Los poliedros

FORMAS POLIEDRICAS
APLICADAS A LA ARQUITECTURA
Los
poliedros
son las figuras geométricas tridimensionales
hermosas que han fascinado a filósofos, a
matemáticos y a artistas por milenios.
Partiendo de la definición: Un poliedro es un cuerpo geométrico tridimensional
cuyas caras se componen de polígonos planos que encierran un volumen. Se
observa que en la naturaleza existen formas que se basan en organizaciones
poliédricas. Las formas poliédricas de la naturaleza son soluciones exitosas
estables, resistentes, armoniosas y funcionales ante los retos del entorno
natural (fuerzas, vibraciones, temperatura, fluidos, etc.) y hacen posible que
una determinada organización material (inorgánica u orgánica) persista y se
mantenga en su ambiente
Los poliedros han sido estudiados hace miles de años, Platón por ejemplo
estableció 5 sólidos que tienen idénticas caras, vértices y son convexos, con el
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tiempo los llamaron sólidos platónicos: el tetraedro, el exaedro o cubo, el
octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, por tener 4, 6, 8, 12 y 20 caras
respectivamente. De los 5 sólidos platónicos tres están construidos en base a
triángulos equiláteros (4,8 y 20 lados), uno en base a cuadrados (el cubo de 6
cuadrados) y otro en base a pentágonos (el dodecaedro, 12 lados). En la
naturaleza tienen formas de poliedros platónicos: el metano CH4 (tetraedro), la
Fluorita, sustancias alcalinas (exaedro), iones lantánidos trivalente (octaedro),
pirita (dodecaedro), adenovirus (octaedro).
Arquímedes, clasificó otros 13 poliedros derivados de los 5 poliedros
platónicos, estos se obtienen por el truncamiento o recorte de sus vértices, así
por ejemplo, si un tetraedro formado por 4 triángulos equiláteros que se unen
en 4 vértices (cada vértice une tres triángulos a la vez), es truncado en estos
cuatro vértices apareciendo 4 nuevos triángulos equiláteros en los vértices, al
perder estos vértices los antiguos triángulos se transforman en 4 hexágonos, el
nuevo poliedro resultante se llama Tetraedro truncado y tiene 4 triángulos y 4
hexágonos con 12 nuevos vértices. Los poliedros arquimedianos, no tiene
caras idénticas (por lo general son dos o tres polígonos diferentes), pero si
tienen idénticos vértices y son convexos.
Otro caso interesante se da al truncar un icosaedro (20 lados y 12 vértices), los
vértices agrupan a 5 triángulos, que al truncarse se convierten en 12
pentágonos, los 20 triángulos al perder sus puntas se convierten en 20
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hexágonos, al final se tiene un poliedro de 12+20 = 32 lados que une
pentágonos y hexágonos como la clásica pelota de futbol de 32 paños. En
1985 se descubrió que la molécula carbónica del fullereno (C60), tenía una
estructura similar a esta pelota de futbol.
Otros estudiosos han clasificado y definido otros poliedros como los Prismas y
Antiprismas, los poliedros de Kepler-Poinsot, los Deltaedros, Los sólidos de
Johnson, los poliedros de catalán entre otros. Todos estos poliedros pueden
servir de inspiración para obtener formas arquitectónicas.
Utilizar un poliedro como base para proponer edificaciones, es una interesante
alternativa sobre todo para proyectos con materiales no convencionales como
el bambú. Las formas poliédricas aplicadas a la arquitectura ayudan a:
a.- Lograr espacios proporcionados y armónicos, la belleza de los polígonos y
de la composición en base a vértices iguales
b.- Obtener espacios funcionalmente cómodos que puedan albergar
actividades, equipamiento y mobiliario que se adapta a las formas o bordes
poliédricos con un sentido orgánico, muchas formas poliédricas permiten el
ahorro de energía por la relación entre superficie expuesta y volumen
contenido.
c.- Tener espacios convenientemente estructurados, resistentes y estables ante
las fuerzas y cargas estructurales. Los vértices del poliedro se solucionan con
nudos de igual configuración (en poliedros platónicos y arquimedianos) y con
aristas de tamaño similar lo cual ayuda a una mejor distribución de las cargas y
al trabajo conjunto de los componentes como unidad estructural.
Algunos proyectos recientes en los que se aplican formas poliédricas, permiten
tener espacios arquitectónicos cercanos a lo orgánicos, con proporciones del
ser humano, y que al ser diferentes a las edificaciones ortogonales, pueden
ayudar a generar nuevas formas de agrupamiento urbano, cambiando en
esencia la apariencia de la manzana tradicional y de la ciudad.
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Poliedros
¿Qué es un Poliedro?
Un Poliedro es una porción de espacio limitada por polígonos planos, que
tiene por elementos característicos las Caras, las Aristas y los Vértices:
Caras: son los polígonos que la limitan.
Aristas: son los lados de las caras.
Vértices: donde concurren tres o más caras.
Un Poliedro es Cóncavo si tiene una cara cuyo plano atraviesa a la figura y
Convexo si todo él está en el n-ésimo semiespacio respecto al plano de cada
una de sus caras
Un Poliedro es Simple si no tiene orificios que lo atraviesen.
¿Qué es un Prisma?
Un prisma, en geometría, es un poliedro que consta de dos caras iguales y
paralelas llamadas bases, y de caras laterales que son paralelogramos.
En el caso en que las caras laterales sean rectangulares, se llama prisma
recto. El prisma rectangular o cuboide, y el prisma octagonal se encuentran
entre los tipos de prisma recto, con una base rectangular y octagonal,
respectivamente.
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¿Qué es una Pirámide?
Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono
cualquiera; y por caras, que son triángulos y coinciden en un punto
denominado ápice. El ápice o cúspide también es llamado en ocasiones vértice
de la pirámide, aunque la pirámide tiene más vértices.
Tipos de pirámides
Una pirámide recta es un tipo de pirámide cuyas caras laterales son
triángulos isósceles. En este tipo de pirámides la recta perpendicular a la base
que pasa por el ápice corta a la base por su circuncentro.
Una pirámide oblícua es aquella en la que no todas sus caras laterales
son triángulos isósceles.
Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono
regular.
Una pirámide cónvexa tiene como base un polígono convexo y una
pirámide cóncava tiene como base un polígono cóncavo.
Existen tres tipos de pirámides cuyas caras son triángulos equiláteros, con
bases de 3, 4 y 5 lados respectivamente. Un tetraedro es una pirámide cuyas
caras (base y caras laterales) son triángulos equiláteros.
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¿Qué es un Poliedro Regular?
Un Poliedro Regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares
iguales y en cada uno de sus vértices concurre el mismo número de caras.
Existen 5 tipos de poliedros regulares:

