Obtención de estados comprimidos mediante transformaciones

INVESTIGACIÓN
REVISTA MEXICANA DE FíSICA 41 (5) 411-420
OCfUBRE 2001
Obtención de estados comprimidos mediante transformaciones canónicas en el
espacio fase cuántico'
A. Zúñiga-Segundo
Departamento de Ffsica, Escuela Superior de Física)' Maremáricas, Instituto Politécnico Nacional
Edificio 9, U/lidad Profesio/lal Adolfo López Maleas, 07738 México, D.F., Mexico
Recibido el 30 de abril de 200 1; aceptado el 22 de junio de 200 1
En este trabajo presentamos estados comprimidos con parámetros de compresión reales y complejos, obtenidos directamente en la represen.
tación de estado coherente del oscilador armónico en el espacio fa~c cuántico. Por medio de una transformada de Fourier recu~ramos los
estados en la representación de coordenadas y los comparamos con aquellos obtenidos por Olro método. Además describimos numéricamente
sus evoluciones temporales en el espacio fase cuántico y calculamos las varianzas de
Q y P.
Descriptores: Espacio fase cuántico; estados comprimidos
In this work wc introduce squcczcd states with real nnd complex squcczing paramctcrs dircctly obtained in the cohcrcnt-state representation of
the harmonic oscillator in quantum phasc space. By mcans of the Pouricr transform, wc rCl'ovcr lhe usual coordinate states and compare these
~talcs wilh ¡hose obtained by anothcr mclhod in the coordinate rcprcscntation. In addition wc also describe numerically its time cvolulion in
quantum phasc space and the variances Q and P.
Kt'ywords: Quantum phasc spacc; squcczcd states
PAes: 03.65.-w; 42.50.Dv
1. Introducción
El concepto de espacio fase cuántico y de sus funciones de
cuasi probabilidad asociadas, han demostrado ser extremuda.
mente útiles e interesantes para muchas aplicaciones fundamentales de la mecánica cuántica. La más anrigua y famosa
dislribución de cuasiprobabilidades 1" función de Wigner [1].
En óptica cuántica, la tOIllografía de estados cuánticos, utilizada para la medición de estados cuánticos de la luz (2], ha
tenido grandes éxitos experimentales en la reconstrucción de
la función de \Vigner de algunos sistcmas cuánticos (3]. Las
nccesidades anteriores incrementaron el interés de emplear
más allá de su desarrollo la función de Wigner y los métodos
del espacio fase [,1].
A pesar de estos logros, hay una desventaja conocida en
el método de la función de Wigner, que continúa sirviendo
como un problema desafiante desde el punto de vista metodológico y teórico. La desventaja está en la dificultad de resolver problemas realistas directamente en términos de la función de Wigner, debido a la complejidad de la correspondiente ecuación de evolución temporal. Además, al interpretar
físicamente la distribución de \Vigner, ésta puede ser negativa [1,5], por lo tanto, no puede representar estrictamente a
una densidad de probabilidad en el espacio fase.
Otra distribución en el espacio fase, que siempre es positiva por definición, es la función de Husimi (6]. Se ha encontrado que ésta función es equivalente a una función de \Vigner
que ha sido "suavizada" por una gaussiana. Sin embargo, al
insistir en tener una función de probabilidad que sea positiva
en el espacio fase, esta distribución ya no satisface las propiedades de tipo clásico que tiene la función de \Vigner [7].
Hace algunos años se propuso una ecuación de evolución,
del tipo de Schrodinger, para funciones de onda en el espacio
fase, con esto surgió la posibilidad de analizar la dinámica
de los sistemas cuánticos completamente en el espacio fase
en la misma forma que se hace en el espacio de coordenadas [8, DJ. Esta represenlación coincide con la totalidad de
las representaciones de estado coherente para el grupo de
Heisenberg-Weyl [lO]. De ahí el nombre de representación
de estado coherente (REC). En esta representación se han encontrado las soluciones analíticas para los siguientes potenciales: de partícula libre, el lineal, el oscilador ann6nico y
el péndulo [11, 12). Además se tiene la posibilidad de hacerlo numéricamenle [9], aun para sistemas caóticos [13].
Estas funciones cumplen con la relación de incertidumbre y
se aproximan a las densidades clásicas en el límite apropiado [8-12, 14]. En el caso del oscilador armónico eSlas funciones se encontraron dependientes de un parámetro Q, que permite oblener densidades estacionarias clásicas (12]. Las curvas de nivel en el espacio fase, correspondientes a la densidad
o módulo al cuadrado del estado base, pueden ser círculos
(cuando" = O) o elipses (cuando" # O).
Los estados coherentes y comprimidos constituyen la estructura del marco teórico de la óptica moderna, sus densidades corresponden a círculos y elipses en el espacio fase, respectivamente [15,16]. Los estados comprimidos fueron propuestos teóricamente en 1970 por Stoler [17]. aunque fueron mencionados en 1953, en el trabajo de K. Husimi [18]. Los estados comprimidos se han calculado en la representación de Wigner, por medio de transformaciones canónicas aplicadas a la densidad de Wigner del estado base
del oscilador armónico [15, lU]. Estos eslados dependen de
un parámetro que puede ser complejo. Hasta donde conocemos no es posible calcular directamente la función de Wigner
para el parámetro complejo, se hace a través de una transformación canónica aplicada al estado comprimido de Wigner
con parámetro real [15, 16J.
412
OBTENCiÓN
DE ESTADOS COMPRIMIDOS
MEDIANTE TRANSFORMACIONES
El estado base del oscilador armónico se utiliza como eslado coherente. entonces. en la REC. ¿por qué tenemos estados coherentes representados por elipses. cuando" '" O?
