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Sobre UV/IR y el Color en el
Diccionario Holográfico
Alberto Güijosa
Depto. de Física de Altas Energías
Instituto de Ciencias Nucleares, UNAM
[email protected]
Independientemente de sus posibles aplicaciones,
la correspondencia holográfica es en sí
misma un muy interesante objeto de
estudio
El diccionario que la implementa NO se conoce
por completo, así que seguimos explorándolo
En esta charla, haremos 2 pequeñas
observaciones sobre un par de entradas del
diccionario
Plan
• AdS/CFT, UV/IR, GKPW
• Quarks, Radiación
• UV/IR en el caso dinámico
[César Agón, AG, Juan Felipe Pedraza]
• Coloreando AdS/CFT
[AG]
D-branas vs. Brana Negra
=
[Polchinski]
N Dp-branas
+ Espacio Plano
p-Brana Negra
Tomando p  3 y ultra-bajas energías,
E 1/ L  1/ (4 gc N )1/4 lc , E 1/ lc ,
AdS/CFT
x
SYM N  4 SU ( Nc )
x
z0

z
z 
 CuerdasLIIB en AdS  S
5
2
5
 
2
2
2
ds


dt

dx

dz
Vacío

  
z
2
L
z
4
L
2
r
  g YM N c  4
lc
2
AdS/CFT
x
SYM N  4 SU ( Nc )
x
z0

z
z 
 CuerdasLIIB en AdS  S
5
2
Vacío
Otros estados
5
 
ds     dt 2  dx 2  dz 2 
z
2
Fluctuaciones sobre AdS
(pequeñas o grandes)
Conexión UV/IR

T. de Cuerdas IIB en aAdS5  S
Grupo Conforme SO(4, 2)  SO(4, 2) Isometrías de AdS5
SYM N  4 SU ( Ncc )
5
en particular, dilatación
(t , x )  (st , sx)  (t, x, z)  (st, sx, sz)
(que en verdad deja invariante a
2
L
ds 2  2 ( dx  dx  dz 2 )
z
Así que z escala como una distancia,
2
L
r
z
escala como una energía…
)
Conexión UV/IR

5
SYM N  4 SU ( Ncc )
T. de Cuerdas IIB en aAdS5  S
2
[Susskind,Witten; Polchinski,Peet]
Energía E  r / L
Distintas rebanadas radiales
en AdS describen distintas
escalas energéticas en SYM
r 
x
UV
r
AdS5 ( L)
IR
r 0
Conexión UV/IR

5
SYM N  4 SU ( Ncc )
T. de Cuerdas IIB en aAdS5  S
E  1/ z [Susskind,Witten; Polchinski,Peet]
Energía
Distintas rebanadas radiales
en AdS describen distintas
escalas energéticas en SYM
z0
x
UV
z  L2 / r
AdS5 ( L)
IR
z 
Conexión UV/IR
SYM N  4 SU ( Ncc )
Distancia (resolución)

5
T. de Cuerdas IIB en aAdS5  S
d  z [Susskind,Witten; Polchinski,Peet]
Distintas rebanadas radiales
en AdS describen distintas
escalas de distancia en SYM
z0
x
UV
z  L2 / r
AdS5 ( L)
IR
z 
Conexión UV/IR
SYM N  4 SU ( Ncc )
Distancia (resolución)

5
T. de Cuerdas IIB en aAdS5  S
d  z [Susskind,Witten; Polchinski,Peet]
Implementación
geométrica del grupo
de renormalización
z0
x
UV
z  L2 / r
AdS5 ( L)
IR
z 
Receta GKPW para Correladores
Identifica funciones de partición: ZSYM [ J ]  ZTC[d  J ]
iSSYM  i d 4 xO ( x) J ( x)   D(TC) exp iSTC 
D
(SYM)
exp



 
[Gubser,Klebanov,Polyakov;Witten]
 ( x , z 0)  z 4 J ( x )
En el límite Nc   , gYM Nc   , el lado derecho
se simplifica a
capa de masa
2
 D(TC)exp iS   exp iS
TC
1

