Elementos finitos estabilizados vía funciones de Lyapunov

Elementos finitos estabilizados vı́a
funciones de Lyapunov
Gustavo A. González Armoa
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad Nacional de Asunción
E-mail: [email protected]
8 de febrero de 2010
Gustavo A. González Armoa
FaCEN - UNA
Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov
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1
Motivación
2
Objetivo
3
Introducción
4
Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
5
Definición del problema
6
Resultados
7
Conclusión
8
Referencias Bibliográficas
Gustavo A. González Armoa
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Motivación
1
Motivación
2
Objetivo
3
Introducción
4
Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
5
Definición del problema
6
Resultados
7
Conclusión
8
Referencias Bibliográficas
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Motivación
Motivación
Consideremos la ecuación de calor (difusión pura) unidimensional en Ω = [0, L], dado por:
∂t w(x, t) = ∂xx w(x, t) + f (x, t),
para (x, t) ∈ Ω × [0, T );
(1)
sujeta a las condiciones de frontera de Dirichlet e iniciales dadas por:
w(0, t)
w(x, 0)
=
=
w(L, t) = 0,
w0 (x).
(2)
Donde, ∈ R es el parámetro de difusión, t representa el tiempo, x representa la variable
espacial, ∂t w(x, t) representa la variación temporal, ∂xx w(x, t) representa la variación
espacial y f (x, t) representa el término forzante.
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Motivación
Usando el método de Galerkin obtenemos

M ż(t)
z (0)
=
=
A z(t) + B b(t),
z0 ,
(3)
donde z, b ∈ Rm son los vectores de incógnitas y forzante, respectivamente. Las matrices
M, A, B ∈ Rm×m son las matrices de masa, rigidez y entrada, respectivamente.
Es importante notar que las matrices M y A dependen del parámetro de discretización
espacial de la malla h.
Además la matriz A depende de .
Discretizando el intervalo de tiempo [0, T ] en n intervalos iguales y usando el θ- método para
la discretización temporal obtenemos:
M
z j+1 − z j
τ
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=
θ Az j + (1 − θ) A z j+1 + θB bj + (1 − θ) B bj+1 (4)
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Motivación
obtenemos la recurrencia:
(M − τ (1 − θ)A) z j+1 = (M − τ θA)z j + θτ Bbj + τ (1 − θ)Bbj+1 .
Importante
Si θ 6= 1 la recurrencia es implı́cita consecuentemente es necesario invertir la matriz
(M − τ (1 − θ) A).
Si θ = 1 la recurrencia es explı́cita, en este caso la resoluión de la matriz en cada
instante de tiempo es simple.
τ es el tiempo de simulación.
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(5)
Motivación
Cuando tomamos, por ejemplo, = 10−1 , parámetro de difusión y h = 1/8, tamaño de la
malla, obtenemos los siguientes resultados.
Tamaño de la matriz 16×16
τ =0.0625 y ε=10−1
Tamaño de la matriz 307×307
−1
τ =0.0032552 y ε = 10
16
x 10
2
1.5
w(x,t)
w(x,t)
1
1.5
1
0.5
0.5
0
−0.5
−1
0
1
−1.5
1
1
t
0.8
0.5
0.6
0.4
0
0.2
0
x
t
1
0.8
0.5
0.6
0.4
0
0.2
x
0
Figura: 1 Método de Euler explı́cito-Galerkin.
Para una solución fı́sicamente relevante es necesario considerar τ muy pequeño (τ << h).
Esto encarece el método de Euler explı́cito-Galerkin.
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Objetivo
1
Motivación
2
Objetivo
3
Introducción
4
Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
5
Definición del problema
6
Resultados
7
Conclusión
8
Referencias Bibliográficas
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Objetivo
Objetivo
El objetivo de este trabajo consiste en formular un método numérico estable para resolver
tanto la ecuación de calor como la ecuación de convección difusión.
Estabilizar el método de Euler explı́cito-Galerkin, para valores de τ grande
(τ = h).
Explorar la teorı́a de control para estabilizar el método de Euler explı́cito-Galerkin.
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Introducción
1
Motivación
2
Objetivo
3
Introducción
4
Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
5
Definición del problema
6
Resultados
7
Conclusión
8
Referencias Bibliográficas
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Introducción
Distribución
Definición 1
Se denomina distribución sobre Ω a toda forma bilineal T , continua en D(Ω), o sea una distribución es un funcional T : D(Ω) → R; que satisface las condiciones
1
T (αu + βv) = αT (u) + βT (v).
