Números, fábulas, infinitos e imaginación - UAM-I

Números, fábulas, infinitos e imaginación
Caupolicán Muñoz Gamboa
Departamento de Ingenierı́a Eléctrica
UAM–Iztapalapa
Recibido: 6 de marzo, 2007
Aceptado: 7 de mayo, 2007
ser una revista universitaria de divulgación. Por otro
lado, tomando como punto de partida que una página ocupa un espacio promedio de aproximadamente
una cuartilla y que en esta corta extensión puede escribirse sobre cualquier tema, incluyendo por supuesto algunos que no son materia de esta revista, la cantidad de información que puede contener es virtualmente infinita.
Resumen
Se abordan varios temas elementales, como los detalles matemáticos y de creatividad de una simple
página escrita, las consecuencias de una vieja fábula sobre una conocida carrera de animales y el sorprendente ganador, una historia imaginaria respecto de simios escritores y sus productos literarios,
o ciertos detalles importantes de algunos números
destacados que han tenido impacto en nuestra formación o en nuestra cultura, todos ellos vinculados a descubrimientos importantes de las matemáticas, como los números infinitos y sus muy variadas
implicaciones.
Para aclarar esta idea hay que considerar que el proceso de escribir consiste en dejar impresa una serie
de sı́mbolos de nuestro idioma en una forma especı́fica y ordenada. Por eso, es increı́ble que todos los autores que se expresan en cualquier lengua occidental
y que utilizan los mismos sı́mbolos del idioma pueden
producir resultados ya sea interesantes, amenos, divertidos, profundos, informativos o curiosos al abordar temas culturales, históricos, polı́ticos, académicos y del más diverso contenido.
Introducción
Aunque para algunos las matemáticas pueden ser un
gran dolor de cabeza, tal vez porque utiliza un lenguaje complejo a base de sı́mbolos y conceptos aparentemente alejados de la realidad, la verdad es que
los números nos asaltan a cada rato en nuestra vida cotidiana. Sabemos que no sólo sirven para contar o evaluar entes económicos, sino que están presentes en los lugares más inesperados como en las tallas de la vestimenta o el calzado, la velocidad de
los automóviles, las distancias entre ciudades, nuestras caracterı́sticas fı́sicas como edad, peso o altura,
los resultados de exámenes clı́nicos y hasta en la zona postal de nuestra residencia, entre mil otros lugares. Por ello, basta hurgar un poco para encontrarlos en casos menos evidentes, como al analizar una
simple página como la que usted se encuentra leyendo en esta revista; al reconsiderar las implicaciones de la antigua fábula de la liebre y la tortuga; al comprobar la trascendencia de una historia
más moderna, como la de los infinitos simios que intentan obtener las obras de Shakespeare, y los pormenores de la historia de algunos números.
Entrando en los detalles de la escritura de una página, desde otro punto de vista y recurriendo a un simple cálculo, se encuentra que en una cuartilla pueden
disponerse unos 4000 caracteres, organizados en cerca de 700 palabras que completan aproximadamente 7 párrafos en unos 50 renglones. Con el propósito de continuar con este cálculo, supóngase que para este efecto sólo se utilizan las letras individuales
del idioma español, que son 27, ya que se toma la letra ‘w’ pero que no se consideran como diferentes las
vocales acentuadas y las mayúsculas (con más exactitud, se tiene como elementos principales a las letras a b c d e f g h i j k l m n ñ o p q r s t u
v w x y más z). Para completar un conjunto apropiado de sı́mbolos comprensibles en cualquier idioma, a los anteriores deben agregarse los 10 números arábigos y unos 13 signos de puntuación, escogidos de entre los más usados (o sea: 1 2 3 4 5 6
7 8 9 0 ¿ ? ¡ ? “ : ; ’ . , más paréntesis y espacio), con lo que se llega a un total de 50 caracteres diferentes.
