SINGULARIDADES A TIEMPO FINITO PARA LOS FLUIDOS EN

SINGULARIDADES A TIEMPO FINITO
PARA LOS FLUIDOS EN TRES DIMENSIONES
Historia de una conjetura
Comunicación efectuada por la Dra. Denisse Sciamarella
en la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires
en la sesión privada extraordinaria
del 2 de noviembre de 2007
‘‘Ya se gana mucho cuando se logra reducir una multitud
de investigaciones a la fórmula de un solo problema’’1.
I. Kant, Crítica de la Razón Pura
Resumen
Este artículo se propone revisar brevemente la historia de un problema que nace
con la formulación de las ecuaciones diferenciales a derivadas parciales para los fluidos
incompresibles en el siglo XVIII, y que no ha abandonado el terreno de la conjetura,
pese a las numerosas tentativas de solución que se han realizado en el último siglo.
Se ignora pues si las soluciones de las ecuaciones de Euler (en el caso invíscido) o de
Navier-Stokes, partiendo de condiciones iniciales regulares en tres dimensiones, se
mantienen regulares para todo tiempo, o bien si la vorticidad diverge a un tiempo finito. Esta cuestión vuelve inciertas todas las teorías de turbulencia en tres dimensiones.
Anotaremos aquí algunos comentarios sobre la historia del problema, particularmente
para el caso de las ecuaciones sin viscosidad, y describiremos una serie de propiedades de estas ecuaciones que permiten conjeturar qué características debería tener una
solución singular de las ecuaciones de Euler que respetase las restricciones matemáticas y físicas de conservación de la energía y de la circulación.
Abstract
This article revisits briefly the history of a problem that is born in the eighteenth
century with the formulation of the partial differential equations for incompressible
fluids. In spite of the numerous attempts to solve the problem, the existence of singular solutions in three dimensions either for the Euler equations (in the inviscid case)
or for the Navier-Stokes equations, remains conjectural. This question leaves in a
quite uncertain state all theories of three-dimensional turbulence. We shall comment
on some particular issues of the problem for the inviscid case, and we shall describe
a series of properties fashioning an eventual singular solution of the 3D Euler
equations in a scenario which respects the mathematical and physical restrictions
dictated by conservation of energy and circulation.
1. Introducción
La existencia de soluciones singulares con energía inicial finita
para las ecuaciones de los fluidos perfectos e incompresibles en tres di1
Man gewinnt dadurch schon sehr viel, wenn man eine Menge von
Untersuchungen unter die Formel einer einzigen Aufgabe bringen kann.
395
mensiones es un problema abierto. Sin embargo, ya a fines de los años
20, el problema de existencia y regularidad de las ecuaciones de Euler
era de gran actualidad2. Jean Leray fue el primero en realizar un estudio profundo y sistemático de la cuestión, tanto para el caso de Euler
como para el de Navier-Stokes. En sus trabajos de 1933 y 1934 introdujo conceptos que serían esenciales para el desarrollo posterior de esta
historia, como las soluciones autosemejantes y las soluciones débiles
(que Leray llamaba ‘turbulentas’). En particular, Jean Leray3 señaló la
posibilidad de un colapso a tiempo finito t* de las ecuaciones, que fuese de tipo autosemejante, con todas las escalas espaciales decreciendo
como (t*-t)1/2 y la velocidad en la vecindad del punto singular creciendo como (t*-t)-1/2. Esta propiedad de autosemejanza permite una
reescritura de las ecuaciones tal que si éstas tienen una solución regular no nula, dicha solución corresponde a una solución singular de las
ecuaciones originales. La busca de soluciones de tipo autosemejante de
las ecuaciones para los fluidos es una suerte de categoría específica
dentro del concierto de los intentos por construir soluciones singulares.
En términos generales, podrían distinguirse tres líneas de investigación que corresponden a su vez a tres perspectivas distintas del
problema. Una primera perspectiva, estrictamente matemática4, se
2
L. Lichtenstein, Über einige Existenzätze der Hydrodynamik homogener,
unzusammendrückbarer, reibungsloser Flüssigkeiten und die Helmholtzschen
Wirbelsätze, Math. Z 23, 89–154; 309–316 (1925).
