C´ALCULO. Hoja 12. Ecuaciones Diferenciales de primer orden

Dpto. Matemática Aplicada. E.T.S.A.M. Cálculo. Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Aplicaciones.
CÁLCULO. Hoja 12.
Ecuaciones Diferenciales de primer orden. Aplicaciones.
Una ecuación diferencial de primer orden es de la forma F (x, u(x), u0 (x)) = 0.
Expresado en forma normal serı́a: u0 (x) = f (x, u(x)). También es frecuente utilizar la
notación diferencial
du
(x) = f (x, u(x)),
dx
du
= f (x, u),
dx
dy
= f (x, y) ó dy = f (x, y)dx.
dx
El problema de valor inicial de primer orden viene formulado como:
0
u (x) = f (x, u(x))
u(x0 ) = α0
(1)
(Teorema de Picard)
Sea f : D → R una función definida en un rectángulo D = {(x, y) ∈ R2 : a < x < b, c < y < d}
∂f
y sea (x0 , y0 ) un punto interior a D. Si f y
son continuas en D, entonces existe algún
∂y
intervalo I0 = (x0 − h, x0 + h), h > 0, I0 ⊂ (a, b) y una única función u definida en I0
que es solución del problema de valor inicial
0
u (x) = f (x, u(x))
(2)
u(x0 ) = α0 .
1. Calcular la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales
(a) (x2 + 4)v 0 (x) = xv(x)
(b) xu(x) + e−x (u(x)2 − 1)u0 (x) = 0
2
(c) yy 0 = e
(d) 2u(x)u0 (x) + sin(x) = 0
(e) y 0 = xy ,
(f) y 0 =
ex
(1+ex )y
(g) y 0 =
y 3 −y
y 2 +1
(h) y 0 = y 2
(i) y 0 =
(j)
(k)
x2
y 2 +1
x2 +1
dx
yx
x
dx
ey
− (xy + x)dy = 0,
− (x2 + x)dy = 0.
2. Comprobar que las siguientes ecuaciones son homogéneas y resolverlas:
(a) (x2 + y 2 )dx + xydy = 0,
(b) y 0 =
y3
x3
(c) (x3 − x2 y)dx − x2 ydy = 0,
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(d) y 0 =
x2 −y 2
x2 +yx
(e) xy 0 =
p
x2 − y 2 + y.
3. Resolver las siguientes ecuaciones
(a) y 0 − 5y = 1
(b) y 0 − 2xy = x
(c) y 0 − 2xy = 2x3
(d) y 0 + 2xy = 2xe−x
2
(e) (1 + x2 )y 0 + 2xy =tgx
4. Encontrar la solución a los problemas de valor inicial siguientes:
(a) y 0 − y = 2xe2x ,
(b) y 0 + y =
e−x
1+x2
y(0) = 1.
,
y(0) = 0.
0
(c) xy + 2y = senx, y( π2 ) = 0.
(d) y 0 = 2 − xy ,
(e) y 0 =
x2 −y
,
x+y 2
y(1) = 1.
y(0) = 0.
5. Resolver las siguientes ecuaciones
(a) y 0 + xy = xy −3 ,
(b) x2 y 0 + 2xy − y 3 = 0.
(c) xy 0 + y = y 2 Lx
(d) y 0 = y − 2y 2 .
6. Calcular la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
(a) xu0 (x) = u (x) (1 − log x + log (u (x)))
−x − 3u (x)
(b) u0 (x) =
−x + u (x)
7. Hallar lim u (x) sabiendo que u (x) es la solución del problema siguiente:
x→∞
u0 (x) = 2u (x) 1 − 21 u (x)
u (0) = 2
8. Hallar la solución de la ecuación x2 y 0 cos y + 1 = 0 que verifica que limx→+∞ y(x) =
16π/3.
9. Hallar la curva que verifica que la pendiente de la tangente en cada punto es n veces
la pendiente de la recta que une dicho punto con el origen de coordenadas.
10. Hallar la familia de curvas ortogonales a cada una de las familias de curvas dadas:
(a) y 0 = x
(b) y 0 = y 2
(c) x2 − y 2 = C
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(d) y = kx2
(e) x2 + y 2 − Cy = 0
(f) x2 + y 2 = C
11. Hallar la curva que tiene la siguiente propiedad: para cada punto de la curva, el
segmento construido con los puntos de la recta tangente a la curva en dicho punto
y los dos puntos de corte de dicha recta y los ejes de coordenadas, se divide por la
mitad en el punto de tangencia con la curva.
12. Hallar una curva que pase por el punto (0,-2) de modo que la pendiente de la tangente
en cualquier punto sea igual a la ordenada del punto aumentada en 3 unidades.
13. Por un punto genérico P de una curva plana se traza la recta tangente que corta
al eje OY en el punto T . Si el punto O es el origen de coordenadas, encontrar la
familia de curvas que verifican OT = T P .
14. Encontrar la familia de curvas en el primer cuadrante con la siguiente propiedad: si
P es un punto genérico de la curva y T es el punto de corte de la recta tangente a
la curva en P con el eje OY , el área del triángulo OP T es igual a uno.
15. Encontrar la familia de curvas en el primer cuadrante con la siguiente propiedad: la
