Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) Matrices Una matriz de m x n con elementos en C es un arreglo de la forma a11 a 21 M am1 donde a 12 KKK a1 n a 22 KKK a2n a m 2KKK a mn a 11, a 12, ..., a mn Є ℮ y m, n Є Z. La matriz es de orden m x m. [ a 11, a 12,..., a 1n ] primer renglón [ a 21, a 22,... a 2n ] segundo renglón [ a i1, a i2,..., a in ] i-ésimo renglón en forma análoga a1 j a2 j M anj j-ésima columna Definición Sean A= [ a ij] y B= [bij] dos matrices de m x n con elementos en C. A y B son iguales, lo que representamos con A=B, si: a ij= bij; para i = 1,2,...m y j = 1,2,..., n Adición de matrices y multiplicación por un escalar. 1 de 1 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) La adición Definición Sean A= [ a ij] y B=[bij] dos matrices de m x n con elementos en C. La suma una matriz s = [sij] de m x n definida por a ij + bij Sij = A + B es i = 1,2,..., m y j = 1,2,..., n Ejemplo: 3 + i 7 ; Sean A= 1 2 + i 5 + i 2 − i B= ; 4 3i 6 1 C= 3 4i 5 − i 1 7 + (5 + i ) (3 + i ) + (2 − i ) 1+ 4 (2 + i ) + 3i A+B= 12 + i 5 2 + 4i 5 = A+C No existe porque no son del mismo orden. “No son conformables para la suma”. Teorema Si A, B y C son matrices de m x n cuyos elementos son números complejos, entonces: 1) A+(B+C) = (A+B)+C asociatividad 2) A+B = B+A conmutatividad 3) ∃ la matriz 0 de orden m x n tal que A+ (-A)=0 elemento neutro Definición 2 de 2 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) Sean A= [ a ij] y B=[bij] dos matrices de m x n con elementos en C. La diferencia A-B se define como A-B= A+ (-B) A-B= (A+(-B) = ([ a ij + (-bij)] = [ a ij - bij] Para las matrices definidas en el ejemplo anterior: 7 A-B = 2 + i 3 + i 1 5 + i 2 − i 4 - 3i 7 − (5 + i ) = (2 + i ) − 3i (3 + i ) − (2 − i ) 1− 4 2 − i 1 + 2i = 2 − 2i − 3 A-C No son conformables para la sustracción. Multiplicación por un escalar Definición Sean A=[ a ij] una matriz de m x n con elementos en C y una matriz E dada por E = [eij ] de m x n definida e ij = α Є C. El producto α A es α a ; para i= 1,2,...,m y ij j = 1,2,..., n si α = 3i α A=3i 3 + i 7 = 2 + i 1 3i (3 + i ) 3i (7) 21i 9i − 3 2 = 3i (2 + i ) (i-i)=i =-1 3 i ( 1 ) 6 i − 3 3 i Teorema 3 de 3 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) Si A y B son matrices de m x n con elementos en C y ∞ β Є C, entonces α (A+ β ) = α A+α B α +B) A = α A +BA α (BA) = (α B)A 1) 2) ( 3) Multiplicación de matrices Definición Sean A=[ a ij] y B=[bij] dos matrices con elementos en C, de m x n y n x q, respectivamente. El producto AB da como resultado p= [pij], de m x q, definida por n pij = i ∑a k =1 ik bkj para i = 1,2…………m j = 1,2…………n A j B pij = P Teorema Sean A, B y C matrices de m x n, n x p y p x q, respectivamente, entonces: A(BC)=(AB)C Teorema 4 de 4 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) Sean A,B y C matrices de m x n, n x p y n x p respectivamente y D, E y F matrices de m x n, m x n y n x p, respectivamente, cuyos elementos son numeros complejos. Entonces: 1) A(B+C) = AB+AC 2) (D+E)F = DF+EF Definición Se llama matriz identidad de orden n a la matriz cuadrada de orden n, In= [δ ] ij tal que ∂ij = 1 si i =j ∂ij = 0 si i ≠ j ∂ij Delta de kronecker I3 = 1 0 0 0 1 0 Matriz de identidad de orden 3 0 0 1 Ejemplo: Sean las matrices 1 2 A= 3 4 0 1 3X2 B= 4 3 2 1 C= 2X2 1 0 2 3 2X2 Demostrar que A(BC) = (AB)C 5 de 5 