1. Encontrar el dominio de la función racional. 2. Encontrar los

1. Encontrar el dominio de la función racional.
h(x) =
(x2
x2 − 3x − 1
− 4)(x2 + 11x + 24)
Para encontrar el dominio de una función racional debemos encontrar los valores
de la variable que hacen cero el denominador.
(x2 − 4)(x2 + 11x + 24) = 0
x − 2 x + 2 x + 3 x + 8 = 0, entonces tenemos que
x = −8
x = −3
o
o
x = −2
o
x=2
Y Domf = (−∞, −8) ∪ (−8, −3) ∪ (−3, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, +∞)
2. Encontrar los interceptos con x y y de la función racional.
r(x) =
x2 − 3x − 18
x2 − 3
Para encontrar el intercepto con y, sustituimos x = 0 en la función original:
r(0) =
02 − 3(0) − 18
−18
=
=6
02 − 3
−3
El intercepto con y es (0, 6).
Para encontrar el intercepto con x, sustituimos y = r(x) = 0 en la función
original:
x2 − 3x − 18
0=
x2 − 3
La expresión es cero cuando el numerador es cero.
x2 − 3x − 18 =
0,
factorizando
(x − 6)(x + 3) =
0
entonces tenemos que x = 6 o x = −3
Los interceptos con x son (−3, 0) y (6, 0).
3. Encontrar las ası́ntotas de la función racional.
f (x) =
x2 − 3x − 18
x3 − 3
Para encontrar las ası́ontotas verticales necesitamos factorizar y simplificar la
expresión racional.
x2 − 3x − 18
(x − 6)(x + 3)
√
√
√
=
x3 − 3
(x − 3 3)(x2 + 3 3 x + 3 6)
1
√
El denominador√es cero cuando x − 3 3 = 0 entonces tenemos una ası́ntota
vertical en x = 3 3.
Como el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador la función tiene una ası́ntota horizontal en y = 0.
4. Encontrar las ası́ntotas de la función racional.
f (x) =
(x2 − 1)(9x2 + 1)
16x4 − 1
Para encontrar las ası́ontotas verticales necesitamos factorizar y simplificar la
expresión racional.
(x2 − 1)(9x2 + 1)
16x4 − 1
(x + 1)(x − 1)(9x2 + 1)
=
(4x2 + 1)(4x2 − 1)
(x + 1)(x − 1)(9x2 + 1)
=
(4x2 + 1)(2x + 1)(2x − 1)
f (x) =
El denominador es cero cuando 2x + 1 = 0 o 2x − 1 = 0 entonces tenemos
ası́ntotas verticales en x = −1/2 y x = 1/2.
Para encontrar posibles ası́ntotas horizontales u oblı́cuas debemos expandir
el numerador y el denominador.
(x2 − 1)(9x2 + 1)
9x4 − 8x2 − 1
=
16x4 − 1
16x4 − 1
Como los grados del numerador y el denominador son iguales, la función tiene
una ası́ntota horizontal en el cociente de los coeficientes principales del numerador y el denominador, en este caso y = 9/16
f (x) =
5. Encontrar las ası́ntotas de la función racional.
f (x) =
(x2 − 1)(x + 3)(x + 5)
x3 − 1
Para encontrar las ası́ontotas verticales necesitamos factorizar y simplificar la
expresión racional.
(x2 − 1)(x + 3)(x + 5)
x3 + 1
(x − 1)(x + 1)(x + 3)(x + 5)
=
(x + 1)(x2 − x + 1)
(x − 1)(x + 3)(x + 5)
=
x2 − x + 1
f (x) =
2
Como el denominador, despueés de simplificar, no se hace cero para ningn valor
de x la función no tiene ası́ntotas verticales.
Para encontrar posibles ası́ntotas horizontales u oblı́cuas debemos expandir
el numerador y el denominador.
