La Ecuación de la Recta

La Ecuación de la Recta
Precálculo
02/15/2016
Prof. José G. Rodríguez Ahumada
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Actividades 2.6
• Referencia: Seccíón 2.3 – Ecuaciones de una recta.
Vea ejemplos del 1 al 7; Ejercicios de Práctica:
impares 19-43, 49-55, 59-65.
• Asignación 2.6 – Use GRAPH para graficar la
ecuación 26, guarde en formato de imagen JPG e
imprima. Luego, realice problemas 36, 44, 56, 62
• Referencias del Web
– Math2me: Pendiente de una recta, Pendiente de la recta
Ejercicio 1, Ejercicio 2; Pendiente de una recta abscisa y
ordenada; Pendiente cero de una recta; Rectas paralelas o
perpendiculares
– Descargar GRAPH de Padowan: https://www.padowan.dk/
– Tutoriales de GRAPH
• ¿Cómo graficar?
• ¿Cómo guardar como imagen?
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La ecuación de una recta
• Si A, B y C son números reales, con A,
B distintos de 0 entonces la gráfica de la
ecuación 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶 es una recta
(Forma estándar).
• Ejemplo:
3𝑥 − 4𝑦 = 12
• Si m y b son constantes, la gráfica de la
ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 es una recta
(Forma pendiente-intercepto)
• Ejemplo:
𝑦 = 2𝑥 + 1
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Programa GRAPH
• Permite graficar ecuaciones con dos
variables.
Pasos:
1. Active Programa
2. Seleccione “Insert
relation” del menú
Function
Bajar de: http://www.padowan.dk/graph/
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Interceptos
• Puntos donde la gráfica cruza los ejes.
Intercepto en x es (4,0)
Intercepto en y es (0,3)
Interceptos en x son …aproximadamente (0,0) y (6,0)
Intercepto en y es (0,0)
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Intercepto en x
• Punto(s) donde la gráfica cruza eje de 𝑥.
• Soluciones de la ecuación de la forma (𝑥, 0).
Ejemplo: Determine el los interceptos en x de la
ecuación 𝑦 = 3𝑥 − 12
• Solución:
Deje y = 0, resuelva por x.
0 = 3𝑥 − 12
12 = 3𝑥
𝑥=4
El intercepto en x es (4,0)
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Intercepto en y
• Punto(s) donde la gráfica cruza eje de 𝑦.
• Soluciones de la ecuación de la forma (0, 𝑦).
Ejemplo: Determine el los interceptos en y de la
ecuación 𝑦 = 3𝑥 − 12
• Solución:
Deje x = 0, resuelva por y.
𝑦 = 3(0) − 12
𝑦 = −12
El intercepto en y es (0, −12)
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Pendiente (Slope)
• La pendiente de una línea recta no vertical es una
medida de inclinación de la recta con respecto al eje
horizontal.
• La líneas rectas verticales no tienen pendiente.
• Hay tres casos:
Pendiente 0
Pendiente positiva
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Pendiente negativa
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•
Pendiente (Slope)
Sea  x1 , y1  y  x2 , y2  dos puntos en una recta tal que
𝑥1 ≠ 𝑥2 . Entonces, la pendiente (m) de la recta que
por esos puntos es:
y2  y1
m
x2  x1
Ejemplo:
La pendiente de la recta por
(1,3) y (4,5):
y2  y1 (5)  (3) 2
m


x2  x1 (4)  (1) 3
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Pendiente-Intercepto
• Si y = mx + b es la ecuación de una línea en
el plano, su pendiente es el coeficiente de x
(m) y su intercepto en y es (0,b).
• Ejemplos:
– y = 5x + 3 pendiente 5 , intercepto en y (0, 3)
– y = -3x - 5 pendiente -3 , intercepto en y (0, -5)
– y = x pendiente 1, intercepto en y (0, 0)
x
– y   1 tiene 1/2 e intercepto en y (0, 1)
2
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Ejemploa 1 & 2
1) Determine la pendiente e intercepto en y de la recta
cuya ecuación es 3x - 2y = 6.
– Despeje y de la ecuación:
 2 y  3x  6
3
– Pendiente es .
2
– El intercepto en y es (0,-3)
 2y  3
6

x
2 2
2
3
y  x 3
2
2) Determine la ecuación de la recta cuya pendiente es
-4 e intercepto en y es -3.
y = mx + b
y = (-4)x + (- 3)
y = -4x - 3
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Ejercicio #1
1. Determine la ecuación de la recta que tiene
pendiente -2 e intercepto-y 5
y  2 x  5
2. Determine la pendiente e intercepto en y de
la recta cuya ecuación es 2x + 3y = 8
3 y  2 x  6
3y  2x 6