Oi1 ( x1 ) Oin ( xn ) 
Z [0] i J i1 ( x1 )
SUGRA

i J in ( xn )
Z[ Ji ]
Ji 0

Para las 2 observaciones
que queremos hacer,
necesitaremos quarks…
Añadiendo Quarks
Antes de límite de bajas energías, teníamos
Nc D3-branas
I
A
,

  CC  
x1 , x 2 , x3
+ fermiones + etc. C , C  1,
CC
E
, Nc
1/ lc ,1/ L

Super-Yang-Mills N  4 U ( N ) en 3+1 dim
(todos los campos en rep. adjunta)
[Witten]
Añadiendo Quarks
Agreguemos ahora branas adicionales,
Nc D3-branas
S
S

,

 1 C  2 C+ fermiones + etc.
C  1,
E
, Nc
1/ lc ,1/ L

x1 , x 2 , x3
Ns D7-branas
x 4 , x5 , x 6 , x 7
Teoría con Quarks

D7-branas
[Karch, Katz]
r  rm
5
SYM N  4 SU ( Nc )
Cuerdas IIB en AdS5  S
Nc sabores de materia
+ Ns
+ N s D7-branas
3
5
(N  2 ) en representación
(enrolladas en S  S )
fundamental
2
g
rm
YM N c
m

2
2 lc
2 zm
Quark

Quark con masa m  
(teoría NO confina)

D7-branas
z  zm
Cuerda c/extremo en zm  0
m
m
1


2

gYM
Nc 2 zm
(ignorar S5 )
Quark
2
GKPW
Tr F , T ,
 , h ,

Quark con masa m  

Cuerda c/extremo en r  
[Maldacena]
P.ej., Tr  F ( x , t ) 
2
 
q

32 x
2
4
[Danielsson,Kruczenski,Keski-Vakkuri]
Perfil tipo Coulomb (como se espera por invariancia
conforme)
Quark y Antiquark

Quark y Antiquark
superpuestos

2 Cuerdas c/orientación opuesta
Quark-Antiquark

Quark-Antiquark
2

Tr  F ( x, t ) 


qq | x | L
1 Cuerda c/AMBOS extremos en z  0
15( 14 )4  L3
8(2 ) x
[Callan,AG]
5
7
(cf.
L2
x
6
)
[Klebanov,Maldacena,Thorn]
Quark-Antiquark

Quark-Antiquark

1 Cuerda c/AMBOS extremos en z  0
Extremos  Quarks , Cuerda  Campo Gluónico (+etc.)
Por la conexión UV/IR, segmentos de la cuerda que se
encuentran más adentro de AdS codifican porciones más
distantes (más IR) del campo gluónico
Quark con Masa Finita
2
Tr F , T ,
Quark con m 
 / 2 zm
GKPW


 , h ,
z  zm
Cuerda c/extremo en zm  0
Quark con Masa Finita


 zm
2 m

2 
5  2 m x  

1 
 

2
  
 

2
Tr  F ( x , t )  
1
4
2
q
2 5/2 

32 x
  2 m x  
 1  
 

      
[Hovdebo,Kruczenski,Mateos,Myers,Winters] 

 
Quark con Masa Finita
Lo que sería un quark aislado
Quark con Masa Finita
Lo que sería un quark aislado está siempre rodeado de una
nube de gluones virtuales que aparecen y desaparecen
Quark con Masa Finita
grosor de nube gluónica
para el quark vestido


 zm
2 m

2 
5  2 m x  

1 
 

2
  
 

2
Tr  F ( x , t )  
1
4
2
q
2 5/2 

32 x
  2 m x  
 1  
 

      
[Hovdebo,Kruczenski,Mateos,Myers,Winters] 

 
Conexión UV/IR
SYM N  4 SU ( Ncc )
Distancia (resolución)