2
T es continua en D(Ω), es decir, si (φν ) converge para cero en D(Ω), entonces
T (φν ) converge para cero en R.
El espacio de las distribuciones con la noción de convergencia es denotado por D 0 (Ω).
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Introducción
Distribución
El producto interno es una distribución
Las funcionales localmente integrables u ∈ L1loc (Ω) definen unı́vocamente una distribución
dada por
Z
(Tu , v)
=
u(x) v(x) dx,
∀u ∈ D 0 (Ω); ∀v ∈ D(Ω)
(6)
Ω
Derivada en el sentido de las distribuciones
Para u ∈ D 0 (Ω), α = (α1 , · · · , αn ) ∈ Nn y |α| = α1 + · · · + αn definimos la
derivada de orden n en el sentido de las distribuciones como sigue:
„
∂αu
,v
∂xα
«
=
(−1)α
„
«
∂αv
u,
.
∂xα
(7)
En este caso toda distribución es infinitamente derivable, pues v ∈ C0∞ (Ω)
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Espacio L2 (Ω)
Introducción
Definición 2
Sea Ω ⊂ Rd , definimos el espacio L2 (Ω):
L2 (Ω)

=
Z
|u(x)|2 dx < ∞
u : Ω → R;
ff
(8)
Ω
Cuyo producto interno y norma son definidas por:
Z
(u, v) =
u(x)v(x)dx
y
|u|2 =
Ω
Z
|u(x)|2 dx
(9)
Ω
Definición 3
El espacio de Sobolev H p (Ω), p = 0, 1, · · · , p ∈ N es definido por:
H p (Ω)
=

u : Ω → R; u ∈ L2 (Ω),
ff
∂αu
∈ L2 (Ω) .
∂x1 α1 . . . ∂xd αd
Note que el espacio H 0 (Ω) = L2 (Ω).
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(10)
Introducción
Espacios H 1 (Ω)
Espacios H 1 (Ω)
Note que para p = 1, tenemos que
H 1 (Ω)

ff
∂u
u ∈ L2 (Ω);
∈ L2 (Ω)
∂xi
=
(11)
En este caso el producto interno en H 1 esta definido por:
Z
Z
(u, v) =
∇u∇vdx
uvdx +
Ω
(12)
Ω
La norma se define como kuk2H 1 = (u, u).
Espacio H01 (Ω)
Un subespacio H01 (Ω) de H 1 (Ω) se define como
H01 (Ω)
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=
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˘
¯
u ∈ H 1 (Ω); u = 0 sobre la frontera
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(13)
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Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
1
Motivación
2
Objetivo
3
Introducción
4
Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
5
Definición del problema
6
Resultados
7
Conclusión
8
Referencias Bibliográficas
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Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
Consideremos el sistema dinámicos lineal de tiempo discreto:

z k+1
z k0
=
=
A zk ,
z0 ,
k∈N
(14)
donde
z k ∈ Rm y
A ∈ Rm×m es una matriz constante.
Para la ecuación (14) un vector z ∗ ∈ Rm es llamado punto de equilibrio si z ∗ = A z ∗
[Oga97, BK06].
Definición 4
El sistema (14) es llamado localmente convergente si para z ∗ existe un δ > 0 tal que si
kz 0 − z ∗ k < δ, la solución z k existe y lı́mk→∞ z k = z ∗ , además es globalmente convergente si lı́mk→∞ z k = z ∗ para todo z 0 .
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Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
Definición 5
El punto de equilibrio z ∗ = 0 de la ecuación z k+1 = A z k es:
Estable o estable en el sentido de Lyapunov si, dado > 0 existe δ > 0 tal que
kz 0 − z ∗ k < δ implica kz k − z ∗ k < para todo k ≥ 0; y es denominado inestable
si no es estable.
Atractivo si existe δ > 0 tal que kz 0 − z ∗ k < δ implica lı́mk→∞ z k = z ∗ .
Si δ = ∞, entonces z ∗ es globalmente atractivo.
Asintóticamente estable si es estable y atractivo; globalmente asintóticamente estable si
es estable y globalmente atractivo.
Si el punto de equilibrio z ∗ es estable, decimos que el sistema dinámico lineal de tiempo
discreto z k+1 = A z k es estable [Oga97, BK06].
