Ap. y Nom. Turno P 1. La superficie de un rectángulo es de 108 cm2

MATEMATICA - Primer Parcial - Primera Fecha - 30/5/09
Ap. y Nom.
TEMA 1
NOTA
Turno
P
1. La superficie de un rectángulo es de 108 cm2 . Sabiendo que uno de los lados es igual a los 4/3 del otro,
plantear las ecuaciones correspondientes y resolverlas para calcular las dimensiones del rectángulo.
x
1
1
2. Hallar las soluciones, si existen, de la ecuación: 1 + 2
+
= 2
3. Utilizar el teorema de
x −1 x+1
x −1
Roché-Frobenius para analizar la existencia
de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales:



2u
−
3u3 = 6
2

(


a − b + 3c = 6


t3 − 3t4 + 2t2 = 6
u1 − 4u2 = 1
a − 4c = −3
S1 :
S2 :
S3 :


t1 − 4t4 = −3
u1 − u2 = −1

 −a + 2b − 2c = 1


u2 − u4 = 0
4. Si es posible, resolver el sistema S3 del ejercicio 3. usando el método de la matriz inversa.
5. a) ¿Cuántos números de cinco cifras pueden formarse con los dı́gitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? b) Un número
capicúa de cinco cifras es de la forma: abcba. ¿Cuál es la probabilidad de que un número de cinco cifras formado
con los dı́gitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sea capicúa? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un número de cinco cifras
formado con los dı́gitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sea capicúa y par?. En todos los casos las cifras pueden repetirse.
6. a) Hallar el centro, el radio y representar gráficamente la circunferencia de ecuación: x2 + y 2 − 4x − 5 = 0
b) Si existen, hallar analı́ticamente los puntos de intersección de la circunferencia con el eje x y con el eje y y
marcarlos en el gráfico.
7. Hallar la ecuación y representar gráficamente la elipse que tiene focos en los
1
13
puntos F1 (−2, 2 ) y F2 (−2, 2 ) y con semieje mayor a = 5. Dar el centro y los vértices.
8. Hallar y graficar
el conjunto solución de la desigualdad 3x + 6 ≤ 2(x − 2) + 23 ≤ 7 − (2 − x)
T En todos los casos, justificar las respuestas. 1. Dada la recta ` : que pasa por los puntos P1 (−3, 4) y P2 (2, 1).
Hallar la ecuación de la recta perpendicular a ` que pase por el punto Q(1, 1). Encontrar el punto de intersección
R entre las dos rectas y la distancia entre R y P1 . Graficar.
2. ¿A que se llama eje principal de una elipse?
¿Cuál es el centro?. Si los focos de una elipse son F1 (−1, 3) y F2 (−2, 5), dar la ecuación de su eje principal y
las coordenadas de su centro
y graficar
focos, eje principal y centro.
3. Dada la matriz ampliada de un
a −3 3b
sistema de ecuaciones,
determinar los valores de a y b de modo que (−1, 1) sea solución del
1 b
a


a b c
4. Dada la matriz triangular superior A =  0 b a  Explicar para que valores de a, b, c;
sistema.
0 0 c
A admite matriz inversa.
5 . Representar en el plano la región {(x, y) : 2x − 3y + 4 ≤ 0 ∧ x ≥ −1 }
1 10
2 10 S1 5
S2 10
S3 5 4 15
5a 5 5b 5
5c 5
6a 10
6b 5
7 10
85
P. 1 2 3 4 5 T.
MATEMATICA - Primer Parcial - Primera Fecha - 30/5/09
Ap. y Nom.
TEMA 2
NOTA
Turno
P
1. La superficie de un rectángulo es de 108 cm2 . Sabiendo que uno de los lados es igual a los 3/4 del otro,
plantear las ecuaciones correspondientes y resolverlas para calcular las dimensiones del rectángulo.
1
1
x
2. Hallar las soluciones, si existen, de la ecuación:
−
= −1 − 2
3. Utilizar el teorema
x + 1 x2 − 1
x −1
de Roché-Frobenius para analizar la
existencia de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales:


 2u2 − 3u3 = 6
(



 a − b + 3c = 6
t2 − 3t4 + 2t3 = 6
u1 − 4u2 = 1
a − 4b = −3
S1 :
S2 :
S3 :


t1 − 4t3 = −1
−3u1 + 3u2 = −3

 a + 2b − 2c = 1


−u2 + u4 = 0
4. Si es posible, resolver el sistema S3 del ejercicio 3. usando el método de la matriz inversa.
5. a) ¿Cuántos números de cinco cifras pueden formarse con los dı́gitos 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? b) Un número
capicúa de cinco cifras es de la forma: abcba. ¿Cuál es la probabilidad de que un número de cinco cifras formado
con los dı́gitos 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sea capicúa? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un número de cinco cifras
formado con los dı́gitos 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sea capicúa e impar?. En todos los casos las cifras pueden repetirse.
6. a) Hallar el centro, el radio y representar gráficamente la circunferencia de ecuación: x2 + y 2 − 4y − 5 = 0
b) Si existen, hallar analı́ticamente los puntos de intersección de la circunferencia con el eje x y con el eje y y
marcarlos en el gráfico.
7. Hallar la ecuación y representar gráficamente la elipse que tiene focos en los
1
13
puntos F1 ( 2 , −2) y F2 ( 2 , −2) y con semieje mayor a = 5. Dar el centro y los vértices.
8. Hallar y graficar
el conjunto solución de la desigualdad 3(x + 2) ≤ 23 (1 + 3(x − 2)) ≤ (x − 2) + 7
T En todos los casos, justificar las respuestas. 1. Dada la recta ` : que pasa por los puntos P1 (3, −2) y
P2 (−2, 1). Hallar la ecuación de la recta perpendicular a ` que pase por el punto Q(2, 2). Encontrar el punto
de intersección R entre las dos rectas y la distancia entre R y P1 . Graficar.
2. ¿A que se llama eje principal
de una elipse? ¿Cuál es el centro?. Si los focos de una elipse son F1 (−3, −4) y F2 (−2, 8), dar la ecuación de su eje
principal y las coordenadas de su
centro y graficar
focos, eje principal y centro.
3. Dada la matriz ampliada
a −3 3b
de un sistema de ecuaciones,
determinar los valores de a y b de modo que (−1, 2) sea solución
1 b
a


a1 a2 a3
4. Dada la matriz triangular superior A =  0 a2 a1  Explicar para que valores de
del sistema.
0 0 a3
a1 , a2 , a3 ; A admite matriz inversa.
5 . Representar en el plano la región {(x, y) : 2x − 3y + 4 ≤ 0 ∧ x ≤ −1 }
1 10
2 10 S1 5
S2 10
S3 5 4 15
5a 5 5b 5
5c 5
6a 10
6b 5
7 10
85
P. 1 2 3 4 5 T.