5
T. de Cuerdas IIB en aAdS5  S
d  z [Susskind,Witten; Polchinski,Peet]
z0
d  zm
x
UV
z  L2 / r
IR
z 
Conexión UV/IR
SYM N  4 SU ( Ncc )
Distancia (resolución)

5
T. de Cuerdas IIB en aAdS5  S
d  z [Susskind,Witten; Polchinski,Peet]
z0
d  zm
x
UV
z  L2 / r
IR
z 
Quark con Masa Finita
grosor de nube gluónica
para el quark vestido


 zm
2 m
Notar que desde lejos,
|x|
zm
el quark parece
puntual

2 
5 x  

1   

2  zm 
 
2

Tr  F ( x , t )  
1

4
5/2
q
32 2 x    x 2  
 1     
   zm   
[Hovdebo,Kruczenski,Mateos,Myers,Winters]
 
 
Quark Estático

Quark en reposo

Cuerda vertical en x  0
Quark Empujado
v

v
Quark con v constante

Cuerda vertical con v constante
Quark Acelerado
x (t )

x (t )
Para un quark acelerado, cuerda cuelga detrás del extremo
y codifica radiación gluónica emitida por el quark
Quark Acelerado
x (t )
x (t )

X ( z, t )
Para un quark acelerado, trayectoria de la cuerda X ( z, t )
se determina extremizando la acción de Nambu-Goto
S NG
1

dtdz
2 
2 lc
2
2


X

X

X
X
 
2
Quark c/Masa Infinita

x  ( )

x ( )

x
Solución para trayectoria tipo tiempo arbitraria (!!) ( )

dx
( ) 

X ( , z )  z
 x ( ) [Mikhailov ]
d
tiempo propio
Esta solución es „retardada‟ (or „puramente saliente‟)
Quark c/Masa Infinita

x (t )
v (t )
x (t )
v (t )
Solución para trayectoria tipo tiempo arbitraria (!!) x (t )
X (t , z )  z
tz
v (tret )
1  v (tret ) 2
1
1  v (tret ) 2
 x (tret )
[Mikhailov ]
 tret
Quark c/Masa Infinita

x (t )
v (t )
x (tret )
v (tret ) x (t )
v (t )
X (t , z )
Solución para trayectoria tipo tiempo arbitraria (!!) x (t )
X (t , z )  z
tz
v (tret )
1  v (tret ) 2
1
1  v (tret ) 2
 x (tret )
[Mikhailov ]
 tret
Quark c/Masa Infinita

x (t )
v (t )
x (tret )
v (tret ) x (t )
v (t )
X (t , z )
Solución para trayectoria tipo tiempo arbitraria (!!) x (t )
X (t , z )  z
tz
v (tret )
1  v (tret ) 2
1
1  v (tret ) 2
 x (tret )
[Mikhailov ]
 tret
Radiación Quark c/Masa Infinita
x (t )

x (t )
X ( z, t )
Teniendo una solución para el encaje X ( z, t ) , la receta
GKPW requiere que calculemos el dilatón producido
por la cuerda cerca de la frontera,
 ( x, z)   dt dz Propagador( x, z; x, z) Nambu-Goto(t , z)
Radiación Quark c/Masa Infinita

x (t )
x (t )
X ( z, t )
Teniendo una solución para el encaje X ( z, t ) , la receta
GKPW requiere que calculemos el dilatón producido
por la cuerda cerca de la frontera, para extraer
1

Tr F ( x)   lim  3  z ( x, z ) 
q
z 0 z


2
(o gravitón para obtener tensor de energía-momento)
Radiación Quark c/Masa Infinita
Tr F ( x) 