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Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
Definición 6
La función V es una función de Lyapunov en un subconjunto W ⊂ Rn si
V es continuo en W , y
el decaimiento de ∆V ≤ 0, tal que z y Az estén en W .
Donde la variación de V relativo al sistema z k+1 = A z k se define como
∆V (z k )
:=
V (z k+1 ) − V (z k ) = V (Az k ) − V (z k ).
(15)
Definición 7
La función escalar V es definida positiva en z ∗ si
V (z ∗ ) = 0, y
V (z) > 0 para todo z ∈ B(z, ξ), para algún ξ > 0.
Decimos que una matriz Q simétrica es definida positiva si su forma cuadrática z T Qz > 0
para todo z 6= 0.
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Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
Teorema 1
Si V es una función de Lyapunov para el sistema z k+1 = A z k sobre una vecindad
W del punto de equilibrio z ∗ = 0 y V es definida positiva con respecto a z ∗ = 0,
entonces z ∗ = 0 es estable.
Si además ∆V < 0, siempre que z y Az estén en W , entonces z ∗ = 0 es
asintóticamente estable.
Más aún, si W = Rm y V (z) → ∞ cuando kxk → ∞ entonces z ∗ = 0 es
globalmente asintóticamente estable.
Observación 1
Un resultado básico de estabilidad, cuando se considera un sistema dinámico lineal de tiempo
discreto de la forma z k+1 = A z k es que el punto de equilibrio z ∗ = 0 es estable si y
solamente si el radio espectral de la matriz A verifica que ρ(A) ≤ 1 [GQ95, BL08].
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Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
Teorema 2
El punto de equilibrio z ∗ = 0 del sistema dinámico lineal de tiempo discreto z k+1 = A z k
es asintóticamente estable si y solamente si para toda matriz simétrica definida positiva
Q = QT > 0, existe una única matriz P = P T > 0 tal que
∆V (z k ) = −(z k )T Qz k .
Cuando V (z k ) := (z k )T P z k , la expresión ∆V (z k ) = −(z k )T Qz k toma la forma:
AT P A − P = −Q.
(16)
La ecuación (16) es conocida como ecuación de Lyapunov de tiempo discreto.
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Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
Control de sistemas dinámicos lineales de tiempo discreto
Control de sistemas dinámicos lineales de tiempo discreto
Se considera el sistema dinámico lineal discreto autónomo:

z k+1 = A z k + B uk , con k ∈ N
z k0
= z0 ,
(17)
donde
uk ∈ Rm es el vector de control,
z k ∈ Rm es el vector de estado,
A, B ∈ Rm×m son matrices constantes e invariantes en el tiempo (sistema autónomo).
Sea V : Rm − {0} → R+ con V (0) = 0, satisface
∆V (z k ) := V (z k+1 ) − V (z k ) = V (A z k + B u(z k )) − V (z k ) < 0.
Entonces, denominamos a la función V (·) función de control de Lyapunov para el sistema
z k+1 = A z k + B uk [BK06].
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(18)
Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
Función de Lyapunov para la realimentación de estados
Función de Lyapunov para la realimentación de estados
Asumiremos que la ley de control toma la siguiente forma
uk = − F z k
donde, encontrar uk es equivalente a encontrar una matriz F ∈ Rm×m tal que la solución del
sistema
z k+1
=
(A − B F ) z k ,
(19)
sea asintóticamente estable con respecto al punto de equilibrio z ∗ = 0.
Ahora para el caso del sistema z k+1 = A z k + B uk , la variación de la función de
Lyapunov V (z k ) esta dado por:
∆V (z k ) = −(z k )T Q z k − (uk )T R uk ,
(20)
donde Q = qI es simétrica definida positiva (o semidefinida positiva) y R = rI es simétrica
definida positiva, q, r ∈ R e I ∈ Rm×m es la matriz identidad.
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Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
Función de Lyapunov para la realimentación de estados
Función de Lyapunov para la realimentación de estados
La matriz F de la ley de control uk = − F z k toma la forma [Str81]:
F =
“
”−1
BT P B + R
B T P A,
(21)
donde la matriz P simétrica definida positiva, es obtenida resolviendo la ecuación de Riccati
[Str81]:
“
”−1
P = AT P A − AT P B B T P B + R
B T P A + Q.