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) 4 3 1 0 10 9 BC = = 2 1 2 3 2 3 2 x2 2x2 2 x2 2 x2 1 2 4 3 10 9 = AB = 3 4 2 3 4 3 0 1 3x 2 2 x 2 3x 2 3x2 6 de 6 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) 1 2 18 15 10 9 A( BC ) = 3 4 = 46 39 4 3 0 1 4 3 3x2 2 x2 3x2 3x2 8 5 18 15 1 0 ( AB )C = 2013 = 46 39 2 3 2 1 4 3 3x2 2 x2 3x2 3x 2 ∴ A( BC ) = ( AB )C 7 de 7 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) Ejemplo: Sean A y B dos matrices de 4 x 5 y C, D y E de 5 x 2, 4 x 2 y 5 x 4, respectivamente. Determinar cuáles de las siguientes operaciones son conformables. a) AB A B 4x5 4x5 |---/---| No son conformables para la multiplicación b) AC+D A C + D 4x5 5x2 4x2 |---/---| |----/----| 4x2 |--------/---------| 4 x 2 Matriz de 4 x 2 c) AE + B A E + B 4x5 5x4 4x5 |------------| 4x4 No son conformables para la suma 8 de 8 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) d) E (A + B) E (A + B) 5x4 4x5 4x5 |--------| 4x5 |------------| Matriz de 5x5 |----------------| 5x2 e) E (AC) E (A C) 5x4 4x5 5x2 |------| 4x2 |--------| |---------------| 5x2 Matriz de 5x2 Inversa de una matriz Definición Sea A una matriz de mxn con elementos en C. Una matriz X se dice que es inversa de A si: XA=AX=In Y se representa con A-1 A, X y A-1 son matrices cuadradas de orden n. Si A tiene inversa ⇒ matriz “no singular” Si A no tiene inversa ⇒ matriz “singular” 9 de 9 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) Matrices elementales Definición Una matriz elemental es aquella que se obtiene aplicando a In una transformación elemental y se representa con In In In (i,j) Se obtiene intercambiando los renglones i y j de In Se obtiene multiplicando por un número k ≠ 0 el renglón i de In k(i,j) Se obtiene multiplicando por k el renglón i de In k(i) Ejemplo: 2 4 1 Sea la matriz A= 5 3 7 4 1 2 Se aplica la transformación T1 igual a I3 (1,2) E1= I3 (1,2) 0 1 0 = 1 0 0 0 0 1 Si multiplicamos E, A se tiene 0 1 0 2 4 1 5 3 7 A1 = EA = 1 0 0 5 3 7 = 2 4 1 0 0 1 4 1 2 4 1 2 E1= Matriz elemental Teorema Las matrices elementales son “no singulares” 10 de 10 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) Teorema El producto de dos matrices elementales es una matriz “no singular” Supongamos que existe una sucesión finita de matrices elementales T T T A → → K , AK −1 → A1 In 1 2 K Entonces existe una sucesión finita de matrices elementales E1, E2, ..., Ek E K (K( E 2 ( E1 A))K (E K E E ) A = I K 2 1 )= I n n Si llamamos P al producto (Ek ... E2 E1) se tendrá que PA= In Como P es un producto de matrices elementales, P es “no singular” y existe P-1 P-1(PA)= P-1In (P-1P)A= P-1 InA= P-1 A= P-1 Si post multiplicamos por P AP= P-1P AP=In En consecuencia PA=AP=In ∴ P es la inversa de A 11 de 11 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) Se tiene que P= Ek... E2 E1 =( Ek... E2 E1)In = Ek(...(E2(E1,In))...) por lo tanto, P se obtiene aplicando a In una sucesión de transformaciones elementales T1, T2,... Tk T1 Tk [A | In] → ... → [In | A-1] Inicialmente el arreglo tiene del lado izquierdo la matriz A y del lado derecho la matriz identidad In. Se efectúan (en ambas matrices) las transformaciones necesarias para obtener del lado izquierdo la matriz In y al finalizar el proceso se obtiene del lado derecho la matriz A-1. Ejemplo: 3 4 Determinar la inversa de la matriz A= 5 6 3 [A I 2 ] = 5 41 60 1 0 1 4 0 