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MATEMÁTICAS
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1 DEL GRADO EN CIENCIAS AMBIENTALES
CURSO 13-14
Hoja de problemas del TEMA 5
1. Determinar si las siguientes funciones y relaciones son solución de las correspondientes ecuaciones diferenciales:
dy
(a) y = Ce4x ,
(b) x2 + y 2 = 4,
y 0 = xy
dx = 4y
2xy
2
2
0
(c) x + y = Cy,
y = x2 −y2
(d) y = 3 cos(2x),
y (4) − 16y = 0
2
2
0
(e) 2x + 3y = C,
2x + 3yy = 0 (f) y = C1 + C2 ln(x),
xy 00 + y 0 = 0
2. Demostrar que φ(x) = Ce3x + 1 es una solución de la ecuación diferencial
y 0 − 3y = −3
para cualquier valor de la constante C.
3. Calcular la solución general de las siguientes ecuaciones de variables separables:
x2 +2
3y 2
(a)
dy
dx
(c)
(e)
(4y + yx2 )y 0 = 2x + xy 2
(d)
3
sin(3x)dx + 2y cos (3x)dy = 0 (f)
=
(b) xy 0 = y
√
1+y 2
y dy
√
x dx =
1+x2
dy
2
dx = 1 − x + y
− xy 2
4. Calcular la solución particular de los siguientes problemas de valor inicial:
(a)
(c)
(e)
dy
dx
dy
dx
+ xy = y,
y(1) = 3
2x
= y+y
y(2) = 3
2,
sin y
dy
= x1+x
y(1) =
cos y dx
2 ,
π
2
dy
(b) y dx
+ (1 + y 2 ) sin x = 0,
y(0) = 1
dy
(d) dx = k(a − y)(b − y),
y(0) = 0, a, b > 0
(f) (1 + x4 )dy + x(1 + y 2 )dx = 0,
y(1) = 0
5. La función Q(t) representa la proporción de un producto quı́mico que ha sido absorbida por una membrana
−t
porosa tras un tiempo t (horas). La tasa de absorción es dQ
dt = t e .
(a) Si inicialmente no se habı́a producido absorción, calcular la proporción absorbida tras 5 horas, y tras
10 horas.
(b) Calcular lı́mt→∞ Q(t) e interpretar el resultado.
6. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales:
(a) y 0 + x1 y + x2 = 0,
(b) y 0 = x2xy
−1 − x,
x+1
(c) y 0 − x y = x(1 − x) (d) y 0 − xy − 2x3 2 = 0.
7. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:
2
2
(a) (3ye3x − 2x)dx + e3x dy = 0, (b) (y 2 exy + 4x3 )dx + (2xyexy − 3y 2 )dy = 0,
(c) (x + 2y)dx = −(2x − 3)dy,
(d) x31y2 dx + ( x21y3 + 2y)dy = 0.
8. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a)
(c)
(e)
(g)
(i)
(k)
(m)
(1 + 2y)dy − (4 − x)dx = 0,
(y cos x + ey )dx + (sin x + xey + 1)dy = 0,
4x3 ydx + x4 dy = 0,
(3x2 + 2y sin 2x)dx + (2 sin2 x + 3y 2 )dy = 0
ey dx + x2 (2 + ey )dy = 0,
x(1 + y 2 )dx + y(1 + x2 )dy = 0,
(3x2 + 4xy)dx + (2x2 + 3y 2 )dy = 0,
(b)
(d)
(f)
(h)
(j)
(l)
(n)
y
y 0 = exxcos
sin y ,
( y12 − xy2 )dx + ( x1 − 2x
y 3 − 2)dy = 0,
y 0 + y = e−2x ,
(x3 + xy 2 )dx + (x2 y + y 3 )dy = 0,
x2 dy − cos2 ydx = 0,
sec2 ydx + cos2 xdy = 0,
ln(y 2 + 1)dx + 2y(x−1)
y 2 +1 dy = 0
SOLUCIONES
3. (a) y 3 =
(e) y 2 =
x3
3
+ 2x + C
1
6 cos2 (3x) + C
x2
1
(b) y = Cx (c) 2 + y 2 = k(4 + x2 ) (d)
2
(f) y = tan(x − x2 + C)
q
2
3
1+y 2
(b)
= ecos x−1 (c) y2 + y3 = x2 + 8
2
4. (a) y(x) = 3ex− 2 − 2
q
2
(e) y = arcsin 1+x
2
(f)
5. (a) ≈ 0,96, ≈ 0,9995
(b) 1.
3
6. (a) y = − x4 +
k
x
7. (a) ye3x − x2 = C
arctan y = − 12 arctan x2 +
√
(b) y = −(x2 − 1) + k x2 − 1
2
(b) exy + x4 − y 3 = C
(c)
(c)
x2
2
y = x2 + kxex
+ 2yx − 3y = C
2
(k)
(n)
y2
x2
2 2
2 +x y + 2 =C
y2
x2
2
2 (1 + y ) + 2 = C
2
(x − 1) ln(y + 1) = C
(i)
(l)
1
x
= −2e−y + y + C
tan x = 12 y +
1
4
1 + y2 =
(d)
√
1 + x2 + C
1
a(b−y) b−a
( b(a−y)
)
= ekx
π
8
8. (a) y(1 + y) = 4x − x2 + C (b) ln( cos1 y ) = xe−x − e−x + C
(d) yx2 + xy − 2y = C (e) y = x41C
(f) y = (−e−x + C)e−x
(h)
p
(j)
sin 2y + C
(d)
(d)
y = − 43 x1 + kx
− 21 x21y2 + y 2 = C
(c) y sin x + xey + y = C
(g) x3 − y cos 2x + y + y 3 = C
tan y = − x1 + C
(m)
2x2 y + y 3 + x3 = C