( x, y , z )
= f ( x ) g' ' ( y ) p ( z )
∂y 2
Ψ(x,y,z) = f(x)g(y)p(z)
∂ 2 Ψ ( x, y , z )
= f ( x ) g( y ) p'' ( z )
∂z 2
La ecuación de Schrödinger del sistema es:
−
h 2  ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ 

+
+ 2  = E Ψ
2 m  ∂x 2 ∂y 2
∂z 
f' ' g p + f g'' p + f g p'' +
[2.12]
2mE
f gp=0
h2
dividiendo por f g p se obtiene:
Cap. 2. Aplicaciones M.C.
5
g"
f"
2mE
p"
+
+
+
= 0
g
p
f
h2
g"
f"
2mE
p"
= g
p
f
h2
[2.13]
El primer miembro sólo depende de x y el segundo no depende de
x, así que el primer y el segundo miembro deben ser
constantes. Análogamente para g y p.
E = Ex + Ey + Ez
Sustituyendo en [2.12] y descomponiendo:
2 m Ex
f"
+
= 0
f
h2
2 m Ey
g"
+
= 0
g
h2
[2.14]
2 m Ez
p"
+
= 0
p
h2
[2.15]
[2.16]
Ecuación diferencial parcial de tres variables [2.12] se ha
convertido en tres ecuaciones diferenciales ordinarias, cuyas
soluciones son análogas a la ya vista en el primer apartado.
f ( x) =
n πx
2
sen x
a
a
ny π y
2
g( y ) =
sen
b
b
Ey =
n πz
2
sen z
c
c
Ey =
p( z ) =
h 2 n 2x
8 m a2
Ex =
( nx = 1, 2, …)
h 2 n 2y
( ny = 1, 2, …)
8 m b2
h 2 n 2z
8 m c2
( nz = 1, 2, …)
La energía total y función de onda del sistema son:
E=
2
h 2  n 2x n y n 2z 
+
+
8 m  a 2 b 2 c 2 
Ψ ( x, y , z ) =
[2.17]
ny π x
n πx
n πx
8
sen x
sen
sen z
a
b
c
abc
[2.18]
La condición de normalización es:
∞ ∞ ∞
a
b
c
-∞ − ∞ − ∞
0
0
0
∫∫
2
2
2
2
∫ | Ψ (x, y , z ) | dx dy dz = ∫ | f(x) | dx ∫ | g(y) | dy ∫ | p(z) | dz = 1
Si la caja es un cubo ( a = b = c )
E=
h2
n 2x + n 2y + n 2z
2
8ma
Cap. 2. Aplicaciones M.C.
(
)
6
Las energías permitidas para el sistema:
nx ny nz
E(8ma2/h2)
1 1 1
3
2 1 1
6
Estados (211), (121)
degeneración = 3)
y
1 2 1
6
(112)
1 1 2
6
son
1 2 2
9
2 1 2
9
degenerados
2 2 1
9
(grado
de
Representación de ψ y de ψ2 para los primeros estados de una partícula en
una caja cuadrada (2 dimensiones)
5) Oscilador armónico
dV
= − F( x ) = k x
dx
V( x) = 1 / 2 k x 2 = 2 π 2 ν 2 m x 2
V(x)
ν = (1 / 2π )(k / m )1 / 2
x = a sen(2 π ν t + δ )
E = T + V = 1/ 2 k A2 = 2 π2 ν 2 m A2
-a
a
x
El hamiltoniano es igual a:
Ĥ = -

h2 d2
h2  d2
2
2
2
 2 − α 2 x 2 
+
2
π
ν
m
x
=
2
2m dx
2m  dx

(α = 2 π ν m / h )
La ecuación de Schrödinger del sistema es:
d 2 Ψ ( x )  2mE

+  2 − α 2 x 2  Ψ (x) = 0
2
dx
 h

Cap. 2. Aplicaciones M.C.
[2.19]
7
Ecuación diferencial homogénea, lineal, de segundo orden y
coeficientes no constantes. Se puede demostrar que la solución
es del tipo:
2
2
Ψ (x) = e -αx /2 f(x) = e -αx /2
∞
∑c
n
xn
[2.20]
n =0
Cuando n tiende a infinito, la función también tiende a
infinito. Para que esto no ocurra el sumatorio no puede tener
un número infinito de sumandos. Esto se cumple cuando:
α + 2 α v − 2 m E h -2 = 0
2 m E h -2 = (2v + 1) 2 π ν m h -1
1

Ev =  v +  h ν
2

( v = 0, 1, 2, …)
[2.21]
Las funciones propias del oscilador armónico son:
Ψv ( x ) = N v H v (x α ) e - αx
2
/2
(v = 0, 1, …)
[2.22]
Nv es la constante de normalización.
Polinomios de Hermite (Hv , v es un número entero)
v
H v ( y ) = ( −1) e
y2
d ve−y
dy v
2
v
0
1
2
3
4
5
6
[2.23]
Hv
1
2y
4y2 - 2
8y3 - 12y
16y4 - 48y2 + 12
32y5 - 160y3 + 120y
64y6 - 480y4 + 720y2 -120
Los polinomios de Hermite satisfacen las ecuaciones:
H" - 2yH'+ 2vH = 0
∞
∫e
−y 2
H v H v' dy = 0 (si v ≠ v')
−∞
Cap. 2. Aplicaciones M.C.
8
= π1/2 2v v! (si v = v')
[2.24]
La fórmula de recurrencia es:
Hv+1 = 2yHv - 2vHv-1
Ejemplo 2.4. Halle la constante de normalización de las funciones de onda del oscilador
armónico.
Solución:
∞
Según la condición de normalización,
∫Ψ
*
v
( x ) Ψv dx = 1
−∞
∞
N 2v ∫ H v ( x α ) e −αx
∞
2
/2
H v ( x α ) e − αx
2
/2
N 2v ∫ H v ( x α ) H v ( x α ) e −αx dx = 1
2
dx = 1
−∞
−∞
1/2
y = xα
α
∞
→ N 2v α -1/2 ∫ H v ( y ) H v ( y ) e − y dy = 1
; dy = α1/2 dx
2
−∞
de acuerdo con [2.24] → N 2v α -1/2 π1/2 2 v v! = 1
N = (2 v v! ) -1/2 (α/π )1/4
Las funciones propias del oscilador armónico son:
Ψv ( x ) = N v H v (x α ) e - αx
α
Ψ0 =  
π
2
/2
(v = 0, 1, …)
1/4
e -αx
 4α 3 

Ψ1 = 
π


 α 
Ψ2 =  
 4π 
2
/2
1/4
x e -αx
2
/2
1/4
(2 α x 2 - 1) e -αx
2
/2
1/4
 α3 
Ψ3 =  
 9π 
Cap. 2. Aplicaciones M.C.
(2 α x 3 - 3x) e -αx
2
/2
9
[2.25]
Ψ
Ψ2
v
10
2
hν
1
0
Cap. 2. Aplicaciones M.C.
10