(22)
Teorema 3
La ley de control para el sistema lineal de tiempo discreto z k+1 = A z k + B uk para una
matriz definida positiva R, se define como
uk
=
−(B T P B + R)−1 B T P A z k ,
(23)
donde la matriz P satisface la ecuación (22).
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Definición del problema
1
Motivación
2
Objetivo
3
Introducción
4
Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
5
Definición del problema
6
Resultados
7
Conclusión
8
Referencias Bibliográficas
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Definición del problema
Definición del problema: Convección difusión
Consideremos la ecuación de convección difusión unidimensional en Ω = [0, L] con término
forzante f (x, t) dada por:
∂t w(x, t) + κ∂x w(x, t)
=
∂xx w(x, t) + f (x, t),
(24)
para (x, t) ∈ Ω × (0, T ), y sujeta a las condiciones de frontera de Dirichlet e iniciales dadas
por:
w(0, t)
w(x, 0)
=
=
w(L, t) = 0,
w0 (x).
(25)
Donde
w0 (x) ∈ L2 (Ω) y f (x, t) ∈ L2 (Ω) × L2 (0, T ).
w(x, t) ∈ H01 (Ω) × L2 (0, T ).
El término forzante f (x, t) es usado para controlar la ecuación (24). Los parámetros , κ ∈ R
son los coeficientes de difusión y convección, respectivamente.
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Definición del problema
Formulación Variacional
Formulación Variacional
Multiplicando la ecuación
∂t w(x, t) + κ∂x w(x, t)
=
∂xx w(x, t) + f (x, t),
por una función de prueba ϕ ∈ S = H01 (Ω) e integrando sobre Ω. Se obtiene:
Z
Z
∂t w(x, t)ϕ(x)dx
=
Ω
Z
wxx (x, t)ϕ(x)dx − κ
Z
Ω
+
wx (x, t)ϕ(x)dx
Ω
f (x, t) ϕ(x)dx.
(26)
Ω
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Definición del problema
Formulación Variacional
Formulación Variacional
Integrando por partes sobre Ω y aplicando las condiciones de frontera
(w(0, t) = w(L, t) = 0.
Se obtiene:
Z
Z
∂t w(x, t)ϕ(x)dx
=
Ω
−
Z
+
wx (x, t)ϕ0 (x)dx − κ
Ω
Z
wx (x, t)ϕ(x)dx
Ω
f (x, t) ϕ(x)dx.
(27)
Ω
Y la formulación variacional esta dada por;
(∂t w, ϕ) + a(w, ϕ)
=
(f, ϕ)
∀ϕ ∈ S;
(28)
donde a(·, ·) : S × S → R es un funcional bilineal.
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Definición del problema
Formulación Variacional
Formulación Variacional
En la ecuación
(∂t w, ϕ) + a(w, ϕ)
=
(f, ϕ),
los funcionales a(·, ·) y (f, ϕ), estan definidos por [Tho97, Che05]:
Z
a(w, ϕ)
[ ∂x w(x, t) · ∂x ϕ + κ ∂x w(x, t) · ϕ ] dx,
:=
(29)
Ω
y
Z
(f (x, t), ϕ) :=
f (x, t) ϕ dx.
(30)
Ω
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Definición del problema
Aproximación de Galerkin
Aproximación de Galerkin
Si Sh es un subespacio de elementos finitos de S = H01 (Ω), entonces la aproximación por
elementos finitos consiste en encontrar wh = wh (x, t) el cual pertenece a Sh para cada
t ∈ (0, T ) y satisface
(∂t wh , vh ) + a(wh , vh )
=
(f, vh ) ∀vh ∈ Sh .
(31)
De forma a encontrar la aproximación de Galerkin asumimos que wh (x, t) tiene la siguiente
forma [NT94]:
wh (x, t)
=
m
X
zi (t)ϕi (x),
(32)
i=1
donde el conjunto de los ϕi ∀i = 1, . . . , m; constituyen una base para Sh .
P
Asumimos que el término forzante tiene la forma f (x, t) = m
i=1 bi (x)ui (t).
En el contexto de este trabajo asumimos que los ϕi son funciones lineales continuas a trozos,
sobre el intervalo [0, 1].
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Definición del problema
Aproximación de Galerkin
Aproximación de Galerkin
Introduciendo wh (x, t) =
Pm
i=1
zi (t)ϕi (x) y f (x, t) =
(∂t wh , vh ) + a(wh , vh )
Pm
i=1
bi (x)ui (t) en
(f, vh ) ∀vh ∈ Sh .