2
q
16  x  x( 0 )   v( 0 ) 
2
4
con 1 solo tiempo retardado  x  x( 0 )   0
2
[Chernicoff,AG,Pedraza ]
¡Este resultado coincide exactamente (salvo
normalización) con el de Lienard-Wiechert!
En el perfil de T ( x) q (calculado usando el
gravitón) se encuentra básicamente el mismo
acuerdo con electro clásico
[Hatta,Iancu,Mueller,Triantafyllopoulos]
Quark c/Masa Finita


x ( )

x ( )
x  ( )
zm  0
Generalizar a masa finita imponiendo c. de borde en z  zm
Solución requerida puede verse como porción z  zm

dx
( )


de solución de Mikhailov X ( , z )  x ( )  z
d
Quark c/Masa Finita


x ( )

x ( )
x  ( )
zm  0
Generalizar a masa finita imponiendo c. de borde en z  zm
Solución requerida puede verse como porción z  zm

dx
( )


de solución de Mikhailov X ( , zm )  x ( )  zm
d
x  ( )
Radiación Quark c/Masa Infinita
2
Tr F ( x)
q



32  x  x   v
2
2
zm   x  x  (v  azm )
5
 2  x  x   v  zm3 1   x  x   a
3
3
 zm  x  x   v 2   x  x   (2a  4 j zm  szm2 )  a2 zm2 
2
 zm2  x  x   v 4  4( x  x   a) 2  2  x  x   j zm
 3( x  x   j ) 2 zm2   x  x   szm2  a2 zm2

  x  x   a  8   x  x  (2 j   szm ) zm  a2 zm2 
con 1 solo tiempo retardado
 x  x( 0 ) 
2
  zm2
[Chernicoff,AG,Pedraza ]
Masa Finita vs. Infinita
x  ( )

x  ( )

x ( )
zm  0
La diferencia entre ambos casos es que, para masa finita, a
la cuerda le falta la porción UV 0  z  zm
Por la conexión UV/IR, esperamos entonces que ambos
resultados coincidan si | x |
zm
¡Pero al comparar, podemos ver que NO coinciden!
Radiación Quark c/Masa Infinita
2
Tr F ( x)
q



32  x  x   v
2
2
zm   x  x  (v  azm )
5
 2  x  x   v  zm3 1   x  x   a
3
3
 zm  x  x   v 2   x  x   (2a  4 j zm  szm2 )  a2 zm2 
2
 zm2  x  x   v 4  4( x  x   a) 2  2  x  x   j zm
 3( x  x   j ) 2 zm2   x  x   szm2  a2 zm2

  x  x   a  8   x  x  (2 j   szm ) zm  a2 zm2 
con 1 solo tiempo retardado
 x  x( 0 ) 
2
  zm2
[Chernicoff,AG,Pedraza ]
Conexión UV/IR Dinámica

x  ( )
x  ( )

x ( )
zm  0
Para tener acuerdo se requiere
x  x   azm  x  x   j zm2  x  x   szm3

zm
,
,
,
 x  x   v  x  x    v 
 x  x   v  x  x   v
es decir,
 zm
x  x
,  zm a ,  zm2 j  ,  zm3 s
1
1
(se obtiene la misma conclusión a partir de T ( x)
q
)
Conexión UV/IR Dinámica

x  ( )
x  ( )

x ( )
zm  0
Trabajos potencialmente relacionados:
[Czech,Karczmarek,Nogueira,Van Raamsdonk;
Hubeny,Rangamani]
 zm
x  x
,  zm a ,  zm2 j  ,  zm3 s
1
(se obtiene la misma conclusión a partir de T ( x)
q
)
¿Color en AdS/CFT?
SYM N  4 SU ( Ncc )

T. de Cuerdas IIB en aAdS5  S
5
Simetrías:

Simetría R SU (4) SO(6) 
16+16 supersimetrías 
Grupo de Norma SU ( Nc ) 

¡ Nada !
Grupo Conforme SO(4, 2)
SO(4, 2) Isometrías de AdS5
SO(6) Isometrías de S5
32 supersimetrías
¡ Nada !
Difeomorfismos 9+1 dim
Estas 2 últimas no son en realidad simetrías, sino
redundancias de la descripción
La correspondencia opera al nivel de cantidades
físicas, que son por tanto invariantes de norma
¿Color en AdS/CFT?
SYM N  4 SU ( Ncc )

