Radiación y la correspondencia AdS/CFT

Radiación y la
correspondencia AdS/CFT
Mariano
Chernicoff
Facultad
de
Ciencias,
UNAM.
Plan de la plática
1. Motivación
2. La correspondencia AdS/CFT
3. El quark en un mundo fuertemente acoplado
arXiv:0903.2047 (Phys.Rev.Lett.102:241601,2009)
arXiv:0909:080 (JHEP 0909:080,2009)
realizado con Antonio García y Alberto Güijosa
4. Conclusiones
Motivación
Queremos estudiar la dinámica del quark en una teoría
de norma fuertemente acoplada
¿Por qué?
Se sabe muy poco sobre
sistemas fuertemente acoplados
Eventual contacto de la teoría de
cuerdas con QCD y QGP
La descripción completa de la dinámica de un objeto cargado es un
problema viejo y aún con preguntas abiertas (tanto en QED como QCD)
Revisemos brevemente algunos antecedentes...
i) Caso No-relativista de partícula cargada acelerada
Si tomamos en cuenta el efecto del campo de radiación sobre la carga,
la ecuación de movimiento es (Abraham-Lorentz) [Lorentz;
Abraham
(1902)]:
!
..."
¨ − te !x = F!
m !x
con
amortiguamiento por radiación
te ≡ 2e2 /3mc3
escala temporal asociada con el
radio clásico del electrón
ii) Caso relativista de partícula cargada acelerada
La ecuación de movimiento es (Lorentz-Dirac) [Lorentz;
Dirac
(1938)]:
!
"
#$
1
...µ
µ
m ẍ − te x − 2 ẍν ẍν ẋµ
= Fµ
c
ahora
˙ ≡ d/dτ
" · "v /c, F" )
Término de Schott Término de radiación F µ ≡ γ(F
asociado al campo
cercano
En ambos casos hay patologías...
1. Autoaceleración: la partícula se acelera aún cuando la fuerza
externa es cero. Se puede ver a partir de la ec. de movimiento que:
Si
Fext = 0
a(t) =
0
Aet/te
2. Preaceleración: la partícula se acelera antes de que la fuerza
externa actúe sobre ella (violando causalidad).
Esta situación se observa para tiempos menores que te
Estas dos situaciones se originan de suponer que la carga es PUNTUAL
Si el objeto tiene un tamaño finito l > cte entonces se puede demostrar
que la ecuación de Lorentz-Dirac solo representa una parte de la dinámica.
La ecuación completa involucra infinitas derivadas de orden superior (ld/dt)n
[F.
Rohrlich
(1965)]
En ambos casos hay patologías...
1. Autoaceleración: la partícula se acelera aún cuando la fuerza
externa es cero. Se puede ver a partir de la ec. de movimiento que:
Si
Fext = 0
a(t) =
0
Aet/te
2. Preaceleración: la partícula se acelera antes de que la fuerza
externa actúe sobre ella (violando causalidad).
Esta situación se observa para tiempos menores que te
Importante aclarar que estas patologías solo se observan a escalas
menores que la longitud de onda de Compton λC ≡ !/m = 2πre /α
¿Qué sucede a nivel cuántico? En QED (caso no relativista) la ec.de movimiento tiene infinitas derivadas
y el electrón adquiere un tamaño efectivo l = λc debido a nube de
partículas virtuales [Moniz
y
Sharp
(1974)].
En ambos casos hay patologías...
1. Autoaceleración: la partícula se acelera aún cuando la fuerza
externa es cero. Se puede ver a partir de la ec. de movimiento que:
Si
Fext = 0
a(t) =
0
Aet/te
2. Preaceleración: la partícula se acelera antes de que la fuerza
externa actúe sobre ella (violando causalidad).
Esta situación se observa para tiempos menores que te
Pasar a una teoría cuántica no-abeliana y fuertemente acoplada
