π / π / π / x / x J - Escuela de Fisica

Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ciencias
Escuela de Física
Métodos Matemáticos de la Física II (2424)
http://fisica.ciens.ucv.ve/~svincenz/metodosmatematicosdos.html
Tarea 5 (Especial)
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Funciones especiales
Problemas de Sturm-Liouville
http://fisica.ciens.ucv.ve/~svincenz/metodosmatematicosdos(t5e).pdf
1°) La función generatriz de Jn (x): demuestre que
x
1
G(x, t) ≡ exp
t−
2
t
=
∞
X
Jn (x) tn .
(1.1)
n=−∞
Ayuda: use la serie de Taylor para la función exponencial. Nota: la función G(x, t) es llamada la
función generatriz de las funciones de Bessel de primera clase y de orden entero.
2°) Una representación integral para Jn (x): demuestre que
1
Jn (x) =
π
π
dθ cos (nθ − x sin(θ)) ,
n = 0, 1, 2, . . . .
(2.1)
0
Ayuda: use la fórmula (1.1) del primer problema de esta Tarea con t = exp(iθ) y la ortogonalidad
de las funciones seno y coseno
0
π
π
dθ cos (nθ) cos (mθ) = δn,m ,
2
π
dθ sin (nθ) sin (mθ) =
0
π
δn,m ,
2
donde n, m = 1, 2, . . .. Nota: la fórmula (2.1) es una representación integral para las funciones de
Bessel de primera clase y de orden entero.
3°) Algunos resultados básicos que usted debe saber: (a) Sean u1 (x) y u2 (x) soluciones
de la EDO u00 (x) + P (x)u0 (x) + Q(x)u(x) = 0, demuestre que el llamado Wronskiano es
u (x) u (x)
2
W [u1 (x), u2 (x)] ≡ 10
u1 (x) u02 (x)
x
dx P (x) .
= const × exp −
(3.1)
Esta es la llamada identidad de Abel. Nota: como la exponencial en (3.1) no es cero nunca, el
Wronskiano es nulo si ( y solo si) la constante en (3.1) es nula. El Wronskiano será distinto de cero
si (y solo si) la constante es distinta de cero. En este último caso, u1 (x) y u2 (x) son linealmente
independientes. (b) Aunque se mencionó en clase, vale la pena que usted demuestre ahora (a partir
de (3.1)) que si u1 (x) es una solución conocida de la EDO, entonces
u2 (x) = u1 (x)
x
exp − P dx
dx
u21
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(3.2)
es otra solución independiente. Nota: la solución general es u(x) = a u1 (x) + b u2 (x), con a y b
constantes arbitrarias. (c) Demuestre que cuando la EDO general de segundo orden a0 (x)u00 (x) +
a1 (x)u0 (x) + a2 (x)u(x) = 0, se expresa en la forma auto-adjunta, el Wronskiano es
W [u1 (x), u2 (x)] =
const
.
a0 (x)
(3.3)
(d) Pruebe que la segunda solución viene dada por
x
u2 (x) = u1 (x)
dx
1
.
a0 (x) u21 (x)
(3.4)
4°) Una fórmula Wronskiana para Jν (z) y J−ν (z): demuestre que el Wronskiano para las
funciones Jν (z) y J−ν (z) viene dado por
W [Jν (z), J−ν (z)] = −
2 sin(νπ)
.
πz
(4.1)
Discuta el significado de este resultado desde el punto de vista de la dependencia lineal de Jν (z)
y J−ν (z). Ayuda: recuerde que Jν (z) y J−ν (z) verifican cada una la ecuación de Bessel e intente
llegar a una expresión de la forma
d 0
x Jν J−ν
− J−ν Jν0 = 0.
dx
Integre esta ecuación, use los desarrollos en serie para Jν (z) y J−ν (z) y la famosa fórmula de
reflexión para la función Gamma (es la fórmula (2.2) de la Tarea 4 (t4ee)).