¿cúal es la relación entre el parámetro de compresión de los
estados comprimidos y Q f:. O? Estas preguntas, motivan a
encontrar estados comprimidos directamente en la REC del
oscilador arménico, ya que permitirá hacer análisis cuantitativos. En este trabajo introducimos estados comprimidos en
la REC, con parámetros de compresión reales y complejos.
además de encontrar su relación con Q.
En la Seco 2, exponemos brevemente la descripción de
la REC que utilizaremos. En esta representación se introduce la función de onda que dependen simultáneamente de la
coordenada fJ y del momento ]J cuya dinámica está descrita
por una ecuación de evolución con la misma estructura de la
ecuación de Schrodinger en el espacio de coordenadas, con
expresiones para los operadores de coordenada y momento
apropiadas para el espacio fase. Como la estructura de esta
ecuación es la misma que la usual en el espacio de coordenadas, el análisis de la dinámica en el espacio fase se hace de la
misma forma que en el espacio de coordenadas, sin la necesidad de introducir cantidades ni complicaciones adicionales.
En la Seco 3 escribimos las transformaciones canónicas lineales clásicas y cuánticas en el espacio fase. Encontramos que
en la REC, formamos el grupo de Heisenberg de la misma
manera que en el espacio de coordenadas [15, 16]. Conjeturamos también la existencia de un isomorfismo entre ciertos
invariantes con los generadores del álgebra simpléctica, como lo hacen los polinomios cuadráticos homogéneos en dos
variables [19). La Seco 4. está dedicada a calcular el estado comprimido en la REC con parámetro de compresión real
y desplazamiento distinto de cero, además, mostramos que
al proyectarlo al espacio de coordenadas resulta ser consistente con los estados previamente calculados con el método
usado en la Ref. 20. Haciendo uso de algunos resultados de
la Seco 3, calculamos el estado comprimido con parámetro
complejo. Obtenemos también. que la forma funcional de
nuestro estado comprimido, será valida cuando el parámetro
de compresión sea real o complejo. Nuestros experimentos
numéricos, permiten visualizar de manera independiente a
nuestros cálculos, el comportamiento temporal de la forma
funcional para el estado comprimido, comprobando que evolucionan similarmente a los calculados por el método de Wigner [21].
CANÓNICAS
= ,p. (r),p(r).
(donde
se considera una densidad de
probabilidad. Esta definición asegura que la densidad cuántica 1,p(fW sea una cantidad no negativa en el espacio fase
que satisface los requerimientos para una densidad de probabilidad. Las acciones de los operadores P y Q sobre un ket
arbilrario l,p) se definen como
,p.(f)
= (,plr) = (r¡,p).).
.
(r¡PI,p)
= (1'-2 - i"uqu ) ,p(f) .
(fIQI'¡')
=
donde V(q/2+irú] /up) indica que la función potencial V(x)
se evalúa en el operador '1/2 + ihu/up. El efeCIO que los
operadores exl'(iryQ / ") y exp(irlP / h) tienen sobre el veclor
base Ir) es
IQ
(irh)
irIP)
exp ( h
exp
11','1) = exl'
(irl'l)
2h
11'- 'l. '1).
= exl'
(iryp)
2h
11'.'1 + ry).
11','1)
(3)
Podemos encontrar la función de onda en la representación
de coordenadas (ql,p). a partir de la función de onda (r¡,p).
mediante la proyección
oo
=
(ql,p)
eipq/2h
f
-00
dI'
...14""
(fl,p),
(4)
sin embargo. este proceso no es reversible. Una proyección
similar se puede realizar para recobrar la función de onda en
el espacio de momentos. La varianw o dispersión de A, la
escribimos como
= (..j2)
((~A)2)
donde
J
=J
(A2) =
_
(A)2.
(5)
df,p. (f)A2,p(f),
df ,p.(f)A,p(f).
Las integrales son evaluadas en todo el espacio fase. Un método numérico que permite propagar funciones de onda en el
espacio fase [9, 131, utiliza la aproximación
=
eA+B
I
[1
(1)
Estos operadores son hermÍticos y no conmutan entre sí,
(A)
- -:-.6.t h
2m
(~+i":p),p(r).
de hecho [Q,?] = ud. Con esto, la ecuación de Schrodinger en el espacio fase es
En este trabajo haremos uso de la REC de la mecanlca
cuántica [8-12]. en la cual se define la proyección
(fl,p) = ,p(f). del ket abstracto l,p) sobre el kel base
Ir) 11'. '1). como la función de onda en el espacio faso. es
decir, una función de onda con variables independientes p
{i
1,p(fW
y q. y la cantidad
2, Representación de estado coherente
e- ;/;.,il/h ---+ exp
EN EL ESPACIO ...
:::::::
eA/2eBeA/2,
para calcular el efecto de aplicar el propagador
(1'-2 - lh. uqU)2
U)]}
+ \' ('1- + ih-
ReI'. Mex. Fís. 47 (5) (2001) 41 t-420
2
81'
,
413
A. ZÚÑIGA-SEGUNDO
0(t3), así que, para un At pequeño,
a alguna función de onda. El error que se obtiene al hacer esta aproximación es de orden
podemos utilizar el propagador aproximado
exp [-
~~~ (~ -
in :,}
r] ~>(~ ~»)]
+ ih
exp [ - i
~~~ (~ - ih
exp [-
:S] .