sería muy complicado utilizando la herramientas usuales.
¿Qué podemos hacer?
La correspondencia AdS/CFT
[Maldacena
(1997);
Gubser,
Klebanov,
Polyakov;
Wi]en
(1998)]
SYM
N = 4 SU (Nc )
en
Minkowski
3+1
=
Teoría
de
cuerdas
Tipo
IIB
sobre
AdS5 ×S 5
Contenido de campos:
Aµ (x)
ΦI (x) I = 1, . . . , 6
λa (x) a = 1, . . . , 4
Campos sin masa y en la rep. adjunta (matrices de NxN)
La correspondencia AdS/CFT
[Maldacena
(1997);
Gubser,
Klebanov,
Polyakov;
Wi]en
(1998)]
SYM
N = 4 SU (Nc )
en
Minkowski
3+1
Teoría
de
cuerdas
Tipo
IIB
sobre
AdS5 ×S 5
=
2 !
"
R
2
2
2
2
ds = 2 −dt + d!x + dz + R2 dΩ5
z
z=o
!x
z=∞
La correspondencia AdS/CFT
[Maldacena
(1997);
Gubser,
Klebanov,
Polyakov;
Wi]en
(1998)]
SYM
N = 4 SU (Nc )
en
Minkowski
3+1
=
Teoría
de
cuerdas
Tipo
IIB
sobre
AdS5 ×S 5
2 !
"
R
2
2
2
2
ds = 2 −dt + d!x + dz + R2 dΩ5
z
Las constantes:
gYM y Nc
gs y R/ls
Diccionario (en construcción):
4
R
2
2
g
gY M = 4πgs y
Y M Nc = 4
ls
Las cuentas del lado de cuerdas están bajo control cuando el
el acoplamiento es débil y la curvatura pequeña:
gs ! 1
y
Nc ! 1
y
Esto implica que:
R4
!1
4
ls
2
gYM
Nc ! 1
2
definimos λ ≡ gYM
Nc
i.e., podemos estudiar la teoría de norma en el límite de N
grande y con acoplamiento fuerte.
Diccionario (en construcción):
4
R
2
2
g
gY M = 4πgs y
Y M Nc = 4
ls
Las cuentas del lado de cuerdas están bajo control cuando el
el acoplamiento es débil y la curvatura pequeña:
gs ! 1
y
Nc ! 1
y
Esto implica que:
R4
!1
4
ls
2
gYM
Nc ! 1
La correspondencia AdS/CFT es una herramienta que nos
permite obtener información sobre una teoría de norma
fuertemente acoplada a partir de cuentas en una teoría de
cuerdas sobre un fondo curvo.
¿Cómo agregamos quarks?
[Karch,
Katz]
z=0
Quark
D7-branas
=
cuerda
Importante:
z=∞
!
- La masa del quark está dada por m = 1/2πα zm donde zm
es la posición radial donde terminan las D7-branas.
- La punta de la cuerda representa el quark, mientras que el resto
codifica la información sobre el perfil de los campos gluónicos.
Y porque lo vamos a usar más adelante, aclaro:
- Estamos acoplando el campo gluónico a un quark en primera
cuantización
¿Cómo agregamos quarks?
[Karch,
Katz]
z=0
Quark
D7-branas
=
cuerda
z=∞
Importante:
- Para un quark con masa infinita es posible calcular el valor esperado de:
√
λ
!TrF (!x, t)" =
16π 2 |!x|4
2
[Danielsson,
Kruczenski,
Keski‐Vakkuri]
i.e., el campo se comporta como aquel de una carga puntual
¿Cómo agregamos quarks?
[Karch,
Katz]
z=0
Quark
D7-branas
=
cuerda
z=∞
Importante:
- Para un quark con masa finita:
$
√ ! "
#4
"
#6
λ
2πm
2πm|!x|
7
√
√
!TrF 2 (!x, t)" =
−
+
+ ...
2
4
128π
4|!x|
λ
λ
√
λ
ancho de ≡
∼
2πm
la nube
√
λ
|!x| <
2πm
i.e., el campo NO diverge en la fuente
[Hovdebo,
Kruczenski,
Mateos,
Myers,
Winters]
El quark en un mundo
fuertemente acoplado
Queremos estudiar la dinámica del quark en SYM, por tanto
necesitamos estudiar la dinámica de la cuerda en AdS.
!
"
1
2
Utilizamos
SN G = −
d σ − det gab
!
2πα
… e intentamos resolver las ecuaciones de movimiento.
∂t
!
z2
"
Ẋ
1 + X !2 − Ẋ 2
#
− ∂z
!
!
X
"
z 2 1 + X !2 − Ẋ 2
#
=0
Tarea difícil, pero en particular para este fondo se puede
1. Quark acelerado (infinitamente pesado)
z=0
v
v
=
z=∞
