Derivadas Parciales de Orden Superior

Capı́tulo 9
Derivadas Parciales de
Orden Superior
La extensión a funciones de varias variables del concepto de derivada de
orden superior, aunque teóricamente no ofrece ninguna dificultad, presenta ciertas complicaciones de naturaleza formal que se hacen especialmente
patentes a la hora de establecer las reglas habituales de cálculo. Las complicaciones (al menos las pedagógicas) son algo menores cuando se trabaja
en dimensión finita, ya que entonces el uso de derivadas parciales permite
considerar a las derivadas de orden superior como objetos más “tangibles”.
Comenzaremos, pues, estableciendo en esta lección el concepto de derivada parcial de orden superior.
Definiciones
Conviene tener presente en todo lo que sigue que para que una función f
sea derivable (aunque sea parcialmente) en un punto a es preciso que esté
definida en un entorno de a. Recordemos también que la derivada parcial
∂f /∂xj (a), coincide con la derivada en el punto aj de la aplicación:
xj → f (a1 , . . . , aj−1 , xj , aj+1 , . . . , an ).
o
Sea f : A ⊂ Rn → F, a ∈ A. Llamaremos derivada parcial segunda de
f respecto a xi y xj en el punto a, a la derivada respecto xi de la función
∂f /∂xj en el punto a. Abreviadamente
∂2f
∂ ¡ ∂f ¢
(a) =
(a).
∂xi ∂xj
∂xi ∂xj
91
92
Derivadas Parciales de Orden Superior
9.1
Se deduce, pues, que la función f es derivable respecto a las variables xi y
xj en el punto a, si y sólo si la aplicación
∂f
∂f
:x→
(x)
∂xj
∂xj
está definida en algún entorno de a y admite derivada parcial respecto a xi
en el punto a.
Más generalmente, si j1 , j2 , . . . , jr son números naturales (independientes
entre sı́) comprendido entre 1 y n, definiremos inductivamente
¢
∂ ¡ ∂ r−1 f
∂rf
(a) =
(a).
∂xj1 . . . ∂xjr
∂xj1 ∂xj2 . . . ∂xjr
Cuando el resultado final de una derivación parcial sólo dependa del número
de veces que se deriva respecto a cada variable, y no del orden en que se
realiza tal proceso (esto no sucederá siempre), cabe utilizar una notación
abreviada para designar a las derivadas parciales de orden superior. Ası́
mediante la expresión
∂rf
(a),
∂xi11 ∂xi22 . . . ∂xinn
denotaremos al resultado de efectuar r derivaciones parciales: in respecto a
xn , in−1 respecto a xn−1 , etc. y por último i1 derivaciones respecto a x1 .
Por tanto i1 + i2 + · · · + in = r. Algunos de los ik pueden ser iguales a 0, lo
que expresará que no se realiza derivación alguna respecto a la variable xk
(en cuyo caso omitiremos en la expresión anterior el término ∂xikk ).
El teorema de Schwartz
El teorema más clásico en relación al problema de la permutabilidad de
las derivadas es el conocido como teorema de Schwartz o de las derivadas
parciales segundas cruzadas.
Teorema 9.1 Sea f una función escalar de dos variables. Supongamos que
para cada (x, y) de algún entorno V de un punto (x0 , y0 ), existen
∂f
(x, y),
∂x
∂f
(x, y),
∂y
∂2f
(x, y),
∂x∂y
9.1
Derivadas Parciales de Orden Superior
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∂2f
es continua en (x0 , y0 ). Entonces también existe
∂x∂y
la otra derivada cruzada en (x0 , y0 ), y se verifica que
y que la aplicación
∂2f
∂2f
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ).
∂y∂x
∂x∂y
Demostración. De la definición se deduce fácilmente que
(9.1)
¶
µ
∂2f
f (x, y) − f (x0 , y) − f (x, y0 ) + f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim lim
.
y→y0 x→x0
∂y∂x
(x − x0 )(y − y0 )
Denotemos por G(x, y) = f (x, y) − f (x0 , y) − f (x, y0 ) + f (x0 , y0 ). Vamos a
probar que
∂2f
G(x, y)
=
(x0 , y0 ).