Espacio y variedad
En cada página escrita de una revista como ésta se
aborda los más diversos temas en una forma directa y al mismo tiempo muy variada, lo que está en
pleno acuerdo con el más puro estilo de lo que debe
Por tanto, tomando en cuenta que en una cuartilla
deben llenarse cada uno de los 4000 espacios con estos 50 sı́mbolos diferentes, en principio podrı́an completarse cincuenta elevado a cuatro mil cuartillas
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Con tal cantidad de hojas podrı́an abastecerse trillones (1024 ) de bibliotecas compuestas de billones
(1012 ) de libros, cada uno de ellos con millones (106 )
de páginas en cuatrillones (1048 ) de planetas, ¡y sobrarı́an libros para repetir toda esta operación cerca de un quintillón (1096 ) de veces! Por ello no debe sorprender que si estas cuartillas se apilan en
una torre se llegarı́a a alcanzar una distancia que
muy rápidamente cruzarı́a la frontera del universo
conocido.
No deja de ser satisfactorio comprobar, después de
haber visto estas cifras, que periodistas, poetas, escritores o simples personas pueden continuar escribiendo página tras página sin que su creatividad
y su talento se vean restringidos en lo más mı́nimo, ya que en sólo una página hay espacio suficiente para dejar correr la imaginación y rebasar
los lı́mites de la inspiración, de modo que podamos continuar encontrando lecturas interesantes y
diversas en el breve y fecundo espacio de una simple cuartilla tanto en revistas, folletos, libros, como
periódicos.
Matemáticos del Islam, s.XIV
con contenidos distintos, aunque posiblemente una
gran parte de ellas no serı́a en absoluto interesante o
podrı́an contener muchas similitudes. Sin embargo,
el resultado es una cantidad tan increı́ble que es algo superior a un 7 seguido de ¡seis mil setecientos noventa y cinco ceros! Ante cifras tan elevadas, podrı́a
observarse que muchas de las secuencias de sı́mbolos no contienen información relevante (por ejemplo: aaaaa, xzykw, ?;¿?3:’, etc.) de modo que la abultada cifra que se ha obtenido podrı́a disminuir bastante si se descartan estos casos y los de las cuartillas que difieren muy poco entre sı́. Para realizar este
nuevo cálculo debe suponerse que después de una letra cualquiera no puede ir otra en forma indiscriminada, sino que habrı́a algunas con mayor probabilidad que otras para continuar con la secuencia. Si se
toma en cuenta que en el escrito total la probabilidad
de cada letra siguiente debe ser baja y que en promedio podrı́a ser algo inferior al 2 %, el número de cuartillas escritas (esta vez con contenidos más interesantes que simples secuencias de sı́mbolos y con diferencias notables entre ellas) podrı́a disminuir a una cantidad comparable al número uno seguido por más de
180 ceros.
Números interesantes
Si las cifras anteriores nos han sorprendido por su
magnitud, a lo largo de la historia diversos descubrimientos matemáticos han ido revelando algunos
números mucho más pequeños que tienen propiedades singulares, por lo que podrı́an denominarse
“números interesantes”. Para dar algunos ejemplos
históricos podrı́amos señalar el muy conocido número pi (3.14159265359...), que es igual al cociente que
resulta de dividir la circunferencia de un cı́rculo cualquiera entre el diámetro del mismo; la raı́z cuadrada de dos (1.414213562373...); y el número “e”, base
de los logaritmos naturales (2.718281828459...). Estos tres números tienen la particularidad de que se
encuentran entre los primeros números “irracionales” descubiertos por el ser humano, denominados
ası́ porque no pueden ser expresados como un cociente de dos números enteros y se caracterizan porque se expresan siempre como un entero (o un cero) seguido de una secuencia infinita de decimales
que no siguen ninguna regla conocida.
En un ámbito menos rebuscado, algunos números
enteros también son interesantes;
porque son la raı́z cuadrada entera de un número mayor (por ejemplo 2 es la raı́z cuadrada de
4);
porque tienen un interés cabalı́stico (el 7 y el
13, por ejemplo);
porque son primos como el 11 y el 13 (ya que no
pueden obtenerse por ningún producto de otros
enteros, excepto el dado por ellos mismos y la
unidad);
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porque forman una secuencia en especial (por
ejemplo, el número mil doscientos treinta y cuatro millones quinientos sesenta y siete mil ochocientos noventa = 1234 567 890);
porque son la base de un sistema numérico (el
número 2 del sistema binario y el 10 del sistema
decimal); porque es el número de mi teléfono, o
porque se escriben igual de atrás para adelante
(lo que se llama capicúa), entre otras múltiples
razones.