Tetraedro : 4 caras triangulares que concurren 3 en cada vértice, tiene 4
vértices y 6 aristas.
Cubo : 6 caras cuadradas , que concurren tres en cada vértice , tiene 8
vértices y 12 aristas .
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
Octaedro: 8 caras triangulares, que concurren cuatro en cada vértice,
tiene 6 vértices y 12 aristas.


Dodecaedro: 12 caras pentagonales regulares, que concurren 3 en
cada vértice, tiene 20 vértices y 30 aristas.
Isocaedro: Veinte caras triangulares que concurren 5 en cada vértice,
tiene 12 vértices y 30 aristas.
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SÓLIDOS PLATÓNICOS
LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS son poliedros
convexos cuyas caras son polígonos regulares
iguales y en cuyos vértices se unen el mismo
número de caras. Reciben este nombre en honor al
filósofo griego Platón a quien se le atribuye el
estudio de estos en primera instancia.
LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS Ó POLIEDROS
REGULARES CONVEXOS SON:
Sólo hay cinco poliedros regulares convexos. La
razón es la siguiente:
La suma de las caras de un ángulo poliedro tiene
que ser menor que 360°, para comprobarlo basta
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tratar de construir uno cuyas caras sumen más de
cuatro ángulos rectos.
Cuando se toma como cara el triángulo equilátero
se pueden construir poliedros como:
1. TETRAEDRO. Tiene tres caras que se unen en un
vértice
(3 x 60° = 180° < 360°)
2. OCTAEDRO. Son cuatro caras que se unen en un
vértice
(4 x 60° = 240° < 360°)
3. <!--[endif]-->ICOSAEDRO. Se unen cinco caras en
un vértice
(5 x 60° = 300° < 360°)

Pero ya con 6 caras no sería posible porque 6 x
60° = 360°
Cuando se toma como cara el cuadrado se
construye el :
4. <!--[endif]-->HEXAEDRO. Donde sus caras son
cuadrados y en el coinciden tres caras en el vértice
(3 x 90° = 270° < 360°)

Únicamente es este ya que en la unión de 4
caras suman
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(4 x 90° = 360°)
Cuando se considera como cara pentágonos
regulares, cuyo ángulo es de 108°, se hablaría del :
5. <!--[endif]-->DODECAEDRO. En el cual coinciden
tres de sus caras en un vértice (3 x 108° = 324° <
360°)