∂x∂y
(x,y)→(x0 ,y0 ) (x − x0 )(y − y0 )
lim
La existencia de este lı́mite doble implicará, por tanto, la del lı́mite iterado
9.1 que es lo que buscamos.
Por hipótesis, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que si |x−x0 | < δ y |y−y0 | < δ,
entonces
¯ 2
¯
¯ ∂ f
¯
∂2f
¯
¯
¯ ∂x∂y (x, y) − ∂x∂y (x0 , y0 )¯ < ε;
además podemos suponer que en este entorno, es decir en la bola de centro
(x0 , y0 ) y radio δ, las tres funciones
∂f ∂f ∂ 2 f
,
,
,
∂x ∂y ∂x∂y
están bien definidas.
Sea (x, y) un punto cualquiera de ese entorno, que lo supondremos fijo en
adelante. Consideremos entonces la función de una variable ϕ(z) = f (x, z)−
f (x0 , z). Es inmediato comprobar que
G(x, y) = ϕ(y) − ϕ(y0 ).
Por otra parte, la existencia de derivada parcial respecto de y en ese entorno
implica que ϕ es derivable, siendo su derivada
ϕ0 (z) =
∂f
∂f
(x, z) −
(x0 , z).
∂y
∂y
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Derivadas Parciales de Orden Superior
9.1
Aplicando entonces el teorema del valor medio a ϕ en el intervalo [y0 −δ, y0 +
δ], se deduce que existe un punto ξy intermedio entre y0 e y tal que
ϕ(y) − ϕ(y0 ) = ϕ0 (ξy )(y − y0 ),
luego,
·
¸
∂f
∂f
G(x, y) =
(x, ξy ) −
(x0 , ξy ) (y − y0 ),
∂y
∂y
que implica
G(x, y)
=
(x − x0 )(y − y0 )
Consideremos ahora la aplicación
g: z →
∂f
∂y (x, ξy )
−
∂f
∂y (x0 , ξy )
x − x0
.
∂f
(z, ξy ).
∂y
Esta aplicación es derivable en cada punto del intervalo [x0 − δ, x0 + δ],
precisamente
µ ¶
∂2f
∂ ∂f
0
(z, ξy ) =
(z, ξy ).
g (z) =
∂x ∂y
∂x∂y
Aplicando entonces el teorema del valor medio resulta
g(x) − g(x0 ) =
∂2f
(ξx , ξy )(x − x0 ),
∂x∂y
donde ξx es algún punto comprendido entre x y x0 .
Se deduce pues que
∂2f
G(x, y)
=
(ξx , ξy )
(x − x0 )(y − y0 )
∂x∂y
y por tanto
¯
¯
¯
¯
G(x, y)
∂2f
¯
¯
¯ (x − x0 )(y − y0 ) − ∂x∂y (x0 , y0 )¯ < ε.
9.2 El teorema de Schwartz puede formularse para funciones de más de
dos variables. En efecto si f es una función de las variables x1 , x2 , . . . , xn ,
que satisface respecto a las coordenadas xi y xj , las condiciones del teorema anterior, entonces también satisface estas condiciones la función de dos
variables
g(xi , xj ) = f (a1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , an ).
Se deduce, por tanto, que las derivadas parciales cruzadas de la función g
coinciden en (ai , aj ), pero es fácil comprobar que éstas coinciden con las
derivadas parciales segundas de f respecto a las coordenadas xi y xj en a.
9.3
Derivadas Parciales de Orden Superior
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El corolario siguiente es una extensión útil del teorema anterior para derivadas de orden mayor que 2:
Corolario 9.3 Supongamos que todas las derivadas parciales de orden r de
la función escalar f son continuas en un punto a. Entonces cada derivada
parcial de orden r de f en a es independiente del orden en que se efectúen
las derivaciones.