(x − 1)(x + 3)(x + 5)
x2 − x + 1
2
(x + 2x − 3)(x + 5)
=
x2 − x + 1
3
x + 7x2 + 7x − 15
=
x2 − x + 1
f (x) =
Como el grado del numerador es un grado mayor que el del denominador la
función tiene una ası́ntota oblı́cua, para encontrarla hacemos división larga de
la expresión
x +8
2
x −x+1
3
2
x + 7x + 7x − 15
− x3 + x2 − x
8x2 + 6x − 15
− 8x2 + 8x − 8
14x − 23
Entonces la función la podemos reescribir como:
f (x) = x + 8 +
14x − 23
x2 − x + 1
De esta manera cuando x → +∞ tenemos que f (x) → x + 8. Y la ası́ntota
oblı́cua es y = x + 8
6. Haga un bosquejo de la grfica de f (x) =
x+1
.
(x − 3)(x + 4)
Para encontrar el dominio igualamos el denominador a cero:
(x − 3)(x + 4) = 0, entonces
x = −4 o x = 3 entonces
Domf = (−∞, −4) ∪ (−4, 3) ∪ (3, ∞)
Como la expresión ya está factorizada y simplificada, las ası́ntotas verticales
están en los puntos donde el denominador es cero.
AV: x = −4
y x=3
3
Como el grado del denominador es mayor que el grado del numerador la
función tiene una ası́ntota horizontal en y = 0.
El intercepto con y lo encontramos al sustituir x = 0,
f (0) =
0+1
1
=
(0 − 3)(0 + 4)
−12
Por lo tanto el intercepto con y es (0, −1/12)
Los interceptos con x los encontramos sustituyendo y = f (x) = 0 y la
expresión es cero cuando el numerador es cero.
x + 1 = 0 entonces x = −1 y hay un intercepto con x en (−1, 0)
Tabla de variación de signos:
Factor
x+4
x+1
x−3
EXP
-4
-
-1
+
+
3
+
+
-
+
+
+
+
Bosquejo de la gráfica
4
7. Haga un bosquejo de la grfica de f (x) =
12(x2 + 13x + 42)
.
(2x − 3)(3x + 8)
Para encontrar el dominio igualamos el denominador a cero:
(2x − 3)(3x + 8) = 0, entonces
x = −8/3 o x = 3/2 entonces
Domf = (−∞, −8/3) ∪ (−8/3, 3/2) ∪ (3/2, ∞)
Para encontrar ası́ntotas factorizamos y simplificamos la expresión.
(x + 6)(x + 7)
12(x2 + 13x + 42)
=
(2x − 3)(3x + 8)
(2x − 3)(3x + 8)
Una vez que la expresión ya está factorizada y simplificada, las ası́ntotas
verticales están en los puntos donde el denominador es cero.
AV: x = −8/3 y x = 3/2
Como el grado del denominador es igual al grado del numerador la función
tiene una ası́ntota horizontal en el cociente de los coeficientes principales del
numerador y el denominador.
12(x2 + 13x + 42)
12x2 + 156x + 504
=
(2x − 3)(3x + 8)
6x2 + 7x − 24
Por lo tanto la ası́ntota horizontal está en y = 12/6 = 2.
El intercepto con y lo encontramos al sustituir x = 0,
f (0) =
12(02 + 13(0) + 42)
(12)(42)
=
= −21
(2(0) − 3)(3(0) + 8)
(−3)(8)
El intercepto con y es (0, −21)
Los interceptos con x los encontramos sustituyendo y = f (x) = 0 y la
expresión es cero cuando el numerador es cero.
12(x + 6)(x + 7) = 0 entonces x = −7 y x = −6 hay dos interceptos con x: en
(−7, 0) y en (−6, 0)
Tabla de variación de signos:
Factor
x+7
x+6
3x + 8
2x − 3
EXP
-7
+
-6
+
5
-8/3 3/2
+ + +
+ + +
- + +
- +
+ - +
Bosquejo de la gráfica
x4 + 2x2 + 1
8. Haga un bosquejo de la grfica de f (x) =
.
x(x2 − 4)
Para encontrar el dominio factorizamos el denominador y lo igualamos la cero:
x(x2 − 4) = x(x − 2)(x + 2) = 0, entonces
x = −2 o x = 0 o x = 2 entonces
Domf = (−∞, −2) ∪ (−2, 0) ∪ (0, 2) ∪ (2, ∞)
Para encontrar ası́ntotas factorizamos y simplificamos la expresión.