Aunque parece difícil de hacer, ésta es una expresión muy convenient~ ya que se pue d e utITIzar e 1 me't o d o d e la transformada
rápida de Fourier para evaluar la acción de este operador sobre una función de p y q. Tenemos que
F [e-(Ü"/4"")(P/2-"818q)'
¡jJ(p, q)]
= e-("'''/4'''')[(p+p'1/2]'
q)]
= e-(Ü"lh)V[(q+q')/2¡'
F-1 [ -('u'I')V(ql2+ih818p)¡jJ(p
e
,
donde :F indica la transformada de Fourier y q/ Y ]1' son
las variables recíprocas a IJ y q. respectivamente. Entonces, a grandes rasgos. el método numérico consiste en calcular la transformada de Fourier de la función, multiplicar
por alguno de los factores exl' {-(iAt/4mh)[(p
+ p')/2]2)
J
J
J4"h
J~"h
_1_
dq e-'P' q12' ¡jJ(p, q),
dI' e,pq' 12h ¡jJ(p, q),
I
los cuales satisfacen las siguientes relaciones de conmutación [15, 16]:
[NI,N2]
exl' {- (iLl>t/ h)V[(q + q')/2J2) Ycalcular la transformada
inversa del resultado. Repitiendo este proceso podemos propagar una función de onda inicial hasta algún tiempo dado en
incrementos de .ó.t.
= O,
[NI'
1
L]
=
2N2'
K2]
=
-iL,
Ó
[N2,L] = -~N"
[K"
[K" L] = -iK2,
[K2,L] = iK"
3, Transformaciones canónicas en el espacio
fase clásico y cuántico
= exl'
R(O) = exl'
5(0, '1) = exl'
S(%,TI)
COSh ~
2
(-iOL),
(- ir¡K¡),
(6)
para la translación, la rotación y la compresión a lo largo de la
coordenada q, y a lo largo de una dirección que hace 45° con
el eje q, respectivamente, aquí qo' Po, B Y 1] son parámetros
reales. Los generadores infinitesimales son
.8
N 2 = lap'
1,
i
',= 2
(u
= 2N,.
(8)
mo
5(0 TI) =
,
(
= exp(-ir¡K2),
[K2,N2]
~N2'
Como hemos mencionado, los estados coherentes y comprimidos se representan por círculos y elipses en el espacio
fase [15, 16], Y como un círculo puede ser deformado a una
elipse, este hecho sugiere un método para hallar estados comprimidos. La forma explícita de la deformación se escribe co-
+ ipoN2),
(- iqoN,
=
1
La mecánica clásica puede ser formulada en el espacio fase
clásico, es decir, en términos de las coordenadas de posición
y momento ((J, p). El grupo de transformaciones lineales que
preservan el elemento de área en el espacio fase son: las traslaciones, las rotaciones y las compresiones. Sus respectivos
operadores unitarios son [15, 16]
T(qo,Po)
[K" N2]
+ senh
TI
senh
2
~ cos O
2
sen O
senh ~2 senO
TI
cosh
2-
)
'1
senh
La matriz anterior es simétrica, su determinante es la unidad y satisface la condición simpléctica [15, 16J. Podemos
dar una interpretación geométrica a esta matriz. Si B
O, la
matriz anterior se convierte en
=
5(0, TI)
l'G)
(O_TI)]'
= [eX
O
(9)
eXP
2
cuyo efecto es elongar(contraer) el eje q(p), si '1 es positiva (transformación de escala). Cuando O
,,/2,5(0, '1) se
escribe como
=
8)
quq -PUl'
,
(7)
.
2 cos O
5(::'2,1 T)
Rev. Mex. Fis. 47 (5) (2001) 411-420
=
TIcosh 2"
( senh
senh
TI
2"
'1)
2"
TI
cosh
2"
1
(JO)
414
OBTENCiÓN
DE ESTADOS COMPRIMIDOS
MEDIANTE TRANSFORMACIONES
que es la matriz de transformación de escala a lo largo de un
eje rotado un ángulo de 45° con respecto al eje q. conocida
generalmente con el nombre de "Boost de Lorentz", Por último, para realizar una rotación de un ángulo 8 alrededor de
un eje perpendicular al origen utilizamos la matriz
=
R(O)
(COSO
sen O
-sen
cosO
8).
(1 1)
La versión de los operadores de creación y de aniquilación en
la REC es
1
-
-)
1
'
,
á=j2(Q+iP,
(¡I = j2(Q - iP),
( 12)
donde los operadores Q y P eslan definidos en la Ec. (J),
(escribiremos por simplicidad en todos los cálculos posteriores h
m
w
1). En términos de los operadores de
la Ec. (12), las formas cuadráticas cuánticas definidas en la
Ref. 15, lendrán la forma
=
=
= -- 1(""t
aa + a-t')a
2
en el espacio de 1" fase, es decir, Ñ¡ y Ñ2 no forman un ál.
gebra de Lie cerrada, ya que ella debe ser complementada
por un operador idenlidad para formar el grupo [16]. Pode,
mos escribir los generadores [Ec. (13)] como
= JV1
k¡
=K¡-A,
de tal manera que la versión en la REC de los generadores
[Ec. (7)], se escriben como:
N¡=2-la
'
I'l2 = Nz
k, =
'1
+ 2'
(13)
y satisfacen las siguientes relaciones de conmutación:
[Ñ¡, k,] = -i,
[Ñ" L} = -iÑ¡,
=
-2ik"
L
=L-
B,
e,
K, -
a'
1
A
=
B
1
= SI'
~I'q
2
+ aP{)'1'
1,
+ S'l
_
~a'a'l'_
~a'al",
2
2
1,
1,
e = sI'
- S'l
- 21a'a''1
a
[k"L]
2
donde
k, = ~(áá+¡,t{¡t),
.