Demostración. Observemos, en primer lugar, que de la hipótesis se deduce
que cada derivada parcial de orden r −1 de la función f debe ser una función
continua en algún entorno del punto a. En efecto, sea g = ∂ r−1 f una de estas
∂g
derivadas. Se tiene entonces que, para cada j,
es una función continua
∂xj
en a, luego g es estrictamente diferenciable en a y, en particular, continua
en algún entorno de a (ver nota posterior al teorema 7.3) Razonemos por
inducción sobre r. Para r = 2, tenemos hipótesis sobradas para poder
aplicar el teorema de Schwartz. Supongamos entonces, como hipótesis de
inducción, que si una función escalar admite derivadas parciales de orden
r − 1 continuas en un punto, el cálculo de estas derivadas de orden r − 1 en
ese punto no depende del orden en que se efectúen las derivaciones.
Sea la derivada de orden r en a
∂rf
(a) ,
∂y1 ∂y2 . . . ∂yr
yk ∈ {x1 , . . . , xn },
y consideremos, mediante una permutación de y1 , y2 , . . . , yr , la derivada de
orden r
∂rf
(a).
∂yi1 ∂yi2 . . . ∂yir
Supongamos en primer lugar que yi1 = y1 . Puesto que, por hipótesis de
inducción, en las derivadas de orden r − 1 de f se puede cambiar el orden
de derivación (en todos los puntos de algún entorno de a), podemos escribir
∂rf
∂
(a) =
∂y1 ∂y2 . . . ∂yr
∂yi1
µ
∂ r−1 f
∂y2 . . . ∂yr
¶
(a) =
∂rf
(a).
∂yi1 ∂yi2 . . . ∂yir
Supongamos ahora que y1 6== yi1 , por tanto y1 = yik con k 6= 1. Entonces {yi1 , . . . , yc
ik , . . . , yir } es una permutación de {y2 , . . . , yr }. Por inducción
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Derivadas Parciales de Orden Superior
9.3
se deduce que
¶
∂ r−1 f
(a)
∂y2 . . . ∂yr
∂rf
(a)
∂y1 ∂yi1 . . . ∂ yc
ik . . . ∂yir
¶
µ
∂2
∂ r−2 f
(a)
∂y1 ∂yi1 ∂yi2 . . . ∂ yc
ik . . . ∂yir
µ
¶
∂2
∂ r−2 f
(a)
∂yi1 ∂y1 ∂yi2 . . . ∂ yc
ik . . . ∂yir
∂rf
(a).
∂yi1 ∂yi2 . . . ∂yir
∂rf
∂
(a) =
∂y1 ∂y2 . . . ∂yr
∂y1
=
=
=
=
µ
Ejercicios
9A Comprobar si en las funciones siguientes se da la igualdad entre las derivadas
parciales cruzadas en (0, 0). Estudiar en cada caso si se satisfacen las condiciones
del teorema de Schwartz.
x2 − y 2
; f (0, 0) = 0.
x2 + y 2
2. f (x, y) = x2 y 2 cos 1/x ; f (0, y) = 0.
1
3. f (x, y) = x2 y 2 sen 2 ; f (x, 0) = f (0, y) = 0.
xy
1. f (x, y) = xy
9B Consideremos los operadores diferenciales
∂f
∂2f
∂f
∂2f
,...,
);
∆f =
+ ··· +
2
∂x1
∂xn
∂x1
∂x2n
∂f
∂f
∂F1
∂Fn
H f = x1
+ · · · + xn
;
div(F1 , . . . , Fn ) =
+ ··· +
∂x1
∂xn
∂x1
∂xn
µ
¶
∂F3
∂F2 ∂F1
∂F3 ∂F2
∂F1
rot(F1 , F2 , F3 ) = ∇ × F =
−
,
−
,
−
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∇f = (
A los operadores anteriores se les conoce, en el orden en que han sido definido,
como operador: Gradiente, Laplaciano, Hamiltoniano, Divergencia y Rotacional.
Supuesto que se pueden permutar las derivaciones, demostrar que
1. ∆ f = div ∇f
2. div(rot F ) = 0.
3. H ∆ − ∆ H = −2 ∆
4. ∆ f = 0 ⇒ ∆ ∆((x21 + · · · + x2n )f ) = 0.