Ejercicios 09

TIPO DE ACTIVIDAD: Ejercicios
Título Actividad:
Nombre Asignatura:
Semana Nº:
Aplicaciones de la función cuadrática.
Algebra
7-8
Sigla
Actividad Nº
9
Lugar
MAT200
Sala de clases
APRENDIZAJES ESPERADOS:
Resuelve problemas relativos al cálculo de imágenes y pre-imágenes de la función
Aprendizaje 1
cuadrática.
Optimiza situaciones problemas aplicando el concepto de máximo y mínimo de una
Aprendizaje 2
función cuadrática.
OPTIMIZACIÓN DE UNA FUNCIÓN CUADRATICA
Recordemos que una Función Cuadrática está definida por:
Donde
y  f ( x)  ax 2  bx  c
a, b, c Coeficientes reales, a  0
a
El coeficiente
nos muestra la concavidad de la Parábola, a partir de este coeficiente
podemos ver si la función cuadrática (parábola) tiene máximo o mínimo. Es decir:
Para saber cual es el valor de las coordenadas del máximo o mínimo, basta con calcular el
vértice de la parábola.
Coordenadas del vértice
 b  b 
V    ; f   
 2a  2a  
Septiembre 2012 / Programa de Matemática.
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I.
Optimice los siguientes ejercicios
1. En una empresa agrícola, la utilidad (en miles de dólares) al vender
tractores agrícolas está dada por la función,
x
repuestos para
U( x ) =  6 x  132x . Encontrar la
2
cantidad de repuestos que se deben vender para obtener la máxima utilidad. ¿A
cuánto haciende esa máxima utilidad?
2. La cantidad de kilómetros que una moto puede recorrer por litro de bencina a una
velocidad v (km/hrs), está dada por la función,
K( v ) =
0,8v 
v2
. ¿Cuál es la
250
velocidad que maximiza el rendimiento de la moto? Es decir encuentre la mayor
cantidad de kilómetros como de velocidad, con un litro de bencina.
3. En la casa de la construcción, el costo de la madera a utilizar (en cientos de pesos)
por unidad al producir x casas prefabricadas está dado por la función, C( x ) =
x 2  180x  20.000. Encontrar la cantidad de casas prefabricadas que minimizan el
costo en madera por unidad. ¿Cuánto es el costo mínimo de madera a utilizar?
4. Un contador, estima que sus ingresos mensuales al llevarle la contabilidad a ciertos
microempresarios están dados por la función I(c)= 1.200.000  1.000c  2c , donde c
es la cantidad de microempresarios que le lleva la contabilidad en el mes. ¿A qué
cantidad de microempresarios debe llevarle la contabilidad mensualmente para
obtener el mayor ingreso? Y ¿Cuál será su ingreso máximo?
2
5. En una empresa que era exitosa y donde el personal iba creciendo a medida que
transcurría el tiempo, los recursos comenzaron a escasear y el personal decreció. El
número de trabajadores a los t años de haber creado la empresa está dado por,
2
p(t)=  t  22t  112, (t >0). Determine la cantidad de años donde hubo mayor
cantidad de trabajadores. ¿Cuál fue la mayor cantidad de trabajadores que logro
tener la empresa?
6. La pastoral juvenil de DuocUC organizó un partido de fútbol. Durante el partido, un
jugador le da un puntapié a la pelota, tal que la trayectoria de esta queda expresada
por la función, h( x ) =  5t  20t  1 , donde h es la altura en metros y t es el
tiempo en seg. Determine el tiempo en que la pelota alcanza la altura máxima. ¿Qué
altura alcanzó?
2
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INTERSECCIÓN DE FUNCIONES
Intersección entre función cuadrática y lineal
Sean las funciones
f ( x)  ax  bx  c
y
2
f ( x)  mx  n
La intersección de estas se puede apreciar en la grafica
Donde los puntos
Ay B
se obtienen igualando las funciones y resolviendo la ecuación:
ax2  bx  c  mx  n
 px2  qx  r  0
Donde 𝑝𝑥 2 + 𝑞𝑥 + 𝑟 = 0 es una ecuación de segundo grado, y sus soluciones las encontramos
+
Con la formula general
𝑥=
−𝑞 −√𝑞 2 −4∙𝑝∙𝑟
2∙𝑝
.
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II.
Analice la intersección de los siguientes ejercicios
7. En una empresa, recursos humanos determinó que el bono de Navidad para este año
2012 dependerá de los años de antigüedad y además del cargo que desempeñan.
Para los administrativos su bono se calculará según la fórmula
para los cargos superiores según
BSup (t )  26  t  16
BAdm (t )  4  t  3  t 2
y
donde t son los años y B el
bono en miles de pesos.
a. ¿Habrá algún año de antigüedad tal que el valor de ambos bonos sea el
mismo?
b. A los 15 años de antigüedad, ¿Quienes obtienen un mejor bono de Navidad?
8. Un grupo de trabajadores de una empresa logran fabricar
P1 (t )  t 2  2  t artículos
de aseo
en t días y otro grupo de igual número de trabajadores fábrica
P2 (t )  4  t  16 artículos en t días.
a. ¿Habrá alguna cantidad de días el cuál la producción sea la misma?
b. ¿Cuál es esa producción?
9. Dos tasadores utilizan distinta fórmula para la depreciación (perdida de valor) de
una
maquinaria
pesada.
El
primero
utiliza
la
función
cuadrática
V1 (t )  0,2  t 2  2,6  t  10,4 y el otro tasador la función lineal
V2 (t )  1,2  t  9,2 ,
donde t está en años y V el valor de la máquina en millones de pesos.
Considerando t mayor a 1 año. ¿A los cuántos años el valor de ambas tasaciones
es de igual valor?
10. La ganancia G (en dólares) de una cadena de comida rápida al vender x
hamburguesas semanales viene dado por
G  2,44  x 
x2
 2.006 ¿Cuál es la
20.000
menor cantidad de hamburguesas que habrá que vender a la semana para obtener
una ganancia de 4.000 dólares?
11. Hoy, el número de habitantes de dos localidades del Sur de Chile crece según los
modelos
P1 (t )  80  t  12.500 y P2 (t )  t 2  72  t  12.480 donde t se mide en
años. ¿En cuánto años más el número de habitantes de ambas localidades será la
misma?
12. Se desea pedir un crédito de $ 20.000.000 en 2 instituciones financieras. Una de ella
I1 (t )  0,06  t  2,434 y la otra
calcula
la
tasa
de
interés
según
I 2 (t )  0,006 t 2  0,02  t  2,49 donde t es el número de meses al cuál se pedirá el
crédito. ¿A cuántos meses habrá que tomar el crédito para que la tasa de interés sea
la misma?
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SOLUCIONES
1. 11 Repuestos y la utilidad máxima haciende a 726.000 dólares.
2. La velocidad máxima es de 100 km/hrs. Y recorre 40 km. Con un litro.
3. 90 casas y el costo mínimo en madera a utilizar es de 1.190.000 pesos.
4. 250 microempresarios y su ingreso máximo será de 1.325.000 pesos.
5. 11 años y la mayor cantidad de trabajadores que tubo la empresa fue de 233.
6. A los 2 segundos, y alcanzó 21 metros.
7.
a. 8 años
b. El mejor Bono lo tienen los Administrativos $279.000
8.
a. 8 días
b. 48 artículos
9. A los 6 años
10. 2600 hamburguesas
11. A los 10 años
12. A los 14 meses
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