'l'
+ l'
-,
Ñ¡
,
k¡ = ~({¡{¡- (¡t{¡t),
l'
EN EL ESPACIO.
Estos generadores satisfacen las relaciones de conmutación definidas en la Ec. (8), a excepción de la primera (y para
el resto un cambio por un factor de 2). Todos los generadores son herrníticos como en la representación de Schrodinger [lfiJ. Por consiguiente, las transformaciones canónicas lineales en el espacio fase con los generadores [Ec. (13)J, ca,
rresponden a las transformaciones unitarias en la REC. Tenemos la misma situación que en la representación de Schrodinger; los operadores Ñ1 y JÍ./2 no conmutan entre sí, esto causa
un factor de módulo uno cuando una traslación a lo largo de
la dirección de q es conmutada con otra traslación a lo largo
de la dirección de p. Por consiguiente, el grupo de transformaciones canónicas lineales en la REC no es igual al de la
mecánica clásica. f..r¡ y ]\/2 forman el grupo de Heisenberg
=
L,
,
CANÓNICAS
[Ñ¡, L]
[k¡,k,J
=
[k" L) = 2ik"
lE N]
2'
= iÑ"
[k¡,Ñ,]
[k" ÑI] = ik"
[k" Ñ,] = iÑ,.
k2
se forma con la compresión clásica a lo largo de
e
la dirección que hace 450 con el eje q, 1(2 Y su invariante
bajo la transformación (10). Los opera~ores invariantes A: [J,
C. p y q, satisfacen las siguientes relaCIOnes de conmutación:
-2iL,
[k"IV,] = -iѡ,
Comparando los generadores anteriores con la Ec. (7),
concluimos que los generadores [Ec. (13)] se forman con los
generadores clásicos [Ec. (7)] Y sus invariantes respectivos,
es decir, Ñ1 se forma con el generador de traslación clásico
a lo largo de la coordenada 1], NI Y su invariante l' ó 1'(2.
Análogamente N2, puede escribirse con el generador de traslación clásico a lo largo de la coordenadap, N2 y su invariante '1(2. El operador de rotación L se fOnTIacO,nel L clásico y
su invariante [J, bajo la transformación (11). J< ¡ se constituye
con la compresión clásica a lo largo del eje de la coordenada '1, K" Yde su invariante A bajo la Iransformación (9). Por
último,
= iÑ"
+ 21a'ap.'
¡
=
O,
(14)
Rev. Mex. Fis. 47 (5) (2ool) 41 1-420
. N]2
['!2'
=O
[K" e] =
1
O,
(L,B]
=
O,
(15)
415
A. ZÚÑIGA.SEGUNDO
siguiendo la secuencia
S(OD(I3) [201, es decir,
y
[~,~] =0,
BI =
-iK2,
[ -A'2 1'] =-2N¡,i
[-C~]
=
'2
~N2
2
[A,C]
= -iL,
IC, Bl
=
[-A,~] = ~N2'
[- C,~] = ~N¡
1
5(0 es el operador general de compresión y
D(I3) = exp(l3at ~ l3'a) es el operador de desplazamiento
de Glauber [22]; ~ Y13son parámetros complejos.
La forma funcional estado base del oscilador armónico en
la REC [12], depende del parámetro o, es decir,
( 16)
S(i,TI)
= exp(iOB) exp( -iOL),
= exp( -ú1k2)
Las relaciones
de conmutación
2+0
q2 -2
1(1 )
2-0
.
p2 -wpq
]
, (19)
-132Q)]
D({3) = exp[ -J2i(I3/'
= exp(iTIA) exp( -ÚIK¡),
= exp(iTIC) exp( -ú/K2).
-2
donde -1/2 < o < 1/2 Y N es una const¡¡nte de normalización. Con ayuda de la Ec. (12), la versión "estado caherente"
del operador de desplazamiento D(I3), tendrá la forma
invariantes, es decir,
S(O,ry)= exp( -ú1k¡)
[ 1(1 )
(r1,p)=Nexp
les. La primera con la forma clásica [Ec. (6)] y la segunda
-iOL)
(18)
donde
iK¡,
res unitarios en el espacio fase cuántico que corresponden a
las rotaciones y compresiones
pueden escribirse en dos par-
ñ(o)= exp(
operadores unitarios
5(0 = exp(~at2 - c,?),
Con la ayuda de la Ec. (15) mostramos que los operado-
con sus respectivos
los
I~,
13) = S(OD(I3)[O),
[~,-B] = -~N¡,
[A,
de
= exp(il3¡131) exp( - J2il3¡
(17)
P) exp( J2il3,Q),
donde el parámetro 13es el número complejo 13= {3¡ + il3,.