3 3 ~ 5 2 1 0 − − 1 3 3 R1/3 R1(- ) + R2 ∂ 2 1 0 − 3 0 1 5 2 − 3 2 R2 (-3/2) 12 de 12 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) R2 (-1/3) + R1 ∴ -1 A =½ − 6 4 5 − 3 A es NO singular Ejemplo: Encontrar, si existe, A-1 para 1 4 6 A= 3 1 2 4 5 8 1 4 6 1 0 0 3 1 2 − 3 1 0 ~ 4 5 8 −1 −1 1 6 1 0 0 1 4 0 −11 −16 −3 1 0 0 −11 −16− 4 0 1 R1(3)+ R2 R1(4)+ R3 6 1 0 0 1 4 0 − 11 − 16 − 3 1 0 0 0 0 − 1 − 1 1 R2(-1)+ R3 13 de 13 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) El ultimo renglón de la resultante maestra que no se puede transformar en I3; por tanto, A-1no existe A es singular Ecuaciones con matrices Un ejemplo de ecuaciones con matrices la constituye la llamada representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas puede quedarse representada por la ecuación AX=B Donde A – Matriz de coeficientes, de mxn B – Vector de términos independientes, de nxl X – Vector de incógnitas de mxl Si ∃ A-1 se tiene AX=B A-1(AX)= A-1B (A-1A)X= A-1B InX= A-1B X= A-1B Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones lineales que se plantea X1+3X3=2 X2 -2X3=-1 X1+X2+2X3=3 14 de 14 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) 1 0 3 X 1 2 A= 0 1 − 2 X= X 2 B= − 1 1 1 2 X 3 3 3 − 3 4 A = − 2 − 1 2 − 1 − 1 1 -1 3 − 3 2 4 ∴ X= A B= − 2 − 1 2 − 1 − 1 − 1 1 3 -1 − 4 X= 3 2 Es decir: X1=-4 X2=3 X3=2 Ejemplo: Obtener la matriz X1, si existe tal que XA+B=XC 2 Si A= − 2 − 1 3 − 2 1 − 1 ; B= ; C= 4 1 − 1 1 − 2 XA+B=XC X-1[XA+B] = X-1[XC] X-1 XA+ X-1 B = X-1XC InA + X-1 B = InC A+ X-1 B=C 15 de 15 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) [A+ X-1 B] –A= C-A A+ X-1 B –A= C-A X-1 B=C-A X[X-1 B]=X[C-A] InB=X[C-A] B=X[C-A] B[C-A]-1= [X[C-A]] [C-A]-1 B[C-A]-1= XIn B[C-A]-1=X X=B[C-A]-1 1 − 1 2 C-A= - 1 − 2 − 2 − 1 − 1 2 = 4 3 − 6 − 1 2 1 0 1 − 2 − 1 0 [C-A]-1 → ~ − 3 6 0 0 0 0 3 1 R1 (− 1) R1 (− 3) + R2 (C-A) es una matriz singular ∴ ∃ [C-A]-1 y no es posible determinar X. Se presentan algunas diferencias importantes entre el álgebra de los números y el de las matrices: 16 de 16 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) 1) Podemos sumar o multiplicar dos números cualesquiera, mientras que no siempre podemos hacerlo con las matrices, éstas deben ser conformables para la suma o la multiplicación. 2) La multiplicación de números es conmutativa, mientras que la multiplicación de matrices no lo es. Para los números se tiene: Si b=c ⇒ ab=ac Si b=c ⇒ ab=ca Para las matrices: Si B=C ⇒ AB=AC Si B=C ⇒ AB=CA 3) El producto de dos números diferentes de cero es diferente de cero, mientras que la multiplicación de dos matrices diferentes de cero puede ser igual a la matriz de cero. Para las matrices − 3 − 1 1 − 2 B= 3 − 3 − 6 A= 9 − 3 − 1 1 − 2 0 0 = 3 − 3 6 0 0 AB= 9 A ≠ 0 B ≠ 0 AB ≠ 0 Tipo Especial de Matrices Diagonal principal, triangular superior y triangular inferior Diagonal principal → Triangular superior → a ii a ij tal que i<j 17 de 17 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) Triangular inferior → a ij tal que i>j Traza Definición Sea A=[ a ij] una matriz de n x n con elementos en C. Se llama traza de A, y representa con trA, al número n ∑a ii i =1 Ejemplo 5i 3 1 Sea A= 2 1 4 0 3 − 2i trA= 5i+1+(-2i) = 1+3i Teorema Si A y B son dos matrices de nxn con elementos en C y ∝ ∈ C . 