3
J. Leray, Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace, C. R.
Acad. Sci. Paris 196 (1933) 527.
4
L. Caffarelli recuerda que el problema de la regularidad de las ecuaciones para
los fluidos es un problema de autoconsistencia (y no de la capacidad de las ecuaciones
para describir la realidad, que se sabe limitada a escalas no muy pequeñas, en la
medida en que es una ecuación de la mecánica de medios continuos). Por otra parte,
Caffarelli atribuye el origen del eventual problema de autoconsistencia a que las ecuaciones para los fluidos tienen la particularidad de combinar, en una misma expresión,
cantidades que son naturalmente dinámicas (como la aceleración), con cantidades que
son naturalmente estáticas (como el tensor de tensiones viscosas). A la hora de escribir las ecuaciones puede optarse, o bien por una escritura en coordenadas eulerianas
(que privilegian la perspectiva ‘estática’ del punto espacial fijo), o bien por una escritura en coordenadas lagrangianas (que privilegian el seguimiento ‘dinámico’ de la partícula de fluido). La impenetrabilidad de la materia no es transparente en coordenadas
eulerianas. La aceleración es una cantidad naturalmente dinámica en el sentido de que
admite una escritura sencilla en coordenadas lagrangianas. No obstante, las ecuaciones para los fluidos se escriben usualmente en coordenadas eulerianas, que hacen
intervenir la aceleración de un modo no lineal, pero que admiten una escritura sencilla para la acción de la viscosidad (contenida ad hoc en el laplaciano de la velocidad,
que representa macroscópicamente la disipación de energía cinética a nivel molecular).
De acuerdo con esta visión del problema, la posibilidad de resolución dependería del
planteo de una ley de escala euleriana.
396
basa en la demostración de teoremas que podríamos clasificar a su vez
en teoremas de existencia y regularidad en formulaciones alternativas (soluciones débiles, regularidad parcial5), teoremas ‘condicionantes’ de la singularidad (que establecen desigualdades que deben
verificarse necesariamente para una solución de tipo singular6) y teoremas de no existencia (que eliminan entre los candidatos posibles a
solución singular algún tipo de solución en particular7).
El resultado de mayor repercusión en esta línea de trabajo para
las ecuaciones de Euler es un teorema condicionante de la singularidad conocido como teorema BKM. Fue obtenido por J. T. Beale, T.
Kato y A. Majda en 19848. Este teorema demuestra que para una
vorticidad inicial perteneciente a un espacio de Sobolev Hm (R3) con
m>3/2, la existencia de una singularidad a tiempo finito t* tiene por
condición necesaria y suficiente que:
(1)
Para las ecuaciones de Navier-Stokes, el resultado más citado es otro
teorema condicionante conocido como teorema CKN9. L. Caffarelli, R.
Kohn y L. Nirenberg demuestran en 1982 que el conjunto de puntos en
los que una solución podría ser singular (incluyendo a sus puntos inmediatamente vecinos) tiene necesariamente medida de Hausdorff
unidimensional nula (es decir, que dicho conjunto de puntos no puede
llenar una curva en el espacio-tiempo). La demostración de este teorema depende enteramente de la acción regularizadora de la viscosidad.
Esta condición es altamente restrictiva: no descarta que haya singularidades en el escenario viscoso pero limita fuertemente su estructura
espacio-temporal. De aquí que se considere la resolución del problema
sin viscosidad como un paso previo a la resolución del problema viscoso10.
5
V. Scheffer, Partial regularity of solutions to the Navier–Stokes equations,
Pacific J. Math. 66 (1976), pp. 535–552.
6
J. T. Beale, T. Kato, A. Majda, Remarks on the breakdown of smooth solutions
of the 3D Euler equations, Commun. Math. Phys. 94 (1984) 61–66.
7
D. Chae, Comm. Math. Phys. 273 (1) 1-281 (2007).
8
J. T. Beale, T. Kato, A. Majda, Remarks on the breakdown of smooth solutions
for the 3-D Euler equations. Commun. Math. Phys. 94 (1984), 61-66.
9
L. Caffarelli, R. Kohn, L. Nirenberg, Partial regularity of suitable weak
solutions of the Navier-Stokes equations. Comm. Pure Appl. Math. 35 (1982), 771-831.