T. de Cuerdas IIB en aAdS5  S
5
Pero… de las transformaciones SU ( Nc )
i 


I
I  
A ( x)  AI ( x)tCC  exp i I ( x)t   A ( x) 
  exp  i I ( x)t I 
gYM 

 ( x)   ( SC) ( x)  exp i I ( x)t I  ( x) C , C  1, , N c I  1, , N c2  1
las que en verdad son solo redundancias son las
locales, es decir, aquellas que se reducen a la
identidad ( I ( x)  0 ) en el infinito
Las transformaciones globales ( I ( x) 
/ 0 en el infinito)
son verdaderas simetrías
Es por esta parte global que Noether da el color como
carga conservada
¿Color en Teorías No Abelianas?
Las teorías no abelianas con la que estamos más
familiarizados son QCD y YM, que son teorías que
confinan: NO hay estados con color
Pero en una teoría que no confina, como SYM N  4 ,
nada prohibe que existan estados con color
No debemos confundir la exigencia de que los estados
físicos sean invariantes de norma con la ausencia
de color: la invariancia de norma se refiere solo a la
parte local
¿Color en Teorías No Abelianas?
En este respecto, la situación es exactamente análoga al
caso abeliano, como QED:
La invariancia bajo el grupo de norma U (1) NO impide
que existan estados FÍSICOS con carga eléctrica, que
es la carga de Noether asociada al U (1) global
electron; p  , sz
¿Color en Teorías No Abelianas?
En este respecto, la situación es exactamente análoga al
caso abeliano, como QED:
La invariancia bajo el grupo de norma U (1) NO impide
que existan estados FÍSICOS con carga eléctrica, que
es la carga de Noether asociada al U (1) global
(Pero, lo que en ambos casos sí podemos notar es que,
contrario a lo que normalmente parece decirse,
 ( x) 0 NO es un estado de quark/electrón, porque no
es invariante de norma
Necesitamos vestirlo p.ej. con una línea de Wilson,
 x 

P exp  i  dy A ( y )   ( x) 0 )


¿Color en AdS/CFT?
SYM N  4 SU ( Ncc )

T. de Cuerdas IIB en aAdS5  S
En la correspondencia, debe entonces existir del lado de
gravedad un grado de libertad discreto
C  1, , Nc
que es dual al color
Esta entrada del diccionario es de interés en sí misma, y
relevante además para al menos una aplicación: la
búsqueda de una implementación holográfica de la
superconductividad de color (condensado con
carga de color) Ver p.ej.
[Basu,Nogueira,Rozali,Stang,Van Raamsdonk]
5
¿Color de Quark en AdS/CFT?

x  ( )

x ( )
Quark pesado corresponde a cuerda macroscópica, y
por ello nos da un buen caso de estudio para
entender la implementación del color en AdS/CFT
Dado que el extremo superior ( z  zm ) es dual al
quark, parece el lugar natural donde debiera residir
el índice de color
Pero varias líneas de evidencia apuntan a otra conclusión
Quark-Antiquark a T Finita
N  N  1  N 1
v
v
2
Par quark-antiquark en
singulete
v
v

Cuerda en forma de U c/extremos
incialmente coincidentes
[Herzog,Karch,Kovtun,Kozcaz,Yaffe; Chernicoff, AG ]
Quark-Antiquark a T Finita
N  N  1  N 1
v
v
2
v
v

Par quark-antiquark en
Cuerda en forma de V c/extremos
representación adjunta
incialmente coincidentes
[Chernicoff, AG ]
Quark-Antiquark a T Finita
N  N  1  N 1
v
v
2
Par quark-antiquark en
singulete
v
v

Cuerda en forma de U c/extremos
incialmente coincidentes
[Herzog,Karch,Kovtun,Kozcaz,Yaffe; Chernicoff, AG ]
SIN carga de color
NO toca el horizonte
Quark-Antiquark a T Finita
N  N  1  N 1
v
v
2
v
v

Par quark-antiquark en
Cuerda en forma de V c/extremos
representación adjunta
incialmente coincidentes
[Chernicoff, AG ]
CON carga de color
SÍ toca el horizonte
No Confinante vs. Confinante