En forma análoga, entre los números que no son enteros (conocidos genéricamente por los matemáticos como “reales”) existen muchos que pueden ser
llamados interesantes, porque resultan de la solución de un problema fı́sico (como la aceleración
de gravedad = 980.665 cm/s2); porque son constantes universales (como la constante de Boltzmann = 0.0000861708 eV/K); porque dan la relación entre dos unidades de medición diferentes
(1 pulgada = 2.54 cm); porque indican una condición fı́sica especial (la temperatura cero absoluto =
–273,15◦ C); porque forman parte de una secuencia
especı́fica (0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, etc.); porque resultan de un cálculo numérico (por ejemplo, log 2 =
0.30102999566. . . ); o, finalmente, por múltiples razones del más diverso tipo que pueden imaginarse
fácilmente.
Puesto que existen estos números interesantes, uno
puede preguntarse si existirán algunos que no puedan ganarse ese tı́tulo bajo ninguna circunstancia
pero, resulta fascinante comprobar que no existe un
solo número que carezca de interés. Para demostrar lo anterior podemos imaginar que si existiera un conjunto de tales números “no interesantes”
tendrı́a que haber entre ellos uno que fuera el menor de todos. Sin embargo, la propia existencia de este mı́nimo lo hace destacar y le proporciona interés,
ya que en tal caso se caracterizarı́a por ser “el menor
del conjunto de números no interesantes”. En consecuencia, como no puede haber un mı́nimo “no interesante”, tampoco puede haber un conjunto de números que no tengan interés, lo que significa finalmente que todos los números tienen que ser interesantes de una forma o de otra.
La demostración anterior, que posiblemente puede
deleitar a muchos matemáticos, nos hace ver que
si escogemos arbitrariamente un número cualquiera, necesariamente tiene que existir una razón para que lo consideremos interesante. Esto deberı́a
ser suficiente para que los seres humanos comunes y corrientes tomemos más en serio a los números y, en consecuencia, a las matemáticas. Sin embargo, esta última reflexión no está exenta de una
gran dosis de optimismo, como puede comprenderse
fácilmente.
Cı́rculo lı́mite. M. C. Escher.
El célebre número π
Como ya se mencionó, parece que los matemáticos de la antigüedad se sentı́an más cómodos trabajando casi siempre con números enteros, de modo que cuando necesitaban utilizar cifras fraccionarias las representaban como simples divisiones de enteros. Estos números, resultado de un cociente de
dos enteros y denominados racionales, pueden escribirse como una parte entera (o un cero), un punto y una serie infinita de dı́gitos en la que tarde
o temprano aparecerá en la secuencia un conjunto de uno o más números que se repiten infinitamente. Por ejemplo en 1/6 = 0.1666. . . , se repite
el 6 y en 1/7 = 0.142857. . . , se repite la secuencia 142857. A veces ocurre que la sucesión se interrumpe como en 1/8 = 0.125, lo que puede interpretarse como que el número que se repite es cero. Como puede verse, las fracciones sirven muy bien para escribir en forma exacta cualquier número racional pero, el número π no puede representarse en forma fraccionaria con total exactitud porque se descompone en una serie infinita de dı́gitos que no siguen una secuencia especı́fica y que por ello es imposible escribir, ni siquiera en forma abreviada. Esta circunstancia, parece que fue un poco difı́cil de
aceptar por los matemáticos antiguos, ya que produjo una pequeña crisis cuando se encontraron con
él y lo comenzaron a utilizar, ya que es indispensable en múltiples cálculos. Seguramente por esta causa lo bautizaron como número irracional y lo representaron en forma abreviada con la letra griega pi
(π).
