Documento - Secundaria Dr. René G. Favaloro

Matemática de 6º año Escuela René Favaloro
BLOQUE I:
Prof. Ponce de León
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
TRABAJO PRÁCTICO Nº 3
Los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas pueden ser:
única solución
rectas que se cortan en un punto
compatible determinado
infinitas soluciones
rectas coincidentes
compatible indeterminado
no tienen solución
rectas paralelas
incompatible
Cuando los sistemas son compatibles existen métodos de resolución
1) Método de sustitución
3 x + y = 17
2x – 4 y = -12
S : (4, 5)
1º paso: despejar una de las dos incógnitas en una de las ecuaciones
3 x + y = 17
y = 17 – 3 x
2º paso: SUSTITUIR el valor despejado en el 1º paso (en este caso y) en la otra
ecuación que no se utilizo en el 1º paso, resolver
2 x – 4 y = -12
2 x – 4· ( 17 – 3 x ) = -12 ( aplicar propiedad distributiva)
2 x – 68 + 12 x = - 12
2 x + 12 x = -12 + 68
14 x = 56
x = 56 : 14
x=4
3º paso: reemplazar el valor obtenido en el 2º paso (en este caso x) en alguna de las
dos ecuaciones originales del sistema, y despejar la incógnita faltante ( en este caso y)
3x + y = 17
3 · 4 + y = 17
12 + y = 17
y = 17 -12
y=5
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Resolver utilizando el método de sustitución
a)
c)
b)
d)
2) Método de igualación
3x +2 y = 13
-2x + y = -4
S : ( 3, 2 )
1º paso: despejar las mismas incógnitas en las dos ecuaciones
3x + 2 y = 13
2 y = 13 – 3 x
- 2x + y = - 4
y = - 4+ 2 x
y=
2º paso: igualar las expresiones que quedaron despejadas en el 1º paso
(en este caso y) resolver
(Aplicar propiedad distributiva)
13 – 3 x = - 8 + 4 x
13 + 8 = 4 x + 3 x
21 = 7 x
21: 7 = x
3= x
3º paso: reemplazar el valor obtenido en el 2º paso (en este caso x) en alguna de las
dos ecuaciones originales del sistema, y despejar la incógnita faltante ( en este caso y)
-2x + y = - 4
-2·3+y=-4
-6+y=-4
y=-4+6
y =2
Resolver utilizando el método de igualación
a)
2x+3y=1
-x + y = - 3
b)
2 x + 5 y = 11
c)
– 3x – y = 13
x–2y=5
d) 3 x – 2 y = - 4
4 x + 6 y = -1
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3) Método de determinantes
ax+by=m
cx+dy=p
a, c coeficientes de x
b, d coeficientes de y
m, p términos independientes
1º calcular el determinante asociado a la matriz de los coeficientes de x e y
= a . d – ( c . b)
=
2º calcular la incógnita x reemplazando en la matriz los valores de la 1º columna ( a, c )
por los valores de los términos independientes ( m, p)
=
X=
3º calcular la incógnita Y reemplazando en la matriz los valores de la 2º columna ( b, d )
por los valores de los términos independientes ( m, p)
Y=
Ejemplo
=
x + 2 y = 10
matrices asociadas al sistema
3x–y=9
·
D=
= 1 · (-1) – 3 · 2
X=
=
Y=
S:( 4,3)
-1 – 6 = -7
=
Resolver utilizando el método de determinantes
a)
2x–y=1
x + 3 y = 11
c)
– 2 x + 3 y = -15
- x + 2y = - 4
b)
-2 x + 5 y = 17
4 x – 2 y = -10
d)
4 x – 3 y = -15
2x+y=-5
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4) Método de reducción por sumas y restas
5x+2y=4
3x – 3 y = 15
S : ( 2, -3)
1º paso: se igualan los coeficientes de una de las dos incógnitas ( en este caso y ) en
ambas ecuaciones multiplicando ambos miembros de las igualdades, por un número
conveniente, obteniéndose un sistema equivalente al original
( 5 x + 2 y) · 3 = 4 · 3
15 x + 6 y = 12
( 3x – 3 y) · 2 = 15 · 2
6 x – 6 y = 30
2º paso : sumar o restar las dos ecuaciones obtenidas en el paso 1º y conseguir eliminar
una incógnita que se hace cero ( en este caso y )
15 x + 6 y = 12
+
6 x – 6 y = 30
21 x + 0 = 42
3 º paso: despejar la incógnita resultante del paso 2º ( en este caso x) resolver
21 x = 42
x = 42 : 21
x=2
4º paso: reemplazar el valor obtenido en el 3º paso (en este caso x) en alguna de
las dos ecuaciones originales del sistema, y despejar la incógnita faltante ( en este caso y)
5x+2y=4
5·2+2 y=4
10 + 2 y = 4
2 y = 4 – 10
2y=-6
y=-6:2
y=-3
Resolver utilizando el método de reducción por sumas y restas
a) – 6 x + 5 y = - 2
4x–3y=7
c)
b)
d)
5x–2y=2
2x+4y=8
3 x -2 y = 7
5 x + 4 y= -2
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5) plantear y resolver cada uno de los siguientes problemas
a) La diferencia entre dos números es 3, y la suma entre el mayor de ellos y el doble del
menor es 27 ¿cuáles son esos números?
b) Si la diferencia entre dos números de dos cifras, cuyas cifras son iguales pero en
distinto orden es 36 y la suma de las cifras de cualquiera de los dos números es 10
¿cuáles son esos números?
c) en una alcancía hay 32 monedas de $ 0, 25 y de 0,05. Si en total hay $ 5 ¿cuántas
monedas de cada valor hay en la alcancía?
d) La suma de dos números es 43 y su diferencia es 11 ¿cuáles son esos números?
e) Hallar dos números enteros sabiendo que al sumarlos se obtiene -9, y que el mayor de
ellos menos 5 es igual al menor
f) Un niño tiene 25 años menos que su padre, pero el doble de la edad que tendrá dentro
de 16 años será igual a la edad que su padre tiene hoy ¿cuántos años tienen
actualmente cada uno?
g) El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. La base es de
de la altura. Calcular las
medidas de los lados y su área
h) Hallar el perímetro de un cuadrado cuyos lados son:
ab = 3x – 3 cm
bc = y + 4 cm
cd = x + y – 1 cm
da = 2 y – 4 cm.
i) En un trapecio isósceles la base mayor es el doble de la base menor y su perímetro es
de 42 cm. Si cada uno de los lados iguales es
de la base mayor ¿cuánto miden los
lados del trapecio? y ¿cuál es su superficie?
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