10
P. Constantin sostiene que el problema de colapso en Euler tiene mucha mayor relevancia en términos físicos de la que tiene el problema en Navier-Stokes, que
es no obstante el más conocido por ser uno de los Clay Millennium Problems.
397
La segunda línea de investigación surge con el perfeccionamiento
de los métodos numéricos de simulación que han permitido estudiar la
evolución de soluciones a partir de condiciones iniciales elegidas convenientemente y que ha sido ampliamente desarrollada en los años
ochenta y noventa, con resultados conspicuos pero no decisivos, dada
la inestabilidad numérica propia de las ecuaciones. El teorema BKM
facilitó la tarea numérica en el caso invíscido, en tanto que limitó el
número de cantidades a monitorear durante las simulaciones: el seguimiento de las derivadas primeras del campo de velocidades basta para
detectar la aparición de una singularidad en las simulaciones.
J. D. Gibbon presenta una lista actualizada11 de los resultados
numéricos (a favor y en contra de la existencia de singularidades a
tiempo finito) compilada originalmente por R. Grauer. Algunos de los
autores que han trabajado en esta línea son M. E. Brachet, A. Pumir,
E. D. Siggia, R. M. Kerr, R. Pelz, R. Grauer, A. J. Chorin. Entre las
condiciones iniciales estudiadas pueden mencionarse el vórtice de
Taylor-Green, el par de vórtices antiparalelos, los flujos perfectos
axisimétricos con circulación no nula o los filamentos de vorticidad en
una configuración geométrica con simetría cúbica. La investigación
numérica del colapso ha sido enriquecida por la extensión del problema al plano complejo, buscando singularidades reales precedidas por
singularidades complejas12. Sin embargo, es difícil establecer cuán
cerca de un colapso efectivo han llegado las simulaciones numéricas.
Señalaremos por último una tercera vía, menos transitada que
las anteriores, que ha privilegiado la física del problema, analizando
las restricciones impuestas por los principios de conservación mediante la escritura de leyes de escala13, examinando mecanismos de inestabilidad14, 15 o haciendo intervenir ideas provenientes de las teorías
de turbulencia16 desarrolladas, entre otros, por Kolmogorov y Onsager
J. D. Gibbon, Junio 2007 (http://www.ma.ic.ac.uk/~jdg/jdg250.pdf)
U. Frisch, T. Matsumoto, J. Bec, Singularities of the Euler equation? Not out
of the blue, J. Stat. Phys. 113 (761-781) (2004).
13
Y. Pomeau, Singularité dans l’évolution d’un fluide parfait, C. R. Acad. Sci.
Paris Ser. II 321 (1995) 407.
14
Y. Pomeau, Remarques sur l’instabilité d’un vortex axial, C. R. Acad. Sci. Paris
Ser. II 318 (1994) 865.
15
Es preciso distinguir entre inestabilidad en el marco de un problema consistente
y colapso o crecimiento catastrófico en el marco de un problema que no es
autoconsistente. La polisemia del término inestabilidad es frecuente en física clásica.
Una solución singular puede concebirse como una solución catastróficamente inestable.
16
K. R. Sreenivasan, C. Meneveau, Singularities of the equations of fluid motion,
Phys. Rev. A, 38 (6287-6295) (1988).
11
12
398
a partir de los años 40. Las leyes de autosemejanza propuestas por
Leray pueden clasificarse dentro de esta tercera rama, al igual que el
escenario conjetural que presentaremos en el último parágrafo.
2. Fenomenología de las singularidades
En un artículo reciente7, U. Frisch expone una serie de argumentos heurísticos a favor de la existencia de singularidades a tiempo finito. El más intuitivo de ellos es quizás el examen de la ecuación para
la vorticidad en fluidos perfectos:
(2)
La vorticidad es transportada por el fluido pero su magnitud aumenta
o disminuye por acción del miembro derecho de la ecuación (2), que
controla la amplificación no lineal de la vorticidad. Este término tiene dimensiones de vorticidad al cuadrado y por lo tanto es escalarmente compatible con una vorticidad cuya magnitud W diverge como:
(3)
En realidad, el operador vorticidad es vectorial y tiene tres autovalores asociados a tres autovectores ortogonales. La amplificación de la
vorticidad es posible sólo si está alineada con el autovector correspondiente a un autovalor positivo. En consecuencia, el colapso está condicionado por propiedades no triviales de las ecuaciones, de modo que
contar las potencias puede ser engañoso17.