Números, fábulas, infinitos. . . Caupolicán Muñoz Gamboa
Como ya se mencionó, este número se define como
la relación exacta entre la circunferencia y el diámetro de cualquier cı́rculo, ya que tal cociente es constante sin importar el tamaño del cı́rculo elegido para determinarlo. Por tal razón (y otras que serı́a largo de enumerar), se ha convertido en una constante fundamental de las matemáticas, la ciencia y la
tecnologı́a, aunque por su definición se trata de un
concepto meramente teórico. Dicho carácter se debe a que nadie puede darse a la tarea de “medirlo” en un cı́rculo cualquiera debido a que tal empresa serı́a no sólo engorrosa, sino que además estarı́a distorsionada por los errores intrı́nsecos de la
medición. Por ello, muchos matemáticos acometieron la tarea teórica de acotarlo, de encontrar valores cercanos o de buscar representaciones aproximadas que permitieran trabajar con él con facilidad. Algunos de los resultados más destacados que
se han encontrado son los que se detallan a continuación. Arquı́medes lo ubicó entre 3.14084 y 3.142858,
con un error de más del 0.1 %, en tanto que el matemático chino Liu Hui (s. III d.C.) lo acotó entre 3.141024 y 3.142704, lo que implica una imprecisión menor a 3 ppm (partes por millón). Por último,
Tsu Chung-Chih (s. V d.C.) lo situó entre 3.1415926
y 3.1415927, lo cual corresponde a un error sorprendentemente menor a 0.1 ppm.
Aunque este último resultado equivale al 0.000001 %,
lo que implica una incertidumbre muy pequeña, trabajar con los intervalos anteriores es muy incómodo. Por eso, muchos matemáticos han preferido utilizar una serie truncada, como los hindúes que usaban el muy conocido 3.1416, Ptolomeo (s. II d.C.),
que lo representaba como 3.14167 y la simple calculadora moderna que lo aproxima a 3.14159265359.
Sin embargo las aproximaciones más sorprendentes
por lo compactas y fáciles de recordar siguen siendo, como en la antigüedad, los cocientes de dos enteros. Los babilonios utilizaron 25/8 = 3.125, los
griegos 22/7 = 3.142857. . . , (los cinco dı́gitos después del punto se repiten indefinidamente), los indios (hindúes), 3927/1250 = 3.1416 (exactamente) y
Fibonacci, 864/275 = 3.1418. . . , (el 18 se repite al
infinito).
En esta especie de competencia por encontrar las mejores y más útiles representaciones del número π (si
no consideramos las aproximaciones modernas vinculadas a los sistemas de cómputo), nos toparemos
con algunas muy destacadas: Viète (s. XVI) lo ubica
entre 3.141592635 y 3.1415926537, con un error inferior a 0.02 ppm y los chinos, que hallaron la sorprendente fracción 355/113 = 3.141592 9203539823. . . , la
cual contiene un error de sólo 0.27 ppm.
Frente a estos esfuerzos históricos, no deja de sorprender que la moderna tecnologı́a digital actual, de-
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bido a sus limitaciones intrı́nsecas, no ha podido representarlo con una exactitud exageradamente mayor. Algunos lenguajes de computadora deben conformarse con el número 3.141592 65358 979324, en
el que aunque el error es inferior a 1 parte en un
millón de billones, sólo contiene 18 de las infinitas cifras de las cuales consta el número π.
Los números irracionales
Regresando a los números irracionales, resulta que
en matemáticas se acostumbra utilizar nombres especiales para cada elemento, estructura o sistema
nuevo que se encuentra en el campo o que es necesario distinguir, lo cual tiene el propósito claro de diferenciar adecuadamente cada una de dichas entidades. Los nombres más conocidos forman parte del
lenguaje común como recta, triángulo, cubo, álgebra o raı́z cuadrada. Otros ejemplos, un poco menos comunes, son los logaritmos, las derivadas, los espacios vectoriales, los tensores o los fractales, lo que
nos da una idea de que debe existir una gran cantidad de elementos de la matemática que llevan nombres peculiares. Algunos de ellos pueden ser especialmente sobresalientes, como los números irracionales. Su curioso nombre proviene del hecho que
los matemáticos acostumbraban a representar los
números que no eran enteros en forma de cocientes
de enteros, los que se denominan “fraccionarios” o
“racionales”.
