Word Pro - P.41_Ondas

P.41 (P-07/08) En una cuerda tensa de 16 m de longitud, con sus extremos fijos, se ha
generado una onda de ecuación:y(x, t) = 0, 02Sen 4 xCos8t (S.I.) a) Explique de qué
tipo de onda se trata y cómo podría producirse. Calcule su longitud de onda y su frecuencia.
b) Calcule la velocidad en función del tiempo de los puntos de la cuerda que se encuentran
a 4 m y 6 m, respectivamente, de uno de los extremos y comente los resultados.
a) Si sumamos las ondas: y 1 (x, t) = 0, 01Sen(8t + 4 x) (hacia izqda.)
y
y 2 (x, t) = −0, 01Sen(8t − 4 k) (hacia dcha. y desfasada en rad respecto de la anterior)
tenemos:
y(x, t) = y 1 + y 2 = 0, 01[Sen8tCos 4 x + Cos8tSen 4 x − Sen8tCos 4 x + Cos8tSen 4 x] =
y(x, t) = 0, 02Cos8tSen 4 x
Corresponde a una onda mecánica, estacionaria, armónica y unidimensional. Por la forma
de la función existen puntos en el medio que no vibran nunca, NODOS, y por lo tanto no
permiten el paso de la energía ni la transmisión de la onda. Los nodos son los puntos del
medio que cumplen Sen 4 x = 0 d
4x
= n d
x = 4n
(n=0,1,2,3,etc.).
La longitud de onda y la frecuencia de la onda estacionaria y de las ondas que
superpuestas que dan lugar a ella son:
k=
2
=
4
d = 8 m ; w = 2f = 8 d f = 4 Hz
b) La velocidad demandada es la de VIBRACIÓN y no la velocidad de la onda (de fase).
Para calcularla hemos de derivar la ecuación de onda respecto del tiempo:
v(x, t) =
dy(x,t)
dt
= −0, 02.8.Sen 4 xSen8t = v(x, t) = −0, 16.Sen 4 xSen8t
Si observamos la ecuación de los nodos: x = 4n, x = 4 corresponde al segundo nodo y la
velocidad ha de ser nula siempre (no vibra). Efectivamente: Sen 4 4 = 0.
En x=6 tenemos un vientre ya que Sen 4 6 = Sen3 2 = −1 (en los vientres Senkx=!1)
Distancia entre nodos consecutivos= 2 . Distancia entre vientres consecutivos = 2
Distancia nodo-vientre consecutivos= 4
Esto se nos cumple en nuestro problema.
Sustituyendo el la v del recuadro x=6, la velocidad demandada nos queda:
v(x, t) = 0, 16Sen8t (variable con el tiempo).
La gráfica aproximada es la siguiente:
1
1
[ T = f = 4 = 0, 25s]
v
0
0
0,125
0,25
2
t
Fase=wt