smsmmmv AA v vAvA 6.7 9.1 )02.0( )04.0

EJEMPLO 14.7
Se bombea aceite con densidad ρaceite=850 kg/m3 a través de un tubo
cilíndrico de diámetro d=8 cm a razón de 9.5 litros/s. a) Calcule la
rapidez del aceite y la razón de flujo de masa. b) Si el diámetro del tubo
se reduce a 4 cm, ¿qué nuevos valores tendrán la rapidez y la razón de
flujo de volumen? Suponga que el aceite es incompresible.
dV
l
10 −3 m 3
= 9.5 = 9.5
= Av
dt
s
s
2
d 
A =π 
2
dV 1 9.5 10 −3 (m 3 / s )
m
a) v =
1
.
9
=
=
dt A
π (0.04m) 2
s
3
dV
kg
kg
−3 m
ρ
= 850 3 9.5 10
= 8.1
dt
m
s
s
b) La razón de flujo de volumen no cambia.
A2 v2 = A1v1
π (0.04m) 2
A1
m
m
v2 =
v1 =
1.9 = 7.6
2
A2
π (0.02m)
s
s
14.29 Una regadera tiene 20 agujeros circulares cuyo radio es de 1 mm. La
regadera está conectada a un tubo de 0.8 cm de radio. Si la rapidez del agua
en el tubo es de 3 m/s, ¿con qué rapidez saldrá de los agujeros de la
regadera?
A1
Datos:
n= 20 agujeros
v1
v1 A1 = v2 A2
ra = 1 mm, Rt= 0.8 cm
v1=3 m/s
Por la ecuación de continuidad:
A1
v1 A1 = v2 A2 ⇒ v2 = v1
A2
A1 = πR 2 = π (0.8 10 − 2 m) 2
A2 = 20(πra2 ) = 20π ( 10 −3 m) 2
π (0.8 10 −2 m) 2
m
A1
v2 = v1
= (3 m / s )
= 9.6
−3
2
π ⋅ 20(10 m)
s
A2
ECUACION DE BERNOULLI
La ecuación de Bernoulli relaciona la presión, la rapidez de
flujo y la altura para el flujo de un fluido ideal. La ecuación de
Bernoulli representa el principio de conservación de la energía
aplicado a los fluidos.
Si un fluido incompresible fluye por un tubo con sección transversal variable,
su rapidez debe cambiar, así que un elemento de fluido debe tener una
acceleración. La presión también debe ser diferente, si no la fuerza neta
sobre cada elemento de fluido sería 0.
A2
Consideremos el elemento de fluido en
figura. Las dos secciones tiene área A1 y
A2 y las rapideces son v1 and v2. En un
pequeño intervalo de tiempo dt, los dos
volumenes de fluido se mueven de:
p2A2
v2
dS2
y2
A1
v1
p1A1
y1
dS1
dS1=v1dt
dS2=v2dt
Por la ecuación de continuidad (fluido
incompresible), el volumen dV de fluido en
cada sección es el mismo:
dV=A1dS1=A2dS2
A2
p2A2
v2
dS2
y2
A1
dW=F1dS1-F2dS2=p1A1dS1-p2A2dS2=
v1
p1A1
Las únicas fuerzas no gravitacionales (fricción
interna despreciable) que efectúan trabajo sobre
el elemento de fluido se deben a la presión del
fluido. El trabajo neto dW efectuado sobre el
elemento por el fluido circundante durante este
desplazamiento es:
dV
dV
(p1-p2)dV
El segundo término tiene signo negativo porque la
fuerza se opone al desplazamiento. El trabajo
dW se debe a fuerzas conservadoras, así que es
igual al cambio en la energía mecánica total:
y1
dS1
La energía cinética es:
En las dos secciones:
1 2 1
dW=dK+dU
mv = ρdVv 2
2
2
1
1
K1 = ρdVv12
K 2 = ρdVv22
2
2
El cambio neto de energía cinética durante dt es:
1
1
1
2
2
dK = ρdVv2 − ρdVv1 = ρdV (v22 − v12 )
2
2
2
La energía potencial es :
En las dos secciones:
U = mgy = ρdVgy
U1 = ρdVgy1 U 2 = ρdVgy2
El cambio de energía potencial durante dt es:
dU = ρdVgy2 − ρdVgy1 = ρdVg ( y2 − y1 )
dW=dK+dU se puede escribir como:
1
( p1 − p2 )dV = ρdV (v22 − v12 ) + ρdVg ( y2 − y1 )
2
1 2
1 2
p1 + ρgy1+ ρv1 = p2 + ρgy 2 + ρv2 = const