Esta costumbre tropieza con un problema cuando demostraron que existe una infinidad de números no
enteros, pero que no pueden representarse como fracciones. Ante tal problema, una vez que los matemáticos comprobaron (por ejemplo) que el número pi, la
raı́z de dos, las funciones trigonométricas y los logaritmos (entre muchos otros) no podı́an representarse como simples divisiones de enteros, seguramente les pareció que se trataba de algo incomprensible. Es posible que por esta razón decidieran llamar-
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los “números irracionales”. En cierta forma hay algo de inexplicable en este hecho porque choca abiertamente con nuestra intuición. Por un lado sabemos que existen infinitos números enteros, entonces,
al calcular la fracción A/B (con A y B enteros) deben obtenerse infinitos resultados, porque tanto el
numerador como el denominador pueden tomar infinitos valores. Por otro lado, con mayor razón podemos suponer que en el intervalo comprendido entre el 0 y el uno (por ejemplo) también debe haber infinitos números conocidos como reales. La conclusión
inevitable entonces es que si por una parte hay infinitos números en el intervalo entre el 0 y el 1, en
tanto que por la otra obtenemos infinitos resultados con la fracción A/B además de que existen algunos números singulares que no pueden representarse en la forma A/B. . . , ¡tienen que existir dos infinitos diferentes!
Si esta es la verdadera causa del nombre de los números irracionales les sentarı́a mejor la denominación de
números incomprensibles, sin embargo, lo más importante es que abren la puerta de uno de los resultados más elaborados e interesantes de la matemática moderna: los números no finitos. Efectivamente, puede demostrarse que existen infinitos números infinitos que no son iguales entre sı́. El más pequeño de ellos es el que corresponde a la cantidad
de números enteros (ejemplificado por la secuencia: −∞, · · · , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, · · · , +∞) el que suele representarse con la letra aleph sub cero (ℵ0 ).
El siguiente infinito mayor es la cantidad de números reales que existe en un intervalo cualquiera (como el 0 a 1, del que ya hemos hablado), infinito
que se representa como aleph sub uno (ℵ1 ), y ası́
sucesivamente.
Las preguntas que en este momento saltan a la vista son: ¿para qué llegar a niveles tan elaborados de
elucubración? y ¿cuál serı́a la utilidad de tal descubrimiento? Lo interesante del asunto es que este
aparentemente inútil razonamiento conduce a aclarar la naturaleza de los números, ya que permite
descubrir que pueden existir estructuras cuya dimensión no sea uno (como en el caso de una recta), que no sea dos (como para un área cualquiera) o que tampoco sea tres (como ocurre con los sólidos), sino que tienen dimensión ¡fraccionaria! Lo anterior lleva a las estructuras más extrañas y fascinantes de la matemática moderna: los fractales.
Aunque la mayorı́a de las personas sólo los conoce por sus hermosos diseños representados artı́sticamente en gráficas coloreadas, sus aplicaciones apenas
comienzan a dar frutos no sólo en diversos campos
de la matemática pura, sino también en otras áreas
de más amplia aplicación. Actualmente son una poderosa herramienta para desarrollar modelos que ex-
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La carrera de Aquiles.
pliquen más claramente la naturaleza de toda clase
de sistemas complejos, como los sistemas biológicos,
humanos, mecánicos, de control o electrónicos. Esto
significa que se están encontrando mejores respuestas y soluciones más creativas para una gran cantidad de problemas que son muy reales y que (aparentemente) nada tienen que ver con los números infinitos, tema que abordaremos a continuación.
La tortuga, la liebre y aquiles
La conocida fábula de Esopo sobre la tortuga y la liebre nos deja algunas enseñanzas que no parecen tener relación con los números infinitos, sin embargo,
es posible establecer interesantes nexos con ellos. Como se sabe, en esta fábula la tortuga hace gala de tenacidad intentando llegar a una meta que se supone la liebre alcanzará en muy poco tiempo. Pero, los
animales de estos relatos suelen exhibir todos los defectos de los seres humanos, por lo que la confiada liebre canta victoria antes de tiempo y se pone a descansar tranquilamente en mitad de la carrera. Esta situación es aprovechada por la tortuga para poner su máximo empeño y ganar la célebre competencia. ¿Quién hubiera adivinado este inesperado
final?