Con hexágonos regulares, cuyos ángulos miden
120°, ya no se puede construir ninguno porque
tres caras concurrentes en un vértice da (120° x
3 = 360°)
Y ocurre algo similar con polígonos regulares de
más de seis lados.
Por tal motivo sólo se tienen 5 SÓLIDOS
PLATÓNICOS, que también se les conoce como
cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos
pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de platón o,
con más precisión, poliedros regulares convexos.
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FORMAS POLIEDRICAS
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Poliedro Regular
Poliedro cuyas caras son polígonos regulares iguales y todas sus
aristas son de igual longitud; en consecuencia, todos sus vértices
están contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son cinco y
se denominan:

tetraedro regular: poliedro regular definido por 4 triángulos
equiláteros iguales,




hexaedro regular (cubo): poliedro regular definido por 6
cuadrados iguales,
octaedro regular: poliedro regular definido por 8 triángulos
equiláteros iguales,
dodecaedro regular: poliedro regular definido por 12
pentágonos regulares iguales,
icosaedro regular: poliedro regular definido por 20 triángulos
equiláteros iguales.
poliedros regulares
Poliedro
Sólido limitado por superficies planas (polígonos). Sus partes se
denominan:



caras: polígonos que limitan al poliedro,
aristas: lados de las caras del poliedro,
vértices: puntos donde concurren varias aristas.
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Clasificación de los Poliedros
Los poliedros se clasifican básicamente en:


poliedros regulares
poliedros irregulares
Poliedro Regular
Poliedro cuyas caras son polígonos regulares iguales y todas sus
aristas son de igual longitud; en consecuencia, todos sus vértices
están contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son cinco y
se denominan:

tetraedro regular: poliedro regular definido por 4 triángulos
equiláteros iguales,

hexaedro regular (cubo): poliedro regular definido por 6
cuadrados iguales,

octaedro regular: poliedro regular definido por 8 triángulos
equiláteros iguales,

dodecaedro regular: poliedro regular definido por 12 pentágonos
regulares iguales,

icosaedro regular: poliedro regular definido por 20 triángulos
equiláteros iguales.
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poliedros regulares
Poliedro Irregular
Poliedro definido por polígonos que no son todos iguales.
Clasificación de los Poliedros Irregulares
Los poliedros irregulares se clasifican básicamente en:



tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro, octaedro,
pirámide
prisma
denominación de los poliedros irregulares,
según el número de sus caras
Pirámide
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Poliedro definido por un polígono base y cuyas caras laterales son
triángulos que poseen un vértice común (V), denominado vértice de
la pirámide, que no está contenido en el plano base. La recta que
pasa por el vértice de la pirámide y el centro geométrico de la base
se denomina eje de la pirámide (e). Las pirámides se clasifican en:



pirámide recta: el eje es perpendicular al polígono base,
pirámide oblicua: el eje no es perpendicular al polígono base,
pirámide regular: la base es un poligono regular,
o pirámide regular recta: la base es un poligono regular y el
o
eje es perpendicular al polígono base.
pirámide regular oblicua: la base es un poligono regular y
el eje no es perpendicular al polígono base.
pirámides
Prisma
Poliedro definido por dos polígonos iguales y paralelos (bases) y
cuyas caras laterales, en consecuencia, son paralelogramos. La recta
que une los centros geométricos de las bases se denomina eje del
prisma (e). Los prismas se clasifican en:



prisma recto: el eje es perpendicular a los polígonos base,
prisma oblicuo: el eje no es perpendicular a los polígonos base,
prisma regular: las bases son poligonos regulares,
o prisma regular recto: las bases son poligonos regulares y el
o
eje es perpendicular a los polígonos base.
prisma regular oblicuo: las bases son poligonos regulares y
el eje no es perpendicular a los polígonos base.
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
paralelepipedo: prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden
ser a su vez rectos u oblicuos
prismas
En este sitio son unos pocos cientos de modelos de papel disponible de forma gratuita.
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ESCALA:
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Construir diferentes polígonos regulares
NÚMERO DE LADOS NOMBRE
3 Triángulo
4 Cuadrilátero
5 Pentágono
6 Hexágono
7 Heptágono
8 Octágono
9Nonágono
10 Decágono
11Endecágono
12Dodecágono
http://www.korthalsaltes.com/es/model.php?name_en=t
wisted decagonal prism