Por otra parte, las soluciones eulerianas presentan en muchos
casos un comportamiento mucho menos singular del que predice este
análisis dimensional, a causa de un fenómeno conocido como remoción
de la no linealidad y que consiste en la predominancia de un régimen
(rápido) en una sola dirección espacial que reduce la dimensionalidad
efectiva del sistema. La reducción de la dimensionalidad del problema es fatal para la subsistencia de una singularidad porque anula la
acción del término que introduce el estiramiento de la vorticidad.
Algunos autores sostienen que el mayor obstáculo para demostrar
17
Dombre & Pumir, ‘‘Turbulence: a tentative dictionary’’, editado por P. Tabeling
et al., 1995.
399
regularidad de las ecuaciones para los fluidos a tres dimensiones es
la rudimentaria comprensión que tenemos de la matemática de la
remoción de la no linealidad.
Dicho esto, buscar una singularidad a tiempo finito equivale, por
así decirlo, a comprender las condiciones de posibilidad para la acción
de la amplificación no lineal de la vorticidad. Este modo de concebir
el problema es constitutivo de la tercera vía de exploración según la
clasificación que introdujimos.
En cuanto a la geometría de la hipotética singularidad, la mayor
parte de los autores asume tácitamente que el eventual colapso sucede en una región localizada en el espacio-tiempo, pese a que no es
sencillo encontrar argumentos sólidos a favor de esta hipótesis en la
bibliografía.
3. Retrospectiva de los resultados numéricos
Según R. Kerr18, el primer candidato que se examinó para determinar si las ecuaciones de Euler o de Navier-Stokes en tres dimensiones (3D) admiten soluciones singulares es el vórtice de Taylor-Green,
es decir, se utiliza una geometría periódica en el campo inicial de
velocidades:
(4)
En 1983, Brachet et al. encuentran en este escenario y a partir de un
método pseudo-espectral de resolución de las ecuaciones para el caso
de Euler, una singularidad compleja que podría conducir a una singularidad real19. No obstante, en 1991, los mismos autores descartan
esta posibilidad mediante un control sistemático de la acumulación de
la vorticidad.
E. D. Siggia es el primero en advertir que cuando dos tubos de
vorticidad antiparalela se acercan, el estiramiento de la vorticidad se
amplifica. Sin embargo, en esta geometría, la remoción de la no lineaR. M. Kerr, Fluid Dynamics Research 36 (2005) 249-260.
M. E. Brachet, M. Meneguzzi, A. Vincent, H. Politano, P. L. Sulem, Phys.
Fluids 4, 2845-2854 (1992).
18
19
400
lidad es crítica: los tubos de vorticidad se aplanan rápidamente. En
1993, Kerr estudia perturbaciones del par de vórtices en geometría
periódica. La evolución numérica de la vorticidad con métodos pseudo-espectrales parece conducir a una singularidad potencial de las
ecuaciones de Euler 3D a partir de una condición inicial particular
que fuerza el flujo a conservar su tridimensionalidad en la región singular20.
Contemporáneamente comienza a estudiarse un tercer candidato:
los flujos axisimétricos con circulación no nula. En esta geometría se
encontró una amplificación espectacular de la vorticidad (de 400 veces
su valor inicial) lejos del eje de simetría, que se asoció a una singularidad potencial21, hoy descartada. La estructura de las ecuaciones en el
caso axisimétrico es comparable, lejos del eje de simetría, a las ecuaciones de Boussinesq 2D para un flujo estratificado, que no admiten singularidad alguna. La analogía se quiebra cerca del eje de simetría, de
modo que la posibilidad de un colapso axial en escenario axisimétrico
no ha quedado invalidada, tal como se verá más adelante.
Años más tarde, R. Pelz propuso el estudio de filamentos de vorticidad en una configuración geométrica con simetría cúbica, anunciando una supuesta singularidad a tiempo finito22 caracterizada por
una expansión cónica de los filamentos de vorticidad y acompañada
por una evolución del máximo de la vorticidad acorde con las leyes de
escala que determinan la relación (3).