5°) Sobre las soluciones de la ecuación de Legendre: como usted sabe, los puntos z = ±1
son puntos singulares regulares de la EDO de Legendre. (a) Como z = 0 es un punto ordinario
de la ecuación, existen dos soluciones independientes cada una en la forma de una serie de Taylor.
Halle estas soluciones. (b) Demuestre que (en efecto) las series convergen para |z| < 1, si n no es un
número entero. (c) En las aplicaciones físicas con frecuencia se necesitan soluciones u(z) que sean
finitas para |z| ≤ 1. Demuestre que si n es cero, o un entero, se obtienen soluciones polinomiales
Pn (z). (d) Verifique la relación Pn (z) = P−1−n (z). Las soluciones Pn (z) con n = 0, 1, 2, . . . son los
llamados polinomios de Legendre. (e) Eligiendo cada una de estas soluciones de modo que Pn (1) = 1,
escriba las cinco primeras: P0 (z), P1 (z), P2 (z), P3 (z) y P4 (z). (f) Verifique que los polinomios Pn (z)
se pueden generar a partir de la llamada fórmula de Rodrigues
Pn (z) =
1
dn 2n n! dz n
n
z2 − 1
.
(5.1)
6°) Más sobre los polinomios de Legendre: (a) Demuestre que
+1
dx Pn (x)Pm (x) = 0,
(6.1)
2
.
2n + 1
(6.2)
−1
si n 6= m. (b) Pruebe que
+1
−1
dx Pn2 (x) =
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Ayuda: use la llamada función generadora de los polinomios de Legendre
G(x, t) ≡ √
∞
X
1
=
Pn (x) tn .
1 − 2xt + t2 n=0
(6.3)
(c) A partir de los resultados obtenidos en (a) y (b) compruebe que las funciones
r
ψn (x) ≡
n+
1
Pn (x)
2
(6.4)
son ortonormales. Nota: el conjunto de polinomios de Legendre es completo en el espacio de funciones L2 (Ω), con Ω = [−1, +1], es decir, cualquier función F (x) ∈ L2 (Ω) puede representarse
mediante la serie de polinomios de Legendre
F (x) =
∞
X
cn ψn (x),
(6.5)
n=0
con cn = hψn , F i, la cual es convergente en L2 (Ω). (e) Pruebe la siguiente fórmula de recurrencia
para los polinomios de Legendre:
(n + 1) Pn+1 (x) − (2n + 1) xPn (x) + nPn−1 (x) = 0.
(6.6)
Ayuda: use la función generadora para estos polinomios.
7°) Sobre los polinomios de Hermite: (a) Use la función generatriz para los polinomios de
Hermite de orden n: Hn (x), y encuentre los cuatro primeros. (b) Demuestre también la relación
Hn0 (x) = 2nHn−1 (x).
(7.1)
(c) Halle la llamada fórmula de Rodrigues
Hn (x) = (−1)n exp x2
dn
dxn
exp −x2 .
(7.2)
(d) Compruebe que un sistema completo de autofunciones ortonormales viene dado por:
x2
ψn (x) = n 1
−
1 Hn (x) exp
2
2 2 π 4 (n!) 2
1
!
,
n = 0, 1, 2, . . . .
(7.3)
8°) Sobre la ecuación de Laguerre y sus soluciones: (a) Resuelva la ecuación de Laguerre,
es decir, halle una solución de la ecuación en la forma de una serie de potencias. (b) Demuestre
que para ciertos valores de λ = n (n = 0, 1, 2, . . .), dicha solución se reduce a un conjunto de
polinomios, los llamados polinomios de Laguerre de grado n: Ln (x). Nota: estos polinomios están
estrechamente relacionados con el problema cuántico de un electrón que da vueltas en torno a un
protón. (c) Compruebe que estos polinomios se pueden generar a partir de la siguiente fórmula de
Rodrigues:
dn
1
Ln (x) =
exp (x) n [xn exp (−x)] .