1) tr(A+B) = tr(A) + tr(B) 2) tr(∝A) = ∝ [tr(A)] 3) tr(AB) = tr(BA) Matrices triangulares Definición Sea A=[ a ij] una matriz de nxn con elementos en C. Se dice que 1) A es triangular superior si a ij=0 para i>j 18 de 18 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) 2) A es triangular inferior si a ij=0 para i<j 1 2 3 0 4 5 Triangular superior 0 0 6 1 0 0 2 3 0 Triangular inferior 4 5 6 Teorema Si A y B son dos matrices triangulares superiores (inferiores) del mismo orden y ∈ C entonces α 1) A+B es triangular superior (inferior) 2) ∝A es triangular superior (inferior) 3) AB es triangular superior (inferior) Matriz Diagonal Definición Sea A=[ a ij] un matriz de nxn con elementos en C. Se dice que A es una matriz diagonal si a ij=0 para i ≠ j y se representa con diag ( a 11,, a 22,..., a nn) 1 0 0 0 2i 0 0 0 0 Matriz diagonal diag (1,2i,0) 19 de 19 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) Teorema Si A y B son dos matrices diagonales diag A =( a 11, a 22,..., a nn) diag B = (b11, b22,..., a nn) 1) A+B = diag ( a 11 + b11, 2) ∝A= diag (∝ a 11, ∝ 3) AB =( a 11b11, a 22 + b22,..., a nn bnn) a 22,..., ∝ a nn) a 22b22,..., a nnbnn) 4) A-1 = diag (1/ a 11, 1/ a 22,..., 1/ a nn) Si A es no singular Regla de Sarrus Cálculo de determinantes Este método se emplea para determinantes de segundo y tercer orden a a 11 21 a a 12 a a a a a a a a a a 22 11 12 21 22 31 32 11 12 21 22 = a 11 a 22 - a 21 a 12 a a a a a 13 23 33 = ( a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23) - ( a 21 a 12 a 33 + 13 23 a 11 a 32 a 23 + a 31 a 22 a 13 ) 20 de 20 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) Ejemplo 1 3 Obtenga el det A, para A = 5 7 det A = 7-15 det A = -8 (1)(7 ) − (5)(3) 1 4 5 A= 3 2 5 1 4 − 1 det A = 1 4 5 3 2 5 1 4 −1 1 4 5 3 2 5 = [(1)(2 )(− 1)] + [(3)(4 )(5)] + [(1)(4 )(5)] − [(3)(4)(− 1) + (1)(4)(5) + (1)(2)(5)] = 78 − 18 = 60 Desarrollo por cofactores Sea a11 A = a 21 a31 a a a 12 22 32 a a a 23 33 13 21 de 21 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) a a 11(-1)1+1 a det A = a 12(-1) 1+2 a 13(-1) 1+3 a a 21 31 a a 21 31 a a a a 23 22 32 a a 23 + 33 + 33 22 32 Definición Sea A= [ a ij] una matriz de n x n con elementos en C (-1) i+j Mij Teorema Si A= [ a ij ] es una matriz de n xn con elementos en e y r un número entero tal que 1 ≤ r ≤ n , entonces n 1) det A = ∑ arj crj j =1 n 2) det A = ∑ air cir i =1 Ejemplo 1 0 3 Sea A = − 2 − 4 3 5 4 − 2 Calcular det A 1+1 det A= 3(-1) −2 −4 −4 3 −2 3 1+2 1+3 4 − 2 + (1)(-1) 5 − 2 + (0)(-1) 5 4 = 3[(8)-(12)] -1 [(4)-(15)] 22 de 22 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) = 3(-4) -1(-11) =-12+11 det A =-1 Método de condensación Este método se basa en lo siguiente: 1) Elegir una línea que contenga el mayor número de ceros posible. 2) Elegir un elemento no nulo de dicha línea (de preferencia 1 ó -1) y aplicar reiteradamente transformaciones elementales hasta reducir a ceros el resto de los elementos de la línea. 3) Desarrollar los factores según dicha línea. 4) Repetir los tres pasos anteriores hasta obtener un determinante de tercer o segundo orden y obtener su valor por medio de la regla de Sarrus Ejemplo Calcular el determinante de la matriz A A= − 1 1 − 5 − 2 3 3 2 1 0 1 1 0 1 −1 2 0 2 1 3 1 − 1 2 4 0 1 Seleccionamos la cuarta columna para efectuar el desarrollo y para “pivote” el tercer elemento de dicha columna. Se multiplica por 2 y -3 el renglón 3 y se suma a los renglones 1 y 4, respectivamente. 