Potenciales escalar y vectorial

Potenciales escalar y vectorial
manuel fernández guasti
20 de febrero de 2007
1.
Potenciales
Las ecuaciones de Maxwell son
∇·D=ρ
∇·B=0
∂D
+J
∇×H=
∂t
∂B
∇×E=−
∂t
(1)
(2)
(3)
(4)
Puesto que la divergencia del desplazamiento magnético es cero, éste campo
puede escribirse en términos de un rotacional
B = ∇ × A.
(5)
Si se sustituye éste resultado en la ecuación (4) se obtiene
∇×E=−
∂∇ × A
∂t
∂A
∇× E+
= 0,
∂t
⇒
y una cantidad irrotacional puede escribirse como el gradiente de un campo
E+∂A/∂t = −∇φ, el campo eléctrico en términos de los potenciales es entonces
E = −∇φ −
1.1.
∂A
.
∂t
(6)
normas
Puesto que el rotacional de un gradiente es cero, al potencial vectorial en
la ecuación (5) se le puede agregar un gradiente A → A + ∇ξ . Para mantener
el campo eléctrico invariante ante esta transformación es necesario modicar el
potencial escalar φ → φ − ∂ξ/∂t. Éste grado de libertad nos permite escoger
una relación entre los potenciales. En la norma de Lorentz se escoge
∇ · A = −µε
∂φ
,
∂t
(7)
mientras que en la norma de Coulomb se utiliza
∇ · A = 0.
1
(8)
1.2.
norma de Lorentz
La ecuación (1) en términos de los potenciales es
∇2 φ +
ρ
∂∇ · A
=− ,
∂t
ε
y de la norma de Lorentz se obtiene que el potencial escalar satisface la ecuación
de onda
∂2φ
ρ
∇2 φ − µε 2 = − .
(9)
∂t
ε
La ecuación (3) puede escribirse como
∂
∇ × ∇ × A = −µε
∂t
∂A
∇φ +
∂t
+ µJ.
Ésta expresión con la identidad vectorial del rotacional es
∇2 A − µε
∂φ
∂2A
= µε∇
+ ∇ (∇ · A) − µJ,
2
∂t
∂t
y si se utiliza la norma de Lorentz
∇2 A − µε
∂2A
= −µJ,
∂t2
(10)
se obtiene que el potencial vectorial también satisface la ecuación de onda.
2.
electrostática
Si las dependencias temporales son cero, los potenciales satsifacen la ecuación
de Poisson y las soluciones son entonces
φ (r) =
1
ε
y
(11)
V
ρ (r0 )
dv 0
|r − r0 |
(12)
V
J (r0 )
dv 0 .
|r − r0 |
Z
Z
A (r) = µ
3.
electrodinámica
Para campos dependientes del tiempo se introducen potenciales retardados
φ (r, t) =
1
ε
y
(13)
V
ρ (r0 , t − |r − r0 | /c) 0
dv
|r − r0 |
(14)
V
J (r0 , t − |r − r0 | /c) 0
dv .
|r − r0 |
Z
Z
A (r, t) = µ
2