(x2 + 1)2
x4 + 2x2 + 1
=
2
x(x − 4)
x x−2 x+2
Una vez que la expresión ya está factorizada y simplificada, las ası́ntotas verticales están en los puntos donde el denominador es cero.
AV: x = −2 y x = 0 y y = 2
Como el grado del numerador es un grado mayor que el del denominador la
función tiene una ası́ntota oblı́cua. La división larga de los polinomios es:
Entonces podemos escribir la función como
f (x) =
x4 + 2x2 + 1
6x2 + 1
=
x
+
x(x2 − 4)
x3 − 4x
De esta manera cuando x → +∞ tenemos que f (x) → x. Y la ası́ntota oblı́cua
es y = x
6
La función no tiene intercepto con y pues x = 0 no está dentro del dominio
de f .
Los interceptos con x los encontramos sustituyendo y = f (x) = 0 y la
expresión es cero cuando el numerador es cero.
Pero, x4 + 2x2 + 1 = (x2 + 1)2 > 0 para toda x por lo tanto la función no tiene
interceptos con x
Tabla de variación de signos:
Factor
(x2 + 1)2
x+2
x
x−2
EXP
-2
+
-
-0
+
+
+
2
+
+
+
-
+
+
+
+
+
Bosquejo de la gráfica
9. Construya la ecuación de una función racional con ası́ntotas verticales en x = −3 y en x = 2, y con ası́ntota horizontal en y = 1.
Para cumplir la condición de las ası́ntotas verticales necesitamos que el denominador de la función sea cero en x = −3 y en x = 2. Una función que cumple
con es condición es:
1
f (x) =
(x + 3)(x − 2)
Además para que la función tenga una ası́ntota horizontal en y = 1 el grado
del numerador debe ser igual al grado del denominador y el cociente de sus
coeficientes principales debe ser 1.
Al expandir el denominador tenemos que (x + 3)(x − 2) = x2 + x − 6 por lo tanto
es un polinomio de grado 2 y coeficiente principal 1. Necesitamos entonces en
7
el numerador un polinomio de grado 2 y coeficiente principal 1. Una función
que cumple esto es:
x2
f (x) =
(x + 3)(x − 2)
10. Construya la ecuación de una función racional con dos ası́ntotas
verticales en x = −5 y en x = 5, con una ası́ntota horizontal en
y = 0, con intercepto con el eje y en (0, 5) y dos interceptos con el
eje x en (−1, 0) y (1, 0).
Para cumplir la condición de las ası́ntotas verticales necesitamos que el denominador de la función sea cero en x = −5 y en x = 5. Una función que cumple
con es condición es:
1
f (x) =
(x + 5)(x − 5)
Para que la función tenga interceptos con el eje x en (−1, 0) y (1, 0) los
factores x + 1 y x − 1 deben aparecer en el denominador.
f (x) =
(x + 1)(x − 1)
(x + 5)(x − 5)
Ahora, para que la función tenga una ası́ntota horizontal en y = 0 el grado
del numerador debe ser menor que el grado del denominador. Hasta ahora los
grados del numerador y del denominador son iguales, para aumentar el grado
del denominador sin agregar otra ası́ntota vertical podemos subir el exponente
de alguno de los factores de él.
f (x) =
(x + 1)(x − 1)
(x + 5)(x − 5)2
Para cumplir con la condición de intercepto con y en (0, 5) la función al ser
evaluada en x = 0 debe dar como resultado 5. Con la construcción hasta ahora
tenemos que:
(0 + 1)(0 − 1)
−1
1
f (0) =
=
=−
2
(0 + 5)(0 − 5)
5 · 25
125
Por lo tanto si queremos que nuestra función cumpla con f (0) = 5 debemos
multiplicar f por una constante k tal que k f (0) = 5, esto es k = 5/f (0) =
5/(−1/125) = −625
Por lo tanto la función que cumple con todos los requisitos es:
f (x) =
−625(x + 1)(x − 1)
(x + 5)(x − 5)2
8