Aunque lenta, la tenacidad de la tortuga también
la hizo protagonista de la famosa carrera propuesta
por Zenón en la cual, razonando lógicamente, Aquiles no la puede alcanzar. Como se recordará, en la
anécdota propuesta por el filósofo la tortuga arranca
con ventaja, por lo que cuando Aquiles llega al punto en que ésta se encontraba, ella habrá avanzado un
poco más allá; pero, cuando el corredor llegue a este nuevo punto, la tortuga se habrá movido otro poco, y ası́ sucesivamente hasta el infinito. Para simplificar el análisis puede suponerse 1) que la ventaja inicial otorgada por Aquiles es igual a una distancia de 1/2 = 0.5 unidades de longitud y 2) que la velocidad del corredor es sólo dos veces la de la tortuga, por lo que cuando éste haya recorrido el primer tramo, ésta se encontrará en 1/2 + 1/4 = 0,75
unidades más adelante. Por tanto, los siguientes trechos que recorra la tortuga serán 1/8, 1/16, 1/32, y
ası́ sucesivamente, dando como resultado la secuencia de
1 1 1
1
1
+ + +
+
+ ···
2 4 8 16 32
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unidades para cada uno de los sucesivos tramos.
Desde un punto de vista estrictamente lógico, por cada pequeño tramo recorrido por Aquiles, la tortuga avanzará un tramo aún más pequeño, lo que puede repetirse hasta el infinito, sin que el famoso corredor pueda darle alcance (lo cual constituye el centro
del punto de vista de Zenón) porque tendrı́a que emprender una infinidad de tareas para hacerlo. También puede verse como imposible que Aquiles sea capaz de emprender la súpertarea de recorrer infinitos
tramos, cada vez más pequeños, en infinitos intervalos de tiempo, igualmente más cortos cada vez, para poder dar alcance al esquivo quelonio. Sin embargo, cualquier estudiante de matemáticas podrı́a argumentar que la suma de la secuencia ya mencionada es exactamente igual a uno, por lo que Aquiles alcanzarı́a a la tortuga de nuestra historia sólo en
el doble de tiempo que requirió para recorrer el primer tramo de la carrera.
Esta conocida y antigua paradoja nos lleva a imaginar diversos desenlaces. Primero, el que suponı́a
Zenón, que es lógicamente imposible para el corredor que arranca con desventaja ganar una carrera.
Segundo, contrariamente al pensamiento del filósofo, que es perfectamente posible realizar súpertareas
en tiempos determinados, aunque consistan en infinitas microtareas que demanden cada una de ellas
de microintervalos de tiempo para ser concluidas,
siempre y cuando la suma de estos infinitos intervalos de tiempos sea finita. Tercero, que de acuerdo con Cantor (matemático del siglo XX que descubrió los números transfinitos), hay números más
grandes que el infinito que conocemos, por lo que para ganarle a la tortuga deberı́a ser posible llevar a
cabo súpertareas compuestas por más que infinitas
tareas.
Para comprender lo anterior, hay que aclarar que el
infinito de Zenón es equivalente al compuesto por
todos los números enteros, el que los matemáticos
acostumbran llamar infinito numerable o aleph sub
cero (ℵ0 ) y que es algo ası́ como “el infinito más
pequeño de todos”. Como si esto no fuera suficiente,
existen muchos ejemplos de infinitos “más grandes”
(ℵ1 , ℵ2 , etc.), conocidos como no numerables, uno
de los cuales corresponde al conjunto de todos los
números reales.
Finalmente, estirando la imaginación todavı́a más
puede encontrarse un cuarto desenlace, aún más sorprendente que los anteriores y muy contrario a nuestra concepción del mundo. Este consiste en pensar
que el mundo real no tiene por qué ser lógico y que
solamente se limita a existir. Porque lo cierto es que,
sin importar la solución que propongamos a la paradoja, algo nos dice que nuestros rı́gidos concep-
tos intuitivos de lo lógico, de lo infinito y de lo posible son demasiado estrechos para enfrentar esta clase de problemas y que, por consiguiente, no se ajustan perfectamente al mundo real en donde nos encontramos.
Shakespeare y los monos escritores
Otro caso de infinitos que aparecen en historias antiguas se refiere a una imagen, basada en un planteamiento de Émile Borel, que dice que si se dispone de una cantidad infinita de monos en una larga fila de escritorios (por supuesto que también infinita),
sobre los cuales hay (obviamente) infinitas máquinas de escribir, alguno de ellos escribirá las obras
completas de Shakespeare. El argumento para efectuar tal afirmación se fundamenta en que los resultantes “monotextos simioescritos” son, obviamente,
igual de infinitos.