Además hemos utilizado la identidad de Baker-Campbell-
(16) son idénticamente
H¡¡usdorff" (ver, por ejemplo l¡¡ Ref. 15). Al utilizar las relaciones (3), el operador de desplazamiento aplicado sobre el
ket 11',q), resulta
iguales a las clásicas [Ec. (8)], y esto explica el factor 2 en las
relaciones de la Ec. (14). Conjeturamos que los invariantes
tienen un isomorfísmo con el álgebra simpléctica de los generadores clásicos como lo hacen los polinomios cuadráticos
D(I3)lp,q)=exp
homogéneos (en dos variables) [l9J.
qOPO
-2(i -2- ) exp (iPOq)
4. Eslados comprimidos en la representación de
estado coherente
Normalmente
los estados
comprimidos
I€,/J),
se obtienen
por la compresión del estado base del oscilador armónico 10),
1
donde (!Jo = J213¡, Po = J2132) es un punto en el espacio
fase. Al aplicar lo anterior al estado base del oscilador armónico [Ec. (19»), tendremos el estado coherente desplazado
(20)
donde = 1/2 + o. </J = 1/2 - o; relación obtenida de otra
manera en la Ref. 12. Para el mismo D: el módulo al cuadrado
de las Ecs. (20) y (19) tendrán la misma forma y orientación
"1
en el espacio
fase cuántico,
excepto
Al proyec-
tar al espacio de coordenadas la función (20), utilizando (4),
cuando a = O,obtenemos la conocida función de onda gausy momento Po-
la cual al ser comparad¡¡ con la Ec. (5) de la Ref. 20,
que sus centros estarán
en el punto (lJOI]JO) y el origen. respectivamente.
siana en la representación
I
de coordenadas,
con centro en
(jo
(xll3) =
(1)
¡('
-;
(x 2
2
exp
-
1
2
1 2)
+ J2l3x - 21131 - 2{3
,
nos lleva a escribir J213¡ = qo Y ,,/2131 = Po' como se había
considerado
anteriormente.
La versión "estado coherente"
del operador de compre-
sión (18), para el parámetro complejo, (= '/ exp (i0), es
5(0
=
exp((rit'
-
Ca2)
= exp(2i7lcosok¡
ReI'. Mex. Pis. 47 (5) (2001) 411-420
+ 2i71sen
Ok,),
(21)
416
OBTENCIÓN
DE ESTADOS COMPRIMIDOS
MEDIANTE TRANSFORMACIONES
CANÓNICAS
EN EL ESPACIO ...
que al ser aplicado sobre la Ec. (19), cuando el parámetro ~ = rl es real, nos conduce a
¡
(r1¡Ji) =Nexp
exp(2ir¡k¡)
-12q
2
_
-1'
-exp( -811)
1 ,</J
2
ipq
"1
</J
</J
1 + :yexp(8r/)
1 + :yexp( -8TI)
-
[</J
-exp( -471)
1
_"1
2-
])
_
</J
'
(22)
1 + :yexp( -81])
cuya expresión se reduce a la Ec. (19) cuando 1] = O. Ya que el operador 5(0,1]) contiene una parte clásica [ver Ec. (17)],
consideramos que el estado comprimido con parámetro real, podría obtenerse por medio de una transformación canónica
similar a la Ec. (9), es decir, una transformación que sustituya la coordenada q por qS y el momento p por pI S, donde S
estará relacionada con el parametro de compresión T/, de manera análoga como lo estan en la representación de Wigner (ver
por ejemplo las Refs. 15 y 21).
Con la finalidad de obtener la relación entre S. Cl: Y 1], consideramos que la forma del estado comprimido debe ser
[1 (1 ,)
( r,S 1)¡Ji = N' exp - 2 2 + a
donde
1(1 ,)
q 2S2 - 2
2 - a
p2 - la
.,] 1''1 ,
S2
N' es una constante de normalización. Al comparar las Ecs. (22) y (23) obtenemos
Q'
=
Q
(23)
Y
1
f-.
--Q
S2 = exp (4T/) =
(24)
-+Q
2
Despejando
Q
de (24) oblenemos
Q
1
= -2tanh(271).
(25)
La Ec. (21) de la Ref. 20 es el estado comprimido en la representación de coordenadas
1)1/4
¡Ji,.,(x) =;;:(
1
vT=20
exp
[1(28+1)(
2 28 _ 1
.../2(3Z)2
x - 28 + 1
donde 8 es un número complejo definido por la Ec. (14) de la Ref. 9, 8 =
obtiene el estado comprimido
1)1/4
1
=;;:
vT=20
(
¡Ji,(x)
exp
+
(z2+41012+28.)
2(28 + 1)
W 121W
2
1 2]
(3 - 21(31 ,
tanh (21~1). Cuando (3 es igual a cero, se
2
[1(28+1)]
2 28 _ 1 x
,
que al ser comparado con la proyección al espacio de coordenadas, calculada por (4), de (23)
2 2) ,
1
(r¡I¡Ji) = N exp ( - 2S
r¡
obtenemos
1
2
~:),
(~-Q) = ~G~
ó
Q
= -8.
(26)
-+0
2
En la obtención de la Ec. (22), consideramos que ~ es el número real TI, y con ayuda de la Ec. (14) de la Ref. 20, escribimos
8 =
-Q
1
= - tallh(21]);
2
relación idéntica a (25).
.
.
Para obtener el estado comprimido desplazado en la REC (r, S, 'lo, Pol¡Ji), aplicaremos a (20.), la transformaCIón ~an61l1ca
similar a (9), que reemplaza la coordenada q por '1S Y el momento P por pI S, donde S estará defilllda como en (24) Y aSI obtener
(r, S, 'lo, 1'011/»= N exp [ -
~"I
('1S - 'lo) 2 - ~</J(~
- po) 2 + i ( "IPoqS - </J~qO - apq + </JPOqo)] .
Al proyectar (27) al espacio de coordenadas, por medio de (4), obtenemos el estado comprimido
('1, S, 'lo, 1'011/»= N exp{ - ~q' S2 + qS( 'lo + ipo) - ~"Iq5 -
Re". Mex. Fís. 47 (5) (2001) 411-420.
~</J[p~ +
('lo + ipo)'J}.