=
obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
m
X
j=1
(ϕi , ϕj )
m
X
dzj
+
a(ϕi , ϕj ) zj
dt
=
j=1
m
X
(bi , ϕj ) ui ,
i = 1, ..., m;
(33)
j=1
donde las incógnitas son los zj (t). Los valores iniciales para zj (0) son determinados observando la siguiente relación
m
X
zj (0)ϕi
=
0
zh
.
j=1
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Definición del problema
Aproximación de Galerkin
Aproximación de Galerkin
Y definimos las matrices M, A y B respectivamente como
L
»Z
M
=
–m
ϕi ϕj dx
0
»Z
A
=
L
−
0
»Z
B
L
,
i,j=1
–m
0
L
− κ
0
i,j=1
–m
–m
ϕ0i ϕj dx
y
i,j=1
.
bi (x)ϕj dx
=
»Z
ϕ0i ϕ0j dx
i,j=1
En el contexto de este trabajo consideramos que para cada “ i ” la función bi (x) es constante
en cada intervalo, es decir, constante por partes.
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Definición del problema
Aproximación de Galerkin
Aproximación de Galerkin
Denotando el vector de incógnitas por z = (z1 , . . . , zm )T , y re-escribiendo
m
X
j=1
(ϕi , ϕj )
m
X
dzj
+
a(ϕi , ϕj ) zj
dt
j=1
=
m
X
(bi , ϕj ) ui ,
i = 1, ..., m;
j=1
en forma matricial, obtenemos:

M ż(t)
z (0)
=
=
Az(t) + Bu(t),
z0 ,
(34)
donde las matrices M, A y B ∈ Rm×m .
A seguir realizamos una discretización temporal del sistema matricial (34).
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Definición del problema
Discretización
Discretización
Para resolver numéricamente la ecuación

M ż(t) =
z (0) =
Az(t) + Bu(t),
z0 ,
discretizamos la variable temporal dividiendo el intervalo [0, T ] como:
0 = t0 < t1 < · · · < tn = T , con nodos equidistantes tr = rτ y con paso
del tiempo τ = T /n. Usando ur para denotar u(tr ), obtenemos la discretización de Euler
explı́cito-Galerkin
M
z r+1 − z r
τ
=
Az r + Bur .
La condición de estabilidad para este método se establece en el siguiente Lema [Tho97].
Lema 1
Sean las matrices A y M simétricas definidas positivas. Sean λj los autovalores generalizados
de la matriz A con respecto a M . Entonces el esquema de Euler explı́cito-Galerkin es estable
si:
τ ≤ mı́n{c1 /, c2 h2 /}.
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Definición del problema
Discretización
Estabilización usando Lyapunov
La representación matricial para el diseño de control teniendo en cuenta la ecuación
M ż(t) = Az(t) + Bu(t) es:
z r+1
z (0)
=
=
E z r + D ur
z0 ,
(35)
donde E = 1 + τ M −1 A y D = τ M −1 B.
Para encontrar el controlador ur en la ecuación (35), definimos una función candidata a función
de Lyapunov V dada por:
V (z r ) = hz r , z r i.
La variación de la función de Lyapunov V (z r ) denotado por ∆V (z r ) esta dada por:
∆V (z r ) = −(z r Q z r + ur R ur ),
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Definición del problema
Estabilización usando Lyapunov
Estabilización usando Lyapunov
Siguiendo un procedimiento análogo al Teorema 3, la ley de control para el sistema
z r+1 = E z r + D ur esta dada por:
ur = −[( D T P D + R)−1 D T P E ] z r ,
(36)
donde la matriz F := ( D T P D + R)−1 D T P E, y la matriz P satisface la ecuación de
Riccati dada por:
P = E T P E − E T P D(D T P D + R)−1 D T P E + Q.
Usando la ley de control (36), tenemos la forma estabilizada de la ecuación
z r+1 = E z r + D ur :

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z r+1
z (0)
FaCEN - UNA
=
=
(E − DF ) z r ,
z0 .
Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov
(37)
35/49
Resultados
1
Motivación
2
Objetivo
3
Introducción
4
Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
5
Definición del problema
6
Resultados
7
Conclusión
8
Referencias Bibliográficas
Gustavo A. González Armoa
FaCEN - UNA
Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov
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Resultados
Estabilización de la ecuación de calor para τ = h
Estabilización para τ = h y κ = 0 (Difusión Pura)
En la Tabla 1, se presenta el funcionamiento del controlador para q, r y dados y h = 1/2i
tamaño de la malla. Note que con el uso del controlador la condición de estabilidad sobre τ es
relajada considerablemente.
h = 1/2i
q = 10, r = 10−3 y = 10−1
τ = h2 /12
τ =h
τ =h
no controlado
ρ(E)
no controlado
ρ(E)
controlado
ρ(E − DF )
i=3
0.8939
8.584
0.8940
i=4
0.9717
18.6570
0.9406
i=5
0.9928
38.1240
0.9694
i=6
0.9982
76.6614
0.9846
Tabla: 1 Método no controlado y controlado
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FaCEN - UNA
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Resultados
Estabilización de la ecuación de calor para τ = h
Estabilización para τ = h y κ = 0 (Difusión Pura)
En las Figuras 2 observamos el resultado obtenido para la ecuación (1) utilizando = 10−1 ,
τ = h2 /12 (para el no controlado, Figura 2 izquierda) y τ = h (para el controlado, Figura 2
derecha), con h = 1/16
Tamaño de la malla 16×16
−1
τ =0.0625 y ε=10
Tamaño de la malla 307×307
−1
τ =0.0032552 y epsilon=10
2
w(x,t)
w(x,t)
2
1.5
1
1.5
1
0.5
0.5
0
1
0
1
1
1
t
0.8
0.5
0.6
0.4
0
0.2
0
x
t
0.8
0.5
0.6
0.4
0
0.2
0
x
Figura: 2 Método de Euler explı́cito-Galerkin.
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Resultados
Estabilización de la ecuación de convección difusión para τ = h
Estabilización de la ecuación de convección difusión para τ = h y κ = 1
Presentamos los resultados para la ecuación de convección difusión unidimensional:
∂t w(x, t) + 1 · ∂x w(x, t)
=
∂xx w(x, t) + f (x, t),
(38)
Realizamos, el experimento numérico considerando el caso en el cual el coeficiente de difusión
es = 10−1 y = 10−3 . Consideramos además como parámetros de estabilidad τ = h
y τ = h2 /12, donde h es el tamaño de la malla, definido por h = 1/2i y la dimensión
espacial n = 1/h ver Tabla 2 y 3.
Comparando las Tablas 2 y 3 vemos que el método de Euler explı́cito-Galerkin controlado con
τ = h es estable. No obstante, el método Euler explı́cito-Galerkin no controlado con parámetro
de estabilidad τ = h2 /12 es inestable.
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Resultados
h = 1/2i
Estabilización de la ecuación de convección difusión para τ = h
q = 10, r = 10−3 y = 10−1
τ = h2 /12
τ =h
τ =h
no controlado
ρ(E)
no controlado
ρ(E)
controlado
ρ(E − DF )
i=3
0.8627
8.2821
0.6298
i=4
0.9637
18.5025
0.7919
i=5
0.9908
38.0461
0.8923
0.9977
76.6224
0.9457
i=6
Tabla: 2 Método controlado y no controlado
h = 1/2i
q = 1, r = 10−4 y = 10−3
τ =
h2 /12
τ =h
τ =h
no controlado
ρ(E)
no controlado
ρ(E)
controlado
ρ(E − DF )
i=3
16.2766
1.5626
0.9999
i=4
8.7923
1.6881
0.9989
i=5
4.4817
1.7210
0.9935
i=6
2.2517
1.7293
0,9816
Tabla: 3 Método no controlado y controlado
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Resultados
Estabilización de la ecuación de convección difusión para τ = h
Resultados para la ecuación de convección difusión
En las Figuras 3, se muestran el resultado para el método de Euler explı́cito-Galerkin no controlado (izquierdo) y controlado (derecho) = 10−1 , en ambos casos el método es estable,
teniendo en cuenta los datos de la Tabla 2.
Tmaño de la matriz 32×32
−1
τ = 0.03125 y ε = 10
2
w(x,t)
1.5
1
0.5
0
1
1
t
0.8
0.5
0.6
0.4
0
x
0.2
0
Figura: 3 No controlado (izq.) y controlado (der.).