3
3
3
2
y
x2
3
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Pendiente es -2/3.
El intercepto en y es (0,2)
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Pendiente - Punto
• Una ecuación de una recta no vertical con
pendiente m que pasa por el punto (x1, y1) es:
y  y1  m x  x1 
• Ejemplo: La ecuación de la recta con pendiente -2
y que pasa por (-1,5) tiene como ecuación:
y  (5)  ( 2) x   1
y  5  2 x  1
y  5  2 x  2
y  2 x  2  5
y  2 x  3
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Ejercicio #2
1. Determine la ecuación de la recta que tiene
pendiente -2 e intercepto-y 5
y  2 x  5
2. Determine la pendiente e intercepto en y de
la recta cuya ecuación es 2x + 3y = 8
3 y  2 x  6
3y  2x 6


3
3
3
2
y
x2
3
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Pendiente es -2/3.
El intercepto en y es (0,2)
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Rectas horizontales y verticales
• La ecuación de una recta
horizontal es dado por la
ecuación y = b , donde (0,b)
es el intercepto en y.
• Ejemplo:
La gráfica de y = 4
• La ecuación de una recta
vertical es dado por la
ecuación x = a , donde (a,0)
es el intercepto en x.
• Ejemplo:
• La gráfica de x = 4
y
y
L
Q = ( 4, y2 )
x
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P = ( 4,0)
x
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Rectas paralelas
• Dos rectas son paralelas si no tienen un punto en
común.
𝑚1 = 𝑚2
𝑚1 =
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑦
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑦
𝑚2 =
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑥
Dos rectas son paralelas si tienen la misma
pendiente pero diferentes interceptos en y.
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Ejemplo 3
• Determine la ecuación de la recta que pasa
por el punto (1,5) y es paralela a la recta con
ecuación y = -3x + 5
Por tanto la recta por el punto (1,5)
también tiene pendiente 𝑚2 = -3
(1,5)
y  y1  m x  x1 
Pendiente = -3
y  (5)  ( 3) x  (1) 
y  5  3 x  1
Pendiente = -3
y  5  3 x  3
y  3 x  3  5
y  3 x  8
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Rectas perpendiculares
• Dos rectas
perpendiculares
son dos rectas que
se intersecan y
forman un ángulo
de 90 grados.
• Dos rectas
perpendiculares
son dos rectas
donde el producto
de sus pendientes
es igual a -1.
m1m2  1
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Ejemplo 4
• Determine la ecuación de la recta que pasa por el
punto (1,5) y es perpendicular a la recta y = -3x + 5
Por tanto la recta perpendicular por el
1
punto (1,5) tiene pendiente 𝑚 =
y  y1  m x  x1 
1
y  (5)  ( ) x  (1) 
3
1
y  5   x  1
3
1
1
y 5  x
3
3
1
1
y  x 5
3
3
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(1,5)
3
Pendiente = m
tal que …
Pendiente = -3
𝑚 ∙ −3 = −1
−1
𝑚=
−3
1
𝑚=
3
1
14
y x
3
3
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Ejercicio #3
• Determine la ecuación de la recta que pasa por el
punto (-2,2) y es perpendicular a la recta 3𝑦 − 2𝑥 = 6
• Solución:
2
𝑚∙
= −1
3
−3
𝑚=
2
3𝑦 − 2𝑥 = 6
3𝑦 = 2𝑥 + 6
2
𝑦= 𝑥+2
3
y  y1  m x  x1 
3
y  ( 2)  (
)  x  ( 2 ) 
2
3
y2
x3
2
3
3
y
x 3 2
y
x 1
2
2
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(-2,2)
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Ejercicios del Texto
• Grafique
Halla la ecuación que pasa a través
del punto con pendiente m. Exprésela
en forma pendiente intercepto
Halla la ecuación y exprésela
en forma estándar
Halla la ecuación que contiene los
puntos indicados. Exprésela en forma
pendiente intercepto
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Ejercicios del Texto
• Halla la ecuación que contiene el punto indicado y satisface la
condición señalada. Exprésela en forma estándar
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