El intento de Pelz no es el primero ni el único caso en el que se
ha verificado esta ley de escala (al
menos en un rango acotado, anterior a la singularidad conjetural).
También A. Pumir y E. D. Siggia
la registraron en sus simulaciones
numéricas. En la siguiente sección, mostraremos que esta ley de
escala puede asociarse a una propiedad de autosemejanza de las
Fig. 1. Máximo de la vorticidad
ecuaciones de Euler y de Naviermultiplicado por (t*-t) , tomado del
Stokes, que discutió por primera
16
artículo de R. Pelz
vez Jean Leray en 1933.
20
21
22
R. M. Kerr. Phys. Fluids A 5, 1725-1746 (1993).
R. Grauer, T. C. Sideris, Phys. Rev. Lett. 67:25 (1991).
R. Pelz, Phys. Rev. E 55, 1617 - 1626 (1997).
401
4. El legado de Jean Leray
En su trabajo de 1933, Jean Leray considera la propiedad de
autosemejanza para las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes
3D. También para las ecuaciones de Euler puede derivarse una ley de
autosemejanza, a partir de la conservación de la circulación (nótese
que la circulación, invariante en el caso invíscido, tiene las mismas
unidades que la viscosidad, invariante en el caso viscoso). De acuerdo con esta propiedad, toda cantidad sigue la siguiente ley de escala:
(5)
con α y β ajustables según el caso (por ejemplo, si la cantidad es la
velocidad, α=1/2 y β=-1/2). No obstante, la conservación de la energía
impide un colapso autosemejante en un punto, según lo demuestra
Yves Pomeau en un artículo de 199523.
El programa de Jean Leray es interesante en la medida en que
permite transformar las ecuaciones originales en un nuevo problema
numérico que no necesita resolución infinita para extraer conclusiones acerca de la singularidad. Sin embargo, en 1996 se demostró que
las ecuaciones de Navier-Stokes no tienen soluciones autosemejantes
no triviales24. Recientemente, se probó además la no existencia de
singularidades autosemejantes para las ecuaciones de Euler25. Estos
resultados descartan la posibilidad de singularidades autosemejantes
stricto sensu, pero no descartan la posibilidad de aplicar el programa
de Leray con una ley de autosemejanza parcial, como la que propone
Yves Pomeau en 199626. En este trabajo Pomeau propone aplicar las
leyes de autosemejanza, conservando separadamente una dependencia en el tiempo no afectada por la ley de autosemejanza. Con esta
consigna, la velocidad se escribe :
(6)
23
24
25
26
Y. Pomeau, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. II 321, 407 (1995).
Neças, Ruczicka & Sverák , Acta Math. 176, 283 (1996).
Chae, Comm. Math. Phys. 273 (1) 1-281 (2007) (Euler 3D).
Y. Pomeau, J. Plasma Phys. 56 (1996) 3.
402
Ahora bien, para obtener un sistema de ecuaciones en el que una solución singular del sistema original no lo sea en el sistema transformado, es posible aplicar una transformación independiente tal que la
singularidad eventual suceda para tiempo infinito en el sistema transformado:
(7)
La propiedad de autosemejanza queda así restringida a una autosemejanza puramente espacial. Nótese que el sistema de ecuaciones
es autónomo en el tiempo λ y que una solución regular del sistema
en λ representa una solución singular del sistema para Euler 3D.
La dependencia logarítmica de la transformación temporal, que podría parecer arbitraria, ha sido observada en simulaciones numéricas.
5. Construcción de un escenario conjetural
Para construir un escenario conjetural favorable a la irrupción de
una singularidad a tiempo finito es preciso considerar las restricciones geométricas que provienen de la conservación de la energía en la
zona singular27:
(8)
Hemos llamado D al número de coordenadas espaciales afectadas por
la propiedad de autosemejanza. Según (8), la energía en la región singular permanecerá acotada si Γ=0. Este caso no es una opción de interés puesto que si la circulación se anula, aparece una infinidad de
cantidades conservadas que impiden la realización del criterio BKM:
(9)
27
Las soluciones singulares con energía infinita carecen de interés. De hecho
existen soluciones singulares con energía infinita en el caso de Euler 2D, para el cual
se ha demostrado existencia y regularidad global de las soluciones inicialmente regulares.