Para una trayectoria arbitraria (tipo tiempo) del quark !
x(τ ) la solución
para la cuerda es:
µ
dx
(τ )
µ
X (τ, z) = z
+ xµ (τ )
dτ
Donde τ
[Mikhailov]
µ
dx
(τ ) la velocidad del quark
es el tiempo propio y
dτ
Sobre la solución de Mikhailov
!x(tret )
!x(tret )
z=0
!x(t)
=
!
X(z,
t)
z=∞
La componente temporal y espacial de la solución:
1
t = z√
+ tret
2
1 − !v
y
!v
!
X(t, z) = z √
+ !x(tret )
2
1 − !v
tret ≡ cte , son trayectorias nulas sobre la hoja de mundo de la cuerda
Mensaje: podemos saber como se comporta un segmento de la
cuerda en un instante t y un valor de z , si sabemos lo que
estaba haciendo la punta en un instante tret
Algunas observaciones
Para mover la cuerda necesitamos encender un campo eléctrico en la D7,
esto corresponde a agregarle a la acción de NG el siguiente término:
SF =
!
dτ Aµ (X(τ, zm ))∂τ X µ (τ, zm )
Sustituyendo la solución de Mikhailov en SN G + SF e integrando por
partes SF
!
! ∞
!
R2
dz
µ
SNG + SF = −
dτ
+
dτ
F
(τ
)x
(τ )
µ
2
2πα!
z
zm →0
SNG + SF = −m
!
dτ +
!
dτ Fµ (τ )xµ (τ )
i.e., Partícula relativista sujeta a fuerza externa!
[MCh,
García,
Güijosa]
Además …
La energía total de la cuerda esta dada por:
" #2
"
√ ! ∞
∂X
1
+
∂z
λ
dz
$
E(t) =
" #2 " #2 " #2 " #2 "
2π 0 z 2
"
"
"
"
"
X
∂X
X
X
∂X
+ ∂∂z
− ∂∂t
+
1 − ∂∂t
∂z
∂t ·
"
∂X
∂z
sustituyendo la solución resulta que [Mikhailov]:
√ ! t
2
λ
#a 2 − [#v × #a]
E(t) =
dtret
+ Eq (#v (t))
3
2
2π −∞
(1 − #v )
Término de superficie
√ !
"#zm =0
1
λ
1 ##
√
Eq (!v ) =
= γm
#
2
2π
1 − !v z ∞
i.e., energía intrínseca del quark [MCh,
Güijosa]
#2
La energía total de la cuerda esta dada por:
" #2
"
√ ! ∞
∂X
1
+
∂z
λ
dz
$
E(t) =
" #2 " #2 " #2 " #2 "
2π 0 z 2
"
"
"
"
"
X
∂X
X
X
∂X
+ ∂∂z
− ∂∂t
+
1 − ∂∂t
∂z
∂t ·
sustituyendo la solución resulta que [Mikhailov]:
"
∂X
∂z
#2
√ ! t
2
λ
#a 2 − [#v × #a]
E(t) =
dtret
+ Eq (#v (t))
3
2
2π −∞
(1 − #v )
Fórmula de Lienard!!
Recordar que estamos en una teoría de norma no abeliana y fuertemente
acoplada …
2. Quark acelerado (masa finita)
=
v
z=0
v
z = zm
z=∞
OBJETIVO: obtener la ecuación de movimiento utilizando la solución que
tenemos para el quark con masa infinita.
NOTA: Denotaremos con una tilde a todas las cantidades en z = 0
µ
dx̃
(τ̃ )
µ
X (τ̃ , z) = z
+ x̃µ (τ̃ )
i.e.,
dτ̃
En particular, para la punta de la cuerda en z = zm
dx̃µ (τ̃ )
x (τ̃ ) ≡ X (τ̃ , zm ) = zm
+ x̃µ (τ̃ )
dτ̃
µ
µ
Diferenciando la expresión anterior con respecto al tiempo propio:
dx (τ̃ )
d x̃ (τ̃ ) dx̃ (τ̃ )
= zm
+
dτ̃
d2 τ̃
dτ̃
µ
2 µ
2 µ
µ
y
2 µ
d x
d x̃
=
+ zm
dτ̃ 2
dτ̃ 2
!
3 µ
d x̃
dτ̃ 3
Existe relación de recurrencia que nos permite expresar las variables en
z = 0 en términos de las variables en z = zm
También sabemos que a partir de la acción de NG, podemos obtener la
ecuación de movimiento para la punta de la cuerda, i.e.,
Πzµ ≡
∂LNG
= Fµ
µ
∂(∂z X )
Sustituyendo la solución que tenemos en esta última expresión lo que
se obtiene es
Πzµ
√
λ dτ̃
=
2π dτ
!
1 d x̃
+
2
zm dτ̃
2 µ
"
2 µ
d x̃
dτ̃ 2
#2
µ
dx̃
dτ̃
$
= Fµ
"
dx̃µ (τ̃ )
Además a partir de
X (τ̃ , zm ) = zm
+ x̃µ (τ̃ )
dτ̃
Obtenemos relación entre tiempo propio en z = 0 y z = zm
µ
dτ = dτ̃
2
2
!
1−
2
zm
"
d2 x̃
dτ̃ 2
#2 $
Juntando todo esto y después de un poco de álgebra lo que se obtiene es:
d
dτ
Recordemos zm

