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Análisis Matemático II – Recuperatorio del 2do.parcial 29/06/05
1) a) f ( x, y ) 
4  x  y  ln ( x 2  y 2  2 x)
x y2
a.1) Hallar D=Dom(f) y graficarlo claramente.
a.2) Hallar interior y conj. de puntos de acumulación
Determinar justificando si D es abierto o cerrado.
b) Demostrar que las curvas de nivel de
f ( x, y ) 
y
3x 2  4 y 2
son circunferencias. Hallar
3
sus ecuaciones canónicas.
2) Sea
a)
f ( x, y ) 
x2  3y 2
x  2y
Hallar y graficar D = Dom f .
y  a x k y luego por las curvas
b) Calcular el límite de f(x,y) tendiendo al (0,0) por las curvas
x  a y k siendo k natural genérico.
c)
Determinar si es posible calcular el límite de f(x,y) para (x,y) tendiendo al (0,0) por dos curvas de
nivel de f distintas.
d) Sea g (x,y) la función que coincide con f fuera de la recta x + 2y = 0 y que vale C (constante)
sobre dicha recta. Explicar si es posible encontrar algún valor para C de modo que g resulte continua
en el punto (0,0).
3)a) Encontrar los puntos del hiperboloide
x 2  y 2  2 z 2  6 donde la recta normal es paralela a la
3 x  z  9  0

3 y  z  3  0
b) El punto (0,1,5) pertenece a la superficie S: z  f ( x, y ) Se sabe que
recta L:

 f  (y e
xy
 3x 2 ) i  ( x e x y  4 y) j Hallar una ecuación del plano tangente a S en el punto (1, 0 , f (1, 0) )
7
f ( x, y)  x 2 y  3x 2  2 y 2 ; P0 (1,  )
6
a) Hallar  si cos , sen   es la dirección de máximo decrecimiento de f en el punto P0
4) Sean
b) Si 2 f '  ( P0 ) 
c)

 f ( P0 )
determinar los posibles valores de
.
Determinar, si existen, los puntos sobre la recta y  3  0 en los cuales la máxima derivada
direccional sea igual a 4
1
1
r f '   f '' 
 u  u
r
r
Mostrar que:
 2 
2
4
x
y
r
1
2
2
donde r  x  y
r
 
b) Sean x  g (t , u ) e y  h(t ) Escribir (justificando) la aproximación lineal de la función
H (t , u )  f ( g (t , u ) , h(t ) ) en un entorno del punto (1,1) siendo las aproximaciones lineales
de f , g , h las siguientes:
f ( x, y )  3  ( x  2)  7( y  4) en un entorno del ( x0 , y0 )  (2,4)
5) a) Sea u  f  
2
2
g (t , u )  2  3 ( t  1)  2 (u  1)
h(t )  4  5 ( t  1)
en un entorno del
en un entorno del
t0  1
(t 0 , u 0 )  (1,1)