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Liceo Bicentenario
Teresa Prats
Resumen de Transformaciones Isométricas
Una transformación es un procedimiento geométrico o movimiento que produce cambios en una figura.
La palabra isometría proviene del griego y significa “igual medida “(iso: igual o mismo, metría: medida).
Una transformación isométrica es una transformación de una figura en otra congruente llamada imagen.
Entre las transformaciones isométricas están las Traslaciones, las rotaciones o giros y las reflexiones o
simetrías (Central y Axial).
Coordenadas de un vector: Una forma de denotar un vector es mediante un par ordenado.
Ubicación de un punto P(a, b) en el Plano Cartesiano:
Coordenada
a en el eje x
a en el eje x
b en el eje y
b en el eje y
Signo
positivo
negativo
positivo
negativo
Desplazamiento
derecha
izquierda
arriba
abajo
Las coordenadas de un vector indican su posición respecto al origen del sistema de coordenadas, es decir,
se grafica partiendo del origen del sistema.
Un vector de traslación ⃗ ( ) indica que el objeto se debe trasladar 3 unidades a la derecha y 9
unidades hacia arriba.
) indica que el objeto se debe trasladar 2 unidades a la izquierda y 5 unidades hacia
El vector ⃗⃗ (
abajo.
Traslaciones
Una traslación de una figura es una transformación isométrica que mueve cada punto de la figura de
acuerdo a un vector dado.
Si tenemos un punto en el plano cartesiano
(
) y le aplicamos la traslación (
); el
punto resultante será (
).
Ejemplos: Se sugiere hacer el dibujo en cada uno de los ejemplos
1.- Al punto (
) le aplicamos la traslación (
), el punto A queda en:
(
)
(
)
2.- Dado el triángulo ABC cuyos vértices son: A (2, 2); B (4, 2) y C (3, 4) se le aplica la traslación T (7, 4), se
obtiene el triángulo A’B’C’ de vértices A’ (9, 6); B’ (11, 6) y C’ (10, 8).
3.- Dado el triángulo ABC cuyos vértices son: A (1, 1); B (2,4) y C (5,3) se le aplica la traslación T (-2,-1), se
obtiene el triángulo A’B’C’ de vértices A’ (-1, 0); B’ (0, 3) y C’ (3, 2).
Observaciones:
1) Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales como angulares
2) Una figura no cambia su posición respecto de la horizontal.
3) No importa el número de traslaciones que se realicen, siempre es posible resumirlas en una
sola traslación.
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ROTACIONES
Una rotación es una transformación que asocia a cada punto del plano una imagen de acuerdo a
un punto llamado centro de rotación y a un ángulo que podemos llamar ángulo de giro.
Si la rotación se realiza en sentido contrario a
como giran las manecillas del reloj, se dice
que la rotación es positiva o antihorario.
Si la rotación se realiza en sentido de las
manecillas del reloj, se dice que la rotación es
negativa u horaria.
Observaciones: Si la rotación es positiva con centro y ángulo de giro , se representa por
(
). Si la rotación es negativa con centro y ángulo de giro – , se representa por (
)
Rotación con centro en el origen
Rotación
Positiva o
antihorario (+)
(
Punto inicial
(
)
(
)
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
Ejemplos:
1) Si se rota el punto ( ) en 90° respecto del origen del sistema de coordenadas, se
).
obtiene su imagen (
) en 270° en sentido antihorario en torno al origen del
2) Si se rota el punto (
).
sistema de coordenadas, se obtiene su imagen (
); (
); (
) en 180° en
3) Al rotar el triángulo
cuyos vértices son (
sentido positivo, respecto al origen , se obtienen las siguientes imágenes de sus vértices:
( ); (
); (
)
Rotación con centro en el origen
Punto
Rotación
inicial
Negativa u
(
)
horaria ( - )
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
(
)
Ejemplos:
1) Si se rota el punto ( ) en -90° en torno al origen del sistema de coordenadas, se
).
obtiene su imagen (
(
),
2) Dado el punto
su imagen, rotada en 180° en sentido horario, respecto del origen
).
del sistema de coordenadas, es el punto (
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)y (
) es rotado con centro en el
3) Un segmento con extremos en los puntos (
)y
punto ( ) en un ángulo de -270°. Las coordenadas de su imagen son: (
(
).
Si la rotación no es con centro en el origen, se debe trasladar el origen del sistema de
coordenadas al nuevo origen dado, y proceder a rotar la figura con centro en el origen.
Ejemplos:
1) Si rotamos el punto ( ) en 90° en torno al punto de coordenadas ( ), se obtiene su
imagen ( ).
2) Si rotamos el punto ( ) en -90° en torno al punto de coordenadas ( ), se obtiene
).
su imagen (
) (
) (
), si se rota el
3) Dado el triángulo
, cuyos vértices son (
), se obtiene el triángulo
triángulo en 180 ° en torno al punto de coordenadas (
, cuyas coordenadas son ( ) (
) ( ).
Simetrías
Las simetrías o reflexiones, son transformaciones isométricas, en las cuales se invierten los
puntos y figuras del plano. Estas simetrías o reflexiones pueden ser respecto de un punto
(simetría central) o bien respecto de una recta (simetría axial).
Simetría Central
Una simetría central es una transformación en la cual a cada punto de una figura se le asocia
otro punto, llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:
:
1) El punto y su imagen están a igual distancia
de un punto dado, llamado centro de simetría
(o).
2) El segmento que une un punto con su imagen
contiene al centro de simetría.
: centro de simetría
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
En la figura el pescado
es la imagen
del pescado
con respecto al centro de
simetría
O
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Simetría central en el plano Cartesiano
1) Todo punto (
origen ( ).
) del plano cartesiano tiene su simétrico
Punto
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
2) Una simetría central respecto de un punto
centro .
(
) con respecto al
Simétrico con respecto al origen (
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
)
equivale a una rotación en 180° de
: centro de simetría
3) Los trazos de la figura original son paralelos con los trazos homólogos de la figura
transformada.
: centro de simetría
̅̅̅̅ // ̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ // ̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ // ̅̅̅̅̅
Ejemplos:
1) Sea el punto ( ), su imagen respecto del origen del sistema cartesiano es (
), su simétrico con respecto al origen ( ) es (
).
2) Dado el punto (
3) Sea el punto ( ), su imagen, respecto del punto ( ), es el punto ( ).
).
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Simetría Axial
Una simetría axial es una transformación en la cual a cada punto de una figura se le
asocia otro punto, llamado imagen, de modo que:
x
1) El punto y su imagen están a igual
distancia de una recta dada,
llamada eje de simetría ( ).
2) El segmento que une un punto
con su imagen es perpendicular al
eje de simetría.
G
: eje de simetría
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
E
F
El triángulo
es la imagen
del triángulo
con respecto al
eje de simetría .
Simetría Axial en el plano Cartesiano
) se le aplica una simetría axial o reflexión con respecto al eje X, las
1. Si a un punto (
).
coordenadas de su imagen serán (
Punto
(
)
(
)
( )
Simétrico respecto al eje X
(
)
(
)
(
)
) se le aplica una simetría axial o reflexión con respecto al eje Y, las
2. Si a un punto (
).
coordenadas de su imagen serán (
Punto
Simétrico respecto al eje Y
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
Composición de Isometrías
Una composición de transformaciones Isométricas es la aplicación sucesiva de transformaciones
Isométricas sobre una misma figura.
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