(27)
417
A. ZÚNIGA.SEGUNDO
.Y
1'11
.,
.
•
•
.3
q"
.,
.,
O
po
'"
.3
.'/
q"
po
.3
.3
q"
.3
3
.3
.3
3
q"
3
po
.3
.3
3
"
q
FIGURA l. Gráfica de curvas de nivel. que muestran la evolución
temporal de la densidad de probabilidad o módulo al cuadrado del
estado base del oscilador armónico (Ec. (19)], con 0= -0.3, para
los tiempos: a) t; O. b) t
rr/4, e) t; rr/2 y d) t
3rr/4. Los
contornos hacia el centro son de mayor densidad.
=
=
Que al compararlo con la Ec. (21) de la Ref. 20, encontramos
que o = -0 [como en la Ec. (26)] Y z = -5(20 - 1). Con
ayuda de la Ec. (25) podemos escribir
tanh '/ = - ~ (~ - )14 -
(f1,p)
02),
= N exp [ -
~ (~
al reemplazar o por -o en (19), observamos que (23) resulta ser igual a (19), a excepción de un cambio de fasc.
Este cambio de fase determina totalmente la diferencia del
comportamiento temporal de ambas funciones, ya que mico.
tras (19) es una función propia del hamiltoniano 1-l con un
potencial Q2/2, [ver Ec. (2)], (23) no lo será.
Con el objeto de visualizar lo anterionnente dicho, utili.
zaremos el propagador exp( -i1-lt) para obtener la evolución
temporal de la densidad de probabilidad inducida por (19), a
tiempos diferentes. En la Fig. 1, mostramos en una gráfica de
curvas de nivel, la evolución temporal del módulo al cuadrado del estado base [Ec. (19)] eon Q
-0.3, para los tiempos t
O, t
rr/4, t
rr/2 y t
3rr/4; los contornos hacia el centro son de mayor probabilidad. Observamos
que estos contornos son estacionarios, ya que (19) satisface, 1-l(rI,p)
Eo(f1,p), donde Eo
1/2, es la energía del
estado basc. Como consecuencia el módulo al cuadrado de
exp( -i1-lt)(r[,p)
exp( -iEot)(f1,p), no cambiará con el
tiempo.
Al repetir nuestro experimento numérico con el estado
comprimido (23), en la Fig. 2, mostramos nuevamente en una
=
=
=
=
=
=
,
.3
3
"
q
3
(b)
3
po
.3
.3
3
q"
3
(d)
FIGURA 2. Gráfica de curvas de nivel, que muestran la evolución
temporal de la densidad de probabilidad o módulo al cuadrado del
estado comprimido lEc. (23)], con o = 0.3, para los tiempos:
a) t ; O, b) t ; rr/4, e) t
=
rr/2 y d) t ; 3rr/4. Los conlOr.
nos hacia el centro son de mayor densidad.
y de la última relación para z, se puede mostrar que
1 - tanh TJ tanh 27], como se obtuvo en la Ref. 20.
El estado comprimido [Ec. (23)], fue obtenido a partir del
estado base del oscilador armónico [Ec. (19)], por medio de
una transformación canónica similar a la Ec. (9). Sus formas
funcionales son
z
=
")1'2 - i"l'q] ,
+ ,,) '/ - ~ (~ -
(r,SI,p) = N, exp [ - ~ (~ -
=
.3
(e)
(d)
(e)
=
q"
po
(a)
<O
po
o
.3
.Y
(b)
(a)
,
Po
.,
(19)
Q) '/ - ~ (~ + fl) 1'2 - i01"1],
(23)
I
gráfica de curvas de nivel, la evolución temporal del módulo
al cuadrado de (23) con o = 0.3, para los tiempos t = O,
1
rr/4, t
rr/2 y t
3rr /4. Notamos que Q es ahora de
signo contrario a la utilizada en la Fig. 1, por lo tanto al tiempo t
(Fig. 2a). el módulo al cuadrado de (23) será igual
al de (19) (ver Fig. la). Para el tiempo t
rr/-I (ver Fig. 2b)
el módulo al cuadrado de (23) rota sin deformarse. un ángulo
de rr/4 en sentido de las manecillas del reloj. Para los tiempos
posteriores t
rr/2 y t
3rr/4 (Figs. 2c y 2d) las correspondientes densidades de probabilidad rotan sin deformarse,
ángulos de rr/2 y 3rr /4 en sentido de las manecillas del reloj
como lo hacen las densidades comprimidas de Wigner [21].
=
=
=
=
°
=
=
=
Cuando el parámetro de compresión ~ es complejo, hacemos uso de la relación para los operadores
cA
iJe-A
=
A y iJ
[23J
iJ + [A, iJ] + ~[A, [A, iJn
Rel'. Mex. Fís. 47 (5) (2001) 411-420
+ ~[.4, [A, [A, iJ]]] + ...
418
OBTENCiÓN
DE ESTADOS COMPRI~lIDOS
.7
po
.,
MEDIANTE TRANSFORMACIONES
CANÓNICAS
EN EL ESPACIO.
de tal fOfma que el operador de compresión
parámetro complejo ~ = " exp( iO), resulIa
1'/110
'r
'"
, o
5(0 =
exp( -
i~L)
exp(2i1,Í<,)
exp(i~L).