µ
m dx
 dτ
#
√
1−
−
√

λ
µ
F
2πm

λ
2
F
2
4
4π m
=
F
√
λ
2 dxµ
− 2πm2 F dτ
1 − 4π2λm4 F 2
µ
[MCh,
García
y
Güijosa]
λ
juega el papel de la longitud de onda de Compton
=
2πm
dx̃µ (τ̃ )
Además a partir de
X (τ̃ , zm ) = zm
+ x̃µ (τ̃ )
dτ̃
Obtenemos relación entre tiempo propio en z = 0 y z = zm
µ
dτ = dτ̃
2
2
!
1−
2
zm
"
d2 x̃
dτ̃ 2
#2 $
Juntando todo esto y después de un poco de algebra lo que se obtiene es:
d
dτ

µ
m dx
 dτ
#
1−
−
√

λ
µ
F
2πm

λ
2
F
2
4
4π m
=
F
√
λ
2 dxµ
− 2πm2 F dτ
1 − 4π2λm4 F 2
µ
[MCh,
García
y
Güijosa]
Ecuación de movimiento para un quark con masa finita en una
teoría cuática no-abeliana y fuertemente acoplada!
Y el contacto con la ecuación de Lorentz-Dirac?
Caso límite: si consideramos una fuerza externa pequeña
√
a primer orden en λ/2πm2 tenemos:
d
m
dτ
!
µ
√
dx
λ µ
−
F
2
dτ
2πm
"
!
λ|F 2 |/2πm2 ! 1
√
µ
λ
dx
2
= Fµ −
F
2πm2
dτ
Y usando md2 xµ /dτ 2 = F , lo cual es consistente con la expansion, tenemos:
m
!
2 µ
√
3 µ
d x
λ d x
−
dτ 2
2πm dτ 3
"
√
λ d2 xν d2 xν dxµ
=F −
2π dτ 2 dτ 2 dτ
µ
Coincide exactamente con la ec. de Lorentz-Dirac!
Y el contacto con la ecuación de Lorentz-Dirac?
Caso límite: si consideramos una fuerza externa pequeña
√
a primer orden en λ/2πm2 tenemos:
d
m
dτ
!
µ
√
dx
λ µ
−
F
2
dτ
2πm
"
!
λ|F 2 |/2πm2 ! 1
√
µ
λ
dx
2
= Fµ −
F
2πm2
dτ
Y usando md2 xµ /dτ 2 = F , lo cual es consistente con la expansion, tenemos:
m
!
2 µ
√
3 µ
d x
λ d x
−
dτ 2
2πm dτ 3
"
√
λ d2 xν d2 xν dxµ
=F −
2π dτ 2 dτ 2 dτ
µ
Juega el papel de te y coincide con el ancho de la nube!
Observaciones finales sobre la ecuación que obtuvimos
d
dτ