ordenada del punto de corte de la recta tangente con el eje OY es igual al cubo de
la ordenada del punto de tangencia.
16. Hallar la curva ortogonal a la familia de curvas x2 + y 2 = 2Cx que pasa por el punto
(0,2).
17. Dada la familia de curvas y = Ce2x+1 , obtener la familia de sus curvas ortogonales.
18. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de rectas que pasan por el punto
(3, 2).
19. Hallar y representar las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias de
radio 1 y centros sobre el eje OY .
20. Encontrar la familia de curvas que satisfagan:
(a) La longitud entre el corte de la recta normal con el eje OX y la abcisa del
punto, es 1.
(b) La distancia de un punto genérico al origen de coordenadas es igual a la longitud
del segmento de recta normal comprendido entre dicho punto y el eje OY.
(c) La abcisa del punto de corte de la recta normal con el eje OX es igual al
cuadrado de la ordenada del punto de tangencia.
21. Encontrar la familia de curvas con la siguiente propiedad: si consideramos el punto
T , intersección con el eje OX de la recta normal en un punto cualquiera P de la
curva, se tiene que la distancia del punto T al origen de coordenadas coincide con
la distancia del punto P al eje OX.
22. Encontrar la familia de curvas planas tales que en cualquiera de sus puntos P la
abcisa del punto de corte de la recta normal con el eje OX es igual a la diferencia
de cuadrados de las coordenadas del punto de tangencia (ordenada menos abcisa).
p
Solución: y(x) = ± (x + 1)2 + e2x C
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23. Un depósito contiene 50 litros de una solución compuesta por agua y alcohol, 10%
de alcohol frente al 90% de agua. En el depósito se vierte una solución que contiene
el 50% de agua y el 50% de alcohol a 4 l/min. Al mismo tiempo el depósito se
vacı́a a una velocidad de 5 l/min. Suponiendo que la solución del depósito se agita
constantemente, cuánto alcohol queda en el depósito después de 10 minutos?
24. Un dı́a empieza a nevar y sigue nevando con regularidad (cae la nieve a la misma
velocidad). Una máquina quitanieves sale a medio dı́a recorriendo dos kilómetros
en la primera hora y uno en la segunda. A qué hora comenzó a nevar? Nota: se
supone que la potencia de la máquina es constante.
25. En un cultivo de microbios que proliferan la velocidad de crecimiento es proporcional
a la cantidad actual. Si se comprueba que el número de microbios es el doble en 5
horas, cuántos habrá al final de la décima hora? Si hay 104 al cabo de tres horas y
4 · 104 al cabo de cinco horas, cuántos habı́a al principio?
26. En una habitación en la que la temperatura es de 20◦ C, un cuerpo se ha enfriado en
20 minutos de 100◦ C a 60◦ C. Hallar la ley de enfriamiento del cuerpo (la variación
de la temperatura por unidad de tiempo es proporcional a la diferencia entre la
temperatura del cuerpo y el medio ambiente). Dentro de cuántos minutos se enfriar
hasta los 30◦ C? Nota: el aumento de la temperatura en la habitación es despreciable.
27. En una habitación cuya temperatura es de 18◦ C se ha encontrado a las 16 horas
el cadáver de una persona. En el momento del hallazgo, su temperatura corporal
era de 34◦ C y dos horas más tarde era de 30◦ C. Suponiendo que la temperatura
media del cuerpo humano es de 36◦ C, ¿podrı́as determinar a qué hora se produjo el
fallecimiento?
Sol.: La hora aproximada del fallecimiento fue a las 15 horas 13 minutos.
28. Calcular la solución de los siguientes problemas:
9u (x) + x (1 − u0 (x)) = 0
(a)
u (8) = 0
(
v (x)
x sec
+ v (x) − xv 0 (x) = 0
(b)
x
v (1) = 0
p
u (x) − x2 − u2 (x) − xu0 (x) = 0
(c)
u (1) = 0
z(t)
− t
0
tz
(t)
−
2te
− z (t) = 0
(d)
z (1) = 0
u(t) 0
e u (t) − (t + t3 ) = 0
(e)
u (1) = 0
0
u (x) = eu(x)+x
(f)
u (1) = 0

x−3
 0
y + 3y 1 −
y = xy
(g)
2

y (1) = 4
0
u (x) = tg (u (x)) cotg (x)
(h)
u (0) = 0