(21), con
(28)
3r
.3
q"
3
.3
(a)
,
q
Notamos que el hamiltoniano del oscilador armónico Ji
3
e~, igual a-L. entonces al aplicar el operador de compreslon (28), al cSlado base del oscilador armónico (19), tene-
(b)
mas que
.,
3
S(o(rlt,!J)
po
po
.3
()
q
:J
"Y
(e)
()
q
Q
ción exp
= O.3exp(irrj2)
e
exp
(wL) k¡ ex!,( - wi) = k¡ cosh 2w + ik2scIlh 2w,
cxp
(wi)k2
wi)
exp( -
=
k2
c05h 2w - iK1senh 2w
y
exp(wL) (cosOÍ<,
+ senOÍ(2)
exp( -
wL) =
cosO(Í<, cosil 2w
(2i1,Í<,) (f1t,!J), es el eSlado comprimido "vacío"
con parámetro Q Ó T' rcal [ver lOe. (25»), como el uJilizado en la Fig. 2, de tal manera que al aplicarle el operador exp (iO'li/2) su módulo al cuadrado debe rolar un ángulo /2 en sentido contrario a las manecillas del reloj, indicando con esto que ha tenido lugar una compresión con
parámetro real T} a lo largo de un eje rotado un ángulo de B/2.
La función de Wigner comprimida tiene este mismo comporlamiento [15, lfiJ.
Lo anterior nos permite obtener un estado comprimido
con par;:Ímctro de compresión complejo~, rotando un ángulo
de O /2, (la milad del argumcnto de 0, el estado comprimido
con parámetro rcal [Ec. (23)]. EslO lo hacemos directamente
aplicando la transformación canónica (11), reemplazando
=
Usando esla relación y la Ec. (14) lencmos
+ iÍ<2senil 2w)
+sen 6(k2 cosh 2w - iklsenh
2w).
iO/2.
(0.)(.
2L
i
exp(i~}{)
donde hemos usado el hecho de que (19) es una función
propia de 11. que nos genera una fase constante. La fun.
:1
(d)
FIGURA 3. [gual que en la Fig. 2. pero con
exp
i~Eo)
x exp(2i1,Í<¡) (f1t,!J),
0.3i.
=
-
.3
-8
Si w
= exp(
cosO/{,
.
+ senO/{2)
exp
(O.)- i2L
O
O
2 + l' sen 2'
q
--+
p
O
O
-+ -q scn - + peos-,
qcos
2
2
obtenemos la forma funcional dcl estado comprimido (23),
(r,SIt,!J)
donde Q =
complejos.
() cxp
= N' exp [ -
~ (~ -
ñ)
q2 - ~ (~
+
ti) 1" -
itipq] ,
(iB), es valida para parámetros reales y
En la Fig. 3, mostramos el comportamiento del módulo
al cuadrado del estado comprimido (23), con parámetro complcjo ~ = 0.3 exp (irr /2) = 0.3i. La Fig. 3a, muesIra cn una
gráfica de curvas de nivel, el módulo al cuadrado de (23) para t
O, donde podemos observar que este estado está rotado
en sentido contrario a las manecillas dd reloj la mitad del argumento de (t, es decir, íT /4. En otras palabras, tencmos un
estado comprimido con parámetro real () = 0.3 en un eje rotado 1í /4. Este resultado está de acuerdo con los encontrados
con la disIribución de \Vigner [15, !fi). En las Figs. 3b-3d,
notamos que el módulo al cuadrado de (23) rota sin deformarse, en el sentido de las manecillas del reloj, ángulos de n/l,
rr/2 y 3rr/4, para los tiempos t
rr/4, t
rr/2 y t
3rr/4,
respectivamente.
=
=
=
=
R" .. Mex.
Fr,.
Finalmente, en la Fig. 4, mostramos el comportamiento temporal del módulo al cuadrado del estado comprimido (23), con Q
0.3exp(irr/4)
0.3(1 + i)/,fí,
pa.
ra t
O, t
rr/4, t
rr/2 y t
3rr/4. Nuevamente en
la Fig. 4a. mostramos que el módulo al cuadrado del estado comprimido (23) para t
O, puede interpretarse como
un estado comprimido de parámetro real (l' = 0.3 rotado en
sentido contrario a las manecillas del reloj la mitad del argumenlO de o, es decir. 7r /8. En las Pigs. 4b-4d mostramos que
el módulo al cu'adro de (23) rola sin deformarse, en sentido
de las manecillas del reloj, ángulos de rr/4, rr/2 y 3rr/4 para
los liempos t
rr/ 4, t
rr/2 y t
3rr/ 4, respectivamente.
Por último, calculamos numéricamente las varianzas
en función del liempo dc j' y Q, utilizando la evolución
temporal del estado comprimido de la Fig. 3, es decir,
=
=
47 (5) (2001) 411-420
=
=
=
=
=
=
=
=
419
A. ZÚÑIGA.SEGUNDO
2.0
,
,
1.5
1.0
.9
3
"
q
.9
,
po
.9
.3
3
O.S
(b)
<a)
9
"
q
o
O
po
.3
(e)
o
q
:J
ti
37f/2
5.
t
(d)
FIGURA 4. Igual que en la rig. 2. pero con n = 0.3 eXJl( i1r /-1) =
03(1 + i)/-I2.