2
2
ECUACION DE BERNOULLI
APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI
Sustentación en un ala de avión
pt
pb
pb > pt
La presión arriba del ala pt es
menor que la presión abajo, por la
ecuación de Bernoulli
La figura muestra líneas de flujo
alrededor de un corte del ala de un
avión. Al aire arriba del ala tiene que
moverse arriba y abajo para seguir la
forma del ala. Por eso tiene que hacer un
camino mas largo, lo que corresponde a
una rapidez del flujo arriba del ala
mayor que la rapidez abajo del ala.
1 2
1 2
p1 + ρv1 + ρgy1= p2 + ρv2 + ρgy 2 = const
2
2
y1 ~ y2
Hay una fuerza neta hacia arriba, que se llama SUSTENTACION.
Se observa una fuerza de sustentación similar sobre un automóvil que va a gran
velocidad por el movimiento del aire sobre el techo del vehículo. Eso puede reducir
la tracción de los neumáticos, por eso se utiliza un “spoiler” que se parece a un ala
invertida y hace que una fuerza hacia abajo actúe sobre las ruedas traseras.
14.83 El diseño moderno de aviones exige una sustentación, debida a la fuerza
neta del aire en movimiento sobre el ala, de cerca de 2000 N por m2 de área
de ala. Suponga que aire (densidad=1.2 kg/m3) fluye por el ala de un avión con
flujo de línea corriente. Si la rapidez de flujo por la cara inferior del ala es
120 m/s, ¿qué rapidez debe haber sobre la cara superior para obtener una
sustentación de 2000 N/m2?
P2,v2
y1=y2
P1, v1
∆p=2000 N/m2=2000 Pa
1 2
1
ρv1 + ρgy1 = p2 + ρv22 + ρgy2
2
2
1
1
∆p = p1 − p2 = ρv22 − ρv12
2
2
1 2
1 2
2∆p 2 ρv12
2
ρv2 = ∆p + ρv1 ⇒ v2 =
+
2
2
2ρ
ρ
p1 +
m
v2 = v + 2∆p / ρ = (120m / s ) + 2(2000 Pa ) /(1.2kg / m ) = 133
s
2
1
2
3
APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI
TEOREMA DE TORRICELLI
p0, A1
y1
h
agua
A2
pa
y2
Un tanque de almacenamiento de agua tiene área
transversal A1 y está lleno de agua hasta una altura
h. El espacio arriba del agua contiene aire a presión
p0. En el fondo, el agua sale por un tubo corto de
área A2. Se puede calcular la rapidez de flujo en el
tubo:
1 2
1 2
p1 + ρv1 + ρgy1= p2 + ρv2 + ρgy 2 = const
2
2
Si A1 >> A2, el nivel del agua bajará muy lentamente y se
puede considerar v1=0. La rapidez v2 es:
h
Si el tanque está abierto por arriba a la
1 2
ρv2 = p0 + ρg ( y1 − y2 ) − pa atmósfera p0=pa:
2
v22 = 2
2
p0 − p a
ρ
+ 2 gh
v2 = 2 gh ⇒ v2 = 2 gh
TEOREMA DE TORRICELLI
14.82 Fluye agua continuamente de un tanque abierto. La altura del punto 1 es
de 10 m, y la de los puntos 2 y 3 es de 2 m. El área transversal en el punto 2
es de 0.048 m2; en el punto 3 es de 0.016 m2. El área del tanque es muy
grande en comparación con el área transversal del tubo. Calcule a) la rapidez
de descarga en m3/s; b) la presión manométrica en el punto 2.
1
10 m
2
2m
a)
3
p3=pa
Torricelli
dV
m3
m3
v3 A3 =
= 2 g ( y1 − y3 ) A3 = 2 ⋅ 9.8 ⋅ (8) (0.016)
= 0.2
dt
s
s
b)
y2=y3
1 2
1 2
p2 + ρv2 + ρgy2 = p3 + ρv3 + ρgy3
2
2
1 2 1 2 1
p2 − p3 = ρv3 − ρv2 = ρ (v32 − v22 )
A2 v2 = v3 A3
2
2
2
2
p3=pa

1 2   A3  
p2 − p3 = p2 − pa = ρv3 1 −   =
  A2  
2


2
1
kg
m 2   0.016  
= 1000 3 (0.2 ) 1 − 
= 6.97 10 4 Pa

2
2   0.048  
m
A3
v2 = v3
A2