Quark y Antiquark
superpuestos
Con color
(por separado)

2 Cuerdas c/orientación opuesta
Cada cuerda
toca el horizonte
No Confinante vs. Confinante

Quark-Antiquark
Sin color

1 Cuerda c/AMBOS extremos en z  0
No toca el horizonte
No Confinante vs. Confinante

z  zconf

Quark-Antiquark
1 Cuerda c/AMBOS extremos en z  0
En teorías con confinamiento, la geometría tiene un
„piso‟ en el IR, y la cuerda debe tener AMBOS extremos
en la frontera
[Witten; Sonnenschein et al.; …]
No puede haber
color neto
No existe horizonte
AdS Poincaré vs. Global
Espacio máximamente simétrico con curvatura negativa,
definido como (cubierta universal de) hiperboloide en R 4,2 :
 X  X  X  X  X  X  L
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
AdS Poincaré vs. Global
Espacio máximamente simétrico con curvatura negativa,
definido como (cubierta universal de) hiperboloide en R 4,2 :
 X  X  X  X  X  X  L
Coords. globales: 0   ,      , 0   A  1
2
0
2
1
2
2
X 0  L cosh  cos 
2
3
2
4
2
5
( A  1,
2
, 4,
 A A  1)
X A  L senh   A
X 5  L cosh  sen
 ds 2  L2   cosh 2  d 2  d  2  senh 2  d 32 
AdS Poincaré vs. Global
Espacio máximamente simétrico con curvatura negativa,
definido como (cubierta universal de) hiperboloide en R 4,2 :
 X  X  X  X  X  X  L
Coords de Poincaré (u horosféricas) 0  r ,    t , x  
2
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
L2  r 2 2 2 2 
X 0  1  4  L  x  t   ,
2r  L

r
X x
L
L2  r 2 2 2 2 
X 4  1  4  L  x  t   ,
2r  L

r
X5  t
L

2
2
r
L
ds 2  2  dt 2  dx 2   2 dr 2
L
r
2
AdS Poincaré vs. Global
Coords de Poincaré cubren
solo un pedazo de AdS
Teoría dual es SYM en
Minkowski 3+1
Observadores a z=cte. comparten un horizonte
de aceleración en z=0 (como en Rindler)
AdS Poincaré vs. Global
Coords globales
cubren todo AdS
Teoría dual es
SYM en S3 x R
Sobre 3-esfera, ley de Gauss prohibe carga neta
AdS Poincaré vs. Global
Coords de Poincaré
Teoría dual es SYM en
Minkowski 3+1
Quark aislado
(con color):
cuerda
termina en
horizonte
AdS Poincaré vs. Global
Coords globales
Teoría dual es
SYM en S3 x R
Quarkantiquark
(sin color):
cuerda
termina en
frontera
(no hay
horizonte)
Amplitudes de Dispersión

Dispersión de gluones
(divergente en IR)
D3
z  1/ 
Dispersión de cuerdas abiertas
sobre D3 regularizadora
[Alday,Maldacena; Berkovits,Maldacena; etc.]
Gluones tienen color
(Ver también
Ambos extremos de las
cuerdas terminan en
el horizonte
[Gubser,Gulotta,Pufu,Rocha; etc.])
Color de Quark en AdS/CFT

x  ( )