=
=
eon a
0.3 ex!, (i;r /2)
0.3i. Las varianzas las obtuvimos
por medio de la Ee. (5). En la Fig. 5. mostramos en línea
continua la varianza ((6P)2), y en línea de trazos la varianza ((~Q)2). Observamos que la varianza de P, es mínima
cuando está totalmente comprimida a lo largo del eje p, es
deeir, alliempo
7f
Varianzas de P y
en función delliempo. para el estado comprimido de la Fig. 3. Con línea continua dibujamos la vananza «(L:J')'). y en línea de trazos la vananza ((t.Q)'). La línea
horizontal corresponde a las varianzas de P y Q para el estado coherente [Ee. (19»). En lodos los easos n = 0.3exp(i;r/2)
= 0.3i.
f<IGUI{A
.9
3
q
7f/2
.Y
t
=
;r /4 [ver Fig. 3b], Y claramenle
la va-
rianza de Q será máxima en este tiempo, ya que esta totalmente descomprimida a lo largo del eje q. Observamos
también que ambas varianzas completan dos ciclos por periodo del oscilador armónico. La línea horizontal corresponde a las varianzas de
eon n
0.3 exp(i;r /2)
=
P
y
Q
para el estado
eoherente
= 0.3i.
(19)
námica de estas funciones se realiza por medio de una ecuación del tipo de Schrodinger. sin las complicaciones propias
de las otras representaciones. Los estados comprimidos obtenidos pueden utilizarse para hacer análisis cuantitativos, directamente en el espacio fase cuántico [16]. similares a los
realizados en la representación de coordenadas de la mecánica cuántica.
Con estas nuevas funciones hcmos incrementado el número de funciones cn la REC. Creemos que esta representación puede ser una buena opción para analizar sistemas cuánticos.
Agradccimicntos
5, Conclusioncs
Deseo agradecer al Dr. Héctor Moya Cessa, sus enseñanzas y
hospitalidad. A la Dra. Rocio Jáuregui R. por sus valiosas observaciones y comcntarios. Agradezco ampliamente el apoyo
En este trabajo mostramos una manera de calcular estados
comprimidos directamente en el espacio fase cu;íntico. La di-
del CONACyT vía el proyeelo 33994-E, al departamento
de
eómputo del CICESE por el soporte lécnieo y al SNI México.
D~dico este trabajo a la memoria de mi profesor Dr. William
2304; G. Breitenhach, S. Schillcr, and 1. !\flynek, Nalure (Lon-
A. Wassam. Jr., por haberme permito aprender algo más que
don) 387 (1997) 471.
lecciones.
a
Si
.4.
y
ñ
son operadores.
a un e-número.
x exp (-
entonces
con conmutador
exp(A
+ 8) =
[.•l,
ñ]
igual
exp (.4) exp (ñ)
[A, 8]12).
1. EP. \Vigner, l'hY5. Re\'. 40 (1932) 749; M.llillery, R. F. O'Connell, M.O. Scully, and E.P. \Vigner, ibid. 106 121 (1984).
2. K. Vogel and 11.Risken. Phys. Rel'. A 40 (1989) 2&47; U. Leonhartdt, Measuring lhe Qua1/IUm Stale o/ l.igJIl. (Cambrigc University Press, Carnbrigc, 1997).
3. D.T. Smithey. M. Bcck, and M.G. Raymer, Phys. Ri'I'. l..{'u. 70
(1993) 1244; G. Breilenbaeh ,./ 01.• J. 01'1. Soco Am. B 12 (1995)
4. V. Buzek and P.L. Knight, Progress ;n Oplies, Vol. 34, ediled
by E. \Voll. (North-lIolland, Amslerdam. 1995); \V.P. SehJcich,
E. Mayr. and D. Kraehmcr. Q/UlIllum Oplies in Phase Space,
(\Viley-VCII.llerlin,
t998).
5. K. Takahashi and
Takahashi, /'ltY5.
PltY5. 65 (1976)
(1981) I().lS; R.e.
N. Saito. PhY5. Hel'. Leu. 55 (1985) 645; K.
Supp. 98 (1989) t09; EJ. IIcller. 1. Chem.
t289; EJ. Heller and R.e. Brown, ibid. 75
Brown and EJ.lleller, ibid. 75 (1981) 186.
G. K. Husimi, Proe. Phys. Mal/¡, Soco l'J11. 22 (1940) 264.
7. L. Cohen, J. Marlt. Pltys. 7 (1966) 781.
8. Go. Torres- Vega and J.H. Fredcrick. J. Chem. Ph)'5. 93, 8862
Rel'. Mex. Fís. 47 (5) (2001) 411-420
420
OBTENCiÓN
DE ESTADOS COMPRIMIDOS
MEDIANTE TRANSFORMACIONES
(1990); 98 (1993) 3103; Go. Torres- Vega, ibid. 98 (1993) 7040;
99 (1993) 1824.
9. Go. Torres- Vega anJ 1.H. Frederiek, Phys. ReI'. Lell. 67 (1991)
2601.
10. Klaus B. Ml1IlIer, T.G. Jorgensen, and Go. Torres-Vega,
J.
Chem. Phys. 106 (1997) 7228.
11. Go. Torres-Vega,
A. Zúñiga-Segundo.
and 1.0.
Morales-Guz-
mán. Phys. Re" A 53 (1996) 3792; Go. Torres-Vega, 1.D.
Morales-Guzmán. and A. Zúñiga-Segundo. J. Phys. A: Marh.
Gen. 31 (1998) 6725.
12.
Go. Torres-Vega
and J.D. Guzmán.
1. Chem. Phys. 101 (1994)
5847.
13.
Go. Torres-Vega.
CANÓNICAS
EN EL ESPACIO ...
15. Y.S. Kim and M.E. Nuz, Phllse Space Piellm' ofQuantum Mechanics. Group Theoretical Approach. Leclure NOles in Physics
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17. D. Sloler. Phys. Rev. D 1 (1970) 3217; 4 (1971) 1925.
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ReI'. Mex. Fís. 47 (5) (2001) 411-420