23 de 23 Tema 1 det A = Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) −1 1 −5 −2 3 1 0 2 −1 2 1 2 1 0 1 3 1 2 4 0 3 1 3 −1 −1 0 3 2 1 0 −1 −1 0 ~ 1 −1 2 1 0 −1 − 3 5 − 5 0 −1 1 2 4 0 1 1 desarrollamos por cofactores la columna 4 det A= (1)(-1)3+4 1 −1 −1 3 3 2 1 −1 − 3 5 − 5 −1 1 2 4 1 Se escoge el primer renglón para el desarrollo y el elemento de la primer columna como pivote 1 −1 −1 3 3 2 1 −1 det A= (-1) − 3 5 − 5 −1 1 2 4 1 c1 (1)+ c2 c1 (1)+ c3 c1 (-3)+ c3 1 3 =-1 −3 1 0 0 0 5 4 − 10 2 −8 8 3 5 −2 24 de 24 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) 5 − 10 4 det A= (-1)(1)(-1)1+1 2 − 8 3 8 −2 5 c1 (4)+ c2 c1 (-4)+ c3 5 24 − 30 0 det A = -1 2 0 3 17 − 14 2+1 det A= -1(2)(-1) 24 − 30 17 − 14 det A= 2[(24)(-14)-(17)(-30)] =2 (-336+510) =348 Cálculo de la inversa por medio de la adjunta Sea A= [ a ij ] una matriz de n x n con elementos en C. y sea cij el cofactor del elemento a ij. Se llama adjunta de A a la matriz Adj A= [bij ]donde bij= cij. 1 2 3 Considérese la matriz A = 1 2 4 1 6 4 2 4 c11 = (-1) 6 4 = 8-24=-16 2 25 de 25 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) 1 4 c12 = (-1)3 1 4 = (-1)[4-4]=0 1 2 c13 = (-1) 1 6 = 6-2=4 4 -3 c21 = (-1) 2 3 6 4 = (8-18)(-1)=10 1 3 c22 = (-1) 1 4 = (4-3)=1 4 1 2 c23 = (-1)5 1 6 = (6-2)(-1)=-4 2 3 c31 = (-1) 2 4 = (8-6)=2 4 1 3 c32 = (-1) 1 4 = (4-3)(-1)=-1 5 1 2 c33 = (-1) 1 2 = (2-2)=0 6 c11 Adj A = c12 c13 ∴ c c c 21 22 23 c c c − 16 10 2 0 1 − 1 32 = − 4 0 33 4 31 1 2 3 − 16 10 2 A Adj A = 1 2 4 = 0 1 − 1 1 6 4 4 − 4 0 ∴ 26 de 26 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) 0 − 4 0 = 0 − 4 0 = −4 I3 0 0 − 4 ¿Cuál es la relación de -4 con la matriz A? si calculamos detA 1 2 3 det A= 1 2 4 = −4 1 6 4 es decir Si A es una matriz de n x n con elementos en C, entonces A(Adj A) = (det A)A=(detA)In Teorema Sea A una matriz de n x n con elementos en e. A-1 existe si y sólo si A ≠ 0 * A-1 = 1 (Adj A) det A * Si ∃ A-1 entonces det A-1 1 det A En el ejemplo anterior, − 16 10 2 A = 1/-4 0 1 − 1 4 − 4 0 -1 Ejemplo 1 2 Calcular la inversa de A= utilizando el método de la adjunta 1 4 27 de 27 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) c11 = (-1)2 (4)=4 c12 = (-1)3 (1)=-1 c21 = (-1)-3 = (2)=-2 c22 = (-1)4 (1)=1 c11 c 21 4 − 2 ∴ Adj A = c12 c 22 = − 1 1 1 2 det A= = 4−2 = 2 1 4 − 2 1 4 A-1=1/2 − 1 Solución de un sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Crammer Sea a 11 x 1 + a 12 x 2 +...+ a 1n x n = b1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2n x n = b2 * * * * * * * * * * * * a n1 x 1 + a n2 x 2 +...+ a nn x n = bn Un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, y sea A= [a ] su matriz de coeficientes ij 28 de 28 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) a11 a12... a1n a 21 a 22... a 2 n A= an1 an 2... ann Si det A ≠ 0 entonces xk= det Ak para k=1,2,…n det A donde Ak = [Cij] es tal que aij para j ≠ k Cij bij para j = k Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando la regla de Crammer 3 2 x 1-4 x 2 =-5 x 1+ x 2 = 4 3 − 4 − 5 B= 1 4 A= 2 j 3 − 4 − 5 i [A b] = 1 2 − 1 4 2 1 det A = 2 3 3 −4 =3+8=11 2 1 29 de 29 Tema 1 Álgebra Lineal (Sistema de ecuaciones lineales y álgebra matricial) det A1= −5 −4 = -5+16=11 4 1 k=1 ∴ b1 det A2= 3 −5 = 12+10=22 2 4 k=2 ∴ b2 det A1 11 x 1 = det A = 11 = 1 x2 = det A2 22 = =2 det A 11 30 de 30