µ
m dx
 dτ
#
1−
−
√

λ
µ
F
2πm

λ
4π 2 m4
F2
=
F
√
λ
2 dxµ
− 2πm2 F dτ
1 − 4π2λm4 F 2
µ
1. Se puede checar que ya no tiene patologías!
Observaciones finales sobre la ecuación que obtuvimos,
Reescribiéndola
d
dτ

µ
m dx
 dτ
#
1−
−
√

λ
µ
2πm F 
λ
4π 2 m4
F2
√
λ 2
=F −
F
2πm2
µ
&
√
dxµ
dτ
1
λ
µ
− 2πm
2F
− 4π2λm4 F 2
Y en analogía con la ec. de Lorentz-Dirac, podemos leer que:
2. El cuadrimomento del quark (relación de dispersión modificada):
µ
√
dx
λ µ
m
−
µ
dτ
2πm F
pq = !
1 − 4π2λm4 F 2
3. Tasa a la cual radía el quark:
µ
dPrad
√
λ F2
=
dτ
2πm2
!
dxµ
dτ
√
− 2πmλ 2 F µ
1 − 4π2λm4 F 2
"
'
Ejemplos
1. Movimiento unidimensional
La ecuación de movimiento se reduce a:
2
Ḟ
/(1 − v 2 )
zm F
/(1 − v 2 )3/2
zm
a= !
+
2
4 F
2
1
−
z
/
4
m
1 − zm F
/
Podemos preescribir la trayectoria y resolver la ecuación diferencial para
F
/ o al revés, dada la fuerza externa encontrar la trayectoria.
i) Caso a = 0
F
/ = 0 pero además,
!√
"
1
1 − v2
F
/(t) = ± 2 sech
(t − t0 )
zm
zm
t0 ≡ constante de integración
1
La fuerza es cero en t = −∞ alcanza su valor crítico F
en
/= √
λzm
t = t0 y se vuelve ir a cero cuando t = ∞
Ejemplos
1. Movimiento unidimensional
La ecuación de movimiento se reduce a:
2
Ḟ
/(1 − v 2 )
zm F
/(1 − v 2 )3/2
zm
a= !
+
2
4 F
2
1
−
z
/
4
m
1 − zm F
/
Podemos preescribir la trayectoria y resolver la ecuación diferencial para
F
/ o al revés, dada la fuerza externa encontrar la trayectoria.
/ ≡ constante
ii) Caso F
x(t) = x0 ±
!
1
2
2 F
zm
/
2 + (t − t )2
− zm
0
Muy similar a la solución de una partícula “usual” con aceleración propia
constante (la fuerza externa escala diferente).
Conclusiones
- Obtuvimos una ecuación que describe la dinámica de un quark en una
teoría cuántica no-abeliana y fuertemente acoplada (pero no es QCD).
- Encontramos la tasa a la cual radía dicho quark y estudiamos algunos
ejemplos sencillos de su dinámica.
- Es interesante que en la cuenta aparecen los efectos de amortiguamiento
sobre el quark, sin embargo, los que siente la cuerda son despreciables
(suprimidos por 1/N).
- Mucho trabajo futuro
2
Calcular !TrF (x)" y !Tµν (x)"
¿Qué sucede a temperatura finita? (ver plática
de Juan Felipe ) ¿Posible contacto con el QGP?
Trabajar en teorías más similares a QCD
.
.
.