(8.1)
n!
dx
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(d) Verifique la siguiente relación de recurrencia:
(n + 1) Ln+1 (x) − (2n + 1 − x) Ln (x) + nLn−1 (x) = 0.
(8.2)
(e) Compruebe que el conjunto de todos los polinomios de Laguerre es ortogonal sobre el intervalo
0 ≤ x < ∞, con respecto a la función peso w(x) = exp(−x). (f) Compruebe que las funciones
ψn (x) = exp(−x/2)Ln (x) son un conjunto ortonormal (obviamente no con respecto a la función
peso).
9°) Un problema básico: Escriba la ecuación de Bessel, la de Legendre, la de Hermite y la
de Laguerre en la forma de Sturm-Liouville.
10°) El problema de Sturm-Liouville más simple: (a) Verifique que el sistema u00 (x) +
λu(x) = 0, con la condición de frontera u(0) = u(1) = 0 es un problema de Sturm-Liouville. (b)
Encuentre los autovalores y las autofunciones del sistema. (c) Encuentre el correspondiente conjunto
de autofunciones normalizadas. (d) Desarrolle F (x) = 1 en una serie de tales funciones.
11°) ¡Ojo con las segundas soluciones! Para el caso muy particular de λ = 0 y a2 (x) = 0,
la ecuación de autovalores auto-adjunta se transforma en
d
d
a0 (x) u(x) = 0.
dx
dx
(11.1)
Utilice esto para obtener una segunda solución de las ecuaciones de Legendre, Hermite y Laguerre.
Verifique el comportamiento divergente que normalmente se encuentra en la segunda solución.
12°) Un resultado poco conocido: (a) Demuestre el siguiente resultado: “Sea L̂u(x) +
λw(x)u(x) = 0, con
d
d
L̂ =
a0 (x) u(x) + a2 (x),
(12.1)
dx
dx
sobre el intervalo a ≤ x ≤ b. Si se tiene que a0 (x) > 0, a2 (x) ≤ 0 y w(x) ≥ 0, y si las condiciones
de frontera son tales que satisfacen la desigualdad a0 (x) ū(x) u0 (x)|ba ≤ 0 (donde la barra sobre
u corresponde al complejo conjugado) entonces todos los autovalores λ son no-negativos” Ayuda:
multiplique la ecuación diferencial L̂u(x)+λw(x)u(x) = 0 por ū(x) e integre una vez por partes. (b)
¿Cómo son los autovalores si se tiene la condición de frontera u0 (a) − Au(a) = 0, u0 (b) + Bu(b) = 0,
donde las constantes A y B son reales y positivas?
13°) Un problema de Sturm-Liouville simple ¿o no tan simple? (a) Encuentre los
autovalores y las autofunciones ortonormales complejas asociadas al siguiente problema de SturmLiouville. La EDO es L̂u(x) + λu(x) = 0, donde L̂ = d2 /dx2 , con −a ≤ x ≤ a. Las condiciones
de frontera son las antiperiódicas: u(−a) = −u(a), u0 (−a) = −u0 (a). (b) ¿Es el espectro de L̂
degenerado? (c) Considere a los operadores p̂ = −id/dx (el operador momentum) y Ĥ = −L̂ = p̂2
(el operador energía) ¿Son las autofunciones de L̂ autofunciones también de p̂ y Ĥ? (d) Compruebe
que las autofunciones obtenidas en (a) satisfacen las relaciones un (x) = u−(n+1) (−x), ūn (x) =
u−(n+1) (x). (e) Considere ahora a los operadores Π̂ (el operador paridad) y T̂ (el operador de
inversión temporal): Π̂u (x) = u(−x), T̂ u (x) = ū(x) ¿Son las autofunciones que obtuvo en (a)
autofunciones de Π̂ y T̂ ?
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