x ( )
Conclusión: el color reside no en z  zm (extremo de
sabor) sino en el horizonte z  
( z  1/  T )
En restrospectiva, esto es consistente con conexión
UV/IR: z   corresponde a IR, sensible a parte
global de grupo de norma
Color en AdS/CFT
Coords de Poincaré
Teoría dual es SYM en
Minkowski 3+1
Cada extremo de la
cuerda en el
horizonte tiene un
índice escondido
C  1, , Nc
(un grado de libertad
no dinámico) que
transforma bajo la
parte global de
SU ( Nc )
Color en AdS/CFT
Coords de Poincaré
Teoría dual es SYM en
Minkowski 3+1
Cada extremo de la
cuerda en el
horizonte tiene un
índice escondido
C  1, , Nc
(un grado de libertad
no dinámico) que
transforma bajo la
parte global de
SU ( Nc )
D-branas vs. Brana Negra
Notar que esto es cierto incluso para las p-branas negras
ANTES de tomar el límite de Maldacena:
=
[Polchinski]
N Dp-branas
+ Espacio Plano
p-Brana Negra
Chan-Paton
Recordando conexión
Factor de Chan-Paton
I
J
I , J  1,
D-branas múltiples
N Dp-branas
,N
1
x,
,x
p
Branas de Horizonte
Coords de Poincaré
Teoría dual es SYM en
Minkowski 3+1
La existencia del color
sugiere la presencia
de N c branas de
algún tipo en el
horizonte
Branas de Horizonte
Coords globales
Teoría dual es
SYM en S3 x R
La existencia del color
sugiere la presencia
de N c branas de
algún tipo en el
horizonte
Lo curioso es que su
existencia depende
del observador
Esto recuerda el
„paradigma de la
membrana‟: ¡parece
que decimos que esa
membrana es
múltiple!
Conclusiones
Conclusiones
La conexión UV/IR es sutil en
situaciones dinámicas
El color vive en el horizonte
Transparencias de Respaldo
Lazos de Wilson
La equivalencia quark=cuerda conduce entonces de
manera natural a una receta para lazos de Wilson:

Tr  P exp i  C dx  A ( x) 





SYM
  DX exp iScuerda [ X ]
X (r  )  C
[Rey,Yee; Maldacena; Drukker,Gross,Ooguri]


C
x ( )

x ( )
C
Lazos de Wilson
La equivalencia quark=cuerda conduce entonces de
manera natural a una receta para lazos de Wilson:

Tr  P exp i  C dx  A ( x) 





SYM
  DX exp iScuerda [ X ]
X (r  )  C
capa de masa
 exp iScuerda
[ X ]
2
en el límite Nc   , gYM Nc  
(La traza del lado izquierdo se toma en rep
fundamental del grupo de norma. Trazas en otras
reps involucran a cuerdas ligadas a D3- o D5branas)
[Drukker,Fiol; Hartnoll,Prem Kumar;
Yamaguchi; Gomis,Passerini]
Añadiendo Quarks
Agreguemos ahora branas adicionales,
Nc D3-branas
S
S

,

 1 I  2 I+ fermiones + etc.
I  1,
E
, Nc
x1 , x 2 , x3
Ns D7-branas
x 4 , x5 , x 6 , x 7
1/ lc ,1/ L
 Super-Yang-Mills N  4 U ( N ) en 3+1 dim
+ N s comb. de 4 escalares + 2 espinores (hyperm.N  2 )
en rep fundamental del grupo de norma: “quarks”
[Karch,Katz]
Añadiendo Quarks
En límite de bajas
energías, la
descripción dual
reemplaza a D3s con
AdS
Nc , es posible
Si N s
ignorar la retroacción de
las D7s sobre geometría
AdS (= aproximación
`apagada‟ de QCD en la
red, donde se ignoran
lazos de quarks)

D7-branas
[Karch, Katz]
S
3
r  rm
AdS5  S5
r
S
1
2
3
x
,
x
,
x
5
Teoría con Quarks

D7-branas
r  rm
5
SYM N  4 SU ( Nc )
Cuerdas IIB en AdS5  S
Nc sabores de materia
+ Ns
+ N s D7-branas
3
5
(N  2 ) en representación
(enrolladas en S  S )
fundamental
[Karch, Katz]
Quark

Quark con m 
 / 2 zm

D7-branas
z  zm
Cuerda que termina en zm  0
Notar que estamos acoplando el campo gluónico
(+etc.) a un quark entendido como partícula
clásica (buena aproximación si el quark es pesado):
 Dx( )DA ( x ') exp iS[ A( x '), x( )]  DA ( x ') exp iS[ A( x '), x
cl
( )]