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Resultados
Estabilización de la ecuación de convección difusión para τ = h
Resultados
A partir de los resultados podemos inferir que el método de Euler explı́cito-Galerkin controlado
es estable cuando el parámetro de estabilidad τ = h.
En todo este trabajo hemos considerado los valores de q y r parámetros de la función de
Lyapunov, tal que q r.
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Conclusión
1
Motivación
2
Objetivo
3
Introducción
4
Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
5
Definición del problema
6
Resultados
7
Conclusión
8
Referencias Bibliográficas
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Conclusión
Conclusión
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Conclusión
Conclusión
En esta tesis investigamos la aplicación de estabilización usando la teorı́a de funciones de
Lyapunov para el método de Euler explı́cito-Galerkin definida para el problema de control
de la ecuación de convección difusión. Y concluimos lo siguiente:
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Conclusión
Conclusión
En esta tesis investigamos la aplicación de estabilización usando la teorı́a de funciones de
Lyapunov para el método de Euler explı́cito-Galerkin definida para el problema de control
de la ecuación de convección difusión. Y concluimos lo siguiente:
El uso de funciones de Lyapunov permite estabilizar el método de Euler explı́citoGalerkin tanto para el problema de difusión pura como para el problema de convección
difusión.
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Conclusión
Conclusión
En esta tesis investigamos la aplicación de estabilización usando la teorı́a de funciones de
Lyapunov para el método de Euler explı́cito-Galerkin definida para el problema de control
de la ecuación de convección difusión. Y concluimos lo siguiente:
El uso de funciones de Lyapunov permite estabilizar el método de Euler explı́citoGalerkin tanto para el problema de difusión pura como para el problema de convección
difusión.
Por último, experimentos numéricos para más dimensiones espaciales que las consideradas en este trabajo están en fase de implementación, ası́ como un análisis del método
propuesto.
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Referencias Bibliográficas
1
Motivación
2
Objetivo
3
Introducción
4
Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos
5
Definición del problema
6
Resultados
7
Conclusión
8
Referencias Bibliográficas
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Referencias Bibliográficas
Bibliografı́a
[BGS04] P. Bochev, M. Gunzburguer and J. Shadid.“Stability of the SUPG finite element
method for transient advection-diffusion problems”, Computer methods in applied mechanics and engineering, 193:2301-2323, 2004.
[BK06] A. Bhaya and E. Kaszkurewicz. Control perspectives on numerical algorithms
and matrix problems. SIAM: advances in design and control, Philadelphia, 2006.
[BL08] J. Baumeister and A. Leitão. Introdução à Teoria de Controle e Programação
Dinânica, Projeto Euclides, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 2008.
[Che05] Z. Chen Finite element methods and their aplications. Scientific computation.
Springer, Berlin, 2005.
[FHM06] L. Franca, G. Hauke and A. Masud. “Revisiting stabilized finite element methods for the advective diffusive equation”, Computer methods in applied mechnics and
engineering, 195:1560-1572, 2006.
[GQ95] Z. Gajić and M. T. J. Qureshi. Lyapunov matrix equation in system stability and
control, In: Mathematics in Science and Engineering, Vol: 195. Academic Pres, Inc. San
Diego, 1995.
Gustavo A. González Armoa
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Referencias Bibliográficas
Bibliografı́a
[KK04] B. King. and D. Krueger. “The 1-D Convection Diffusion Equation: Galerkin
Least Squares Approximation and Feedback Control”, 43rd IEEE Conference on Decision and Control. Decemder, 2004.
[Kru04] D. Krueger “Stabilizad finite element methods for feedback control of convectiondiffusion equations”, doctor in philosophy in mathemathics Thesis, Blacksburgo Virginia.
July, 2004.
[NT94] P. Neittaanmäki and D. Tiba. Optimal control of nonlinear parabolic systems: Theory, algorithms and applications. In: Series of monographs and textbooks in pure and applied mathematics. Marcel Dekker, Inc., New York, USA, 1994.
[Oga97] K. Ogata. “Modern Control Engineering”, third edition, Prentice Hall, New Jersey, 1997.
[Str81] V. Strejc. State space theory of discrete linear control. John Wiley & Sons, New
York, 1981.
[Tho97] V. Thomée. Galerkin finite element methods for parabolic problems. In: Springer
Series in Computatinal Mathematics. Springer, Berlin, 1997.
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AGRADECIMIENTOS
Gustavo A. González Armoa
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MUCHAS
GRACIAS.....
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