Tal razonamiento presupone que cada primate golpeará las teclas completamente al azar, de modo que
cada uno de ellos escribirá secuencias aleatorias de
letras y como son infinitos simios, el número de tales monotextos también serı́a infinito. En consecuencia, después de un tiempo prudente tendrı́an que obtenerse todas las combinaciones de textos posibles,
como se mencionó al inicio de esta sección, por lo
que la lógica pretende deducir que alguno de los tex-
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tos tiene que ser el correspondiente a las obras mencionadas.
Para modernizar esta imagen el lector puede considerar simios con teclados de computadora, con sus respectivos procesadores de textos, aunque para el caso también servirı́a una infinita colección de generadores aleatorios de caracteres para sustituir a los monos, lo que darı́a resultados presumiblemente idénticos. En cualquier circunstancia el razonamiento parece correcto, aunque sorprendente no lo es, porque
a pesar de que mediante este procedimiento se obtenga un número infinito de monotextos simioescritos todavı́a quedarı́a sin escribirse un número infinito de textos diferentes a los generados por los primates (e increı́blemente en número mayor a éstos). Lo
anterior se apoya en la teorı́a de los infinitos de Cantor, la que ya se comentó previamente.
Para demostrar tal afirmación, supóngase que los
monotextos se ordenan comenzando con el escrito
por el primero de los simios de la fila, continuando con el segundo, y ası́ sucesivamente. Entonces,
para demostrar que hay escritos que no se encuentran en la secuencia anterior, basta con empezar a escribir un “texto alternativo” que sólo debe que cumplir con lo siguiente: su primer carácter (o caracter,
como se dice actualmente en la jerga de la computación) debe ser diferente del primer carácter del primer monotexto, el segundo carácter debe ser diferente del segundo carácter del segundo monotexto, el
tercer carácter debe ser diferente del tercer carácter
del tercer monotexto, y ası́ sucesivamente hasta terminar con el último. Lo que resulta de este ejercicio es obviamente un texto alternativo que no es
igual a ninguno de los infinitos monotextos simioescritos porque difiere de cada uno de ellos al menos
en un carácter. Todavı́a más sorprendente es observar que al escribir el texto alternativo hay muchas
posibilidades para elegir la forma en que va a diferir de cada uno de los caracteres de los monotextos ordenados, de modo que en lugar de uno pueden escribirse varios o muchos textos alternativos no
sólo diferentes a los infinitos monotextos simioescritos, sino que también distintos entre sı́.
Un razonamiento más elaborado nos llevará a demostrar que la cantidad de textos alternativos es
muy superior a la cantidad de monotextos simioescritos, lo que significa simplemente que la infinita
cantidad de textos que podrı́an producir los primates no necesariamente contendrı́a las obras de Shakespeare y que los infinitos textos alternativos son,
increı́blemente, ¡muchos más! que los monotextos.
La teorı́a de los infinitos de Cantor parece a primera vista una teorı́a matemática demasiado abstracta e inútil, sin embargo, basta este ejemplo para de-
ContactoS 64, 32–38 (2007)
mostrar que hay números infinitos diferentes entre
sı́, que el infinito de la larga fila de simios, escritorios y máquinas de escribir no es “tan grande” como seguramente siempre podemos suponer y, lo que
es más importante, que se requiere que haya existido realmente un Shakespeare para disfrutar de sus
obras, ası́ como que es indispensable que exista un
Garcı́a Márquez para leer “Cien años de soledad”.
En otras palabras, mucho habrá avanzado la tecnologı́a moderna y actualmente se dispondrá de recursos ilimitados con la computación (los que, por cierto, no son infinitos) para realizar las tareas más complejas, sin embargo, el talento y la inteligencia humana no podrán ser fácilmente superados por las
máquinas. Ası́ como ya vimos que no podrı́a hacerlo una infinita cantidad de simios, con sus correspondientes escritorios y máquinas de escribir, tampoco alcanzará este objetivo un ejército de programadores, con incontables computadoras personales
a su disposición y sobrado tiempo de cómputo para concluir tan disparatado proyecto.
Bibliografı́a
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cs