403
Por otra parte si Γ≠0, D=2 es la única alternativa que permite conservar automáticamente la energía. Tomar D=2 significa realizar una
nueva restricción a la ley de autosemejanza, que se aplicaría únicamente a dos coordenadas espaciales para el problema tridimensional.
En este caso, puede concebirse un escenario singular con axisimetría,
tal que la coordenada axial no esté afectada por la transformación
autosemejante. Una transformación de estas características sería
compatible con una singularidad que no ocurre en un punto del espacio sino en una línea (es decir, sobre el eje de simetría). La transformación global que resulta entonces de aplicar estas restricciones es la
siguiente:
(10)
A diferencia de (6), la aplicación de este conjunto de transformaciones
no da lugar a un sistema autónomo en el tiempo λ. Sin embargo, la
pérdida de autonomía se ve compensada por una propiedad de
invariancia de las nuevas ecuaciones frente a una transformación
discreta tal que:
(11)
Esta propiedad expresa que una solución del sistema transformado es
tal que al cabo de un período de tiempo Λ, se recupera la misma geometría con la coordenada axial dividida por un factor f. Este factor
debería ser impar si se piensa en una geometría con rollos de circulación alternada, de modo que se conserve la circulación en el interior
de cada celda. Esta propiedad puede verse como un solitón en el espacio de los números de onda. Por otra parte, la vorticidad transformada obedece a la ley de escala que establece el teorema BKM.
Un ejemplo de estructura autosemejante de estas características
aparece en los bordes de las hojas de algunas plantas como solución
de la ecuación de elasticidad28. Argumentos puramente geométricos
muestran que estas estructuras obedecen una ley de cascada hacia las
escalas más pequeñas impuesta por el crecimiento no lineal de la cantidad de tejido.
28
B. Audoly. PRL 91 (8) 2003.
404
Z
En el caso de las ecuaciones de Euler,
esta estructura puede entenderse como una
suerte de cascada dinámica y determinista de
tipo Kolmogoroff-Onsager, tal que los vórtices
a gran escala se vuelven vórtices a escalas
pequeñas en un sentido bien definido (ver fiΛ
gura 2)29. Nótese que puede conjeturarse además que la solución real se curva en un anillo,
puesto que es previsible que una solución de
estas características no sea sensible a una
curvatura finita.
En el marco de este escenario conjetural,
sugerimos que la solución que debe buscarse es
una solución axisimétrica que dependa de las
variables espaciales con una longitud típica
que se vuelva cada vez más pequeña a medida que el tiempo t se aproxima a la singularidad t*. Dicha contracción en longitud, sin
Fig. 2. Estructura
embargo, no operará de manera continua y en
de la solución con f=3
consecuencia, el proceso de estiramiento de la
vorticidad que permitiría alcanzar la singularidad, sería discreto en el tiempo.
Las perspectivas del programa que corresponde a este escenario
conjetural dependen de la posibilidad efectiva de encontrar este tipo
de soluciones mediante métodos numéricos, eventualmente auxiliados por alguna consideración analítica previa. Puede argumentarse
que la estructura de la solución que resulta natural en este escenario
es compleja en el espacio-tiempo, pero esto no sería en absoluto sorprendente puesto que las ecuaciones de Euler son complejas en sí mismas, como lo señala el propio Euler en su trabajo de 175730. En
definitiva, la estructura de la solución conjeturada es tal que la energía acumulada en las grandes escalas se transfiere a las pequeñas
escalas en promedio, manteniendo la misma distribución global en el
espacio de los números de onda. Tales ideas no difieren esencialmente de lo que se supone que sucede en los fluidos turbulentos reales.
Hemos visto, pues, que la cuestión de las singularidades a tiempo finito es un problema abierto que exige el concurso de ideas provenientes de la matemática y de la física para socorrer las dificultades
29
30
Y. Pomeau, D. Sciamarella. Physica D Vol 205/1-4 pp 215-221 (2005).
Mémoires de l’académie des sciences de Berlin 11, 1757, pp. 274-315.
405
propias de las simulaciones numéricas en los escenarios de colapso.
En la estructura analítica de las ecuaciones para los fluidos en tres
dimensiones se cifra, quizás, el último de los grandes problemas de la
física clásica.
[email protected]
406