3 potencias y raíces - Cardenal Spínola

3 POTENCIAS Y RAÍCES
PA R A
1
2
3
4
E M P E Z A R
Calcula el resultado de las siguientes operaciones.
a) 2,5 104
b) 312 : 103
a) 2,5 104 25 000
b) 312 : 103 312 000
Simplifica estas fracciones utilizando las propiedades de las potencias y expresa el resultado como potencia única.
22 44 34
a) (9)2 65
52 153 3
b) (5)3 302
22 44 34 25
a) 5
(9)2 65
3
52 153 3 53 32
b) (5)3 302
22
Calcula las siguientes raíces.
a)
49
b)
4
c)
16
125
d)
243
a)
7
49
c)
2
16
b)
5
125
d)
3
243
3
3
5
4
5
Escribe como el producto de un número natural y una potencia de base 10 el número de moléculas que
contiene una gota de agua en su interior.
Una gota de agua contiene en su interior unos 2 400 000 000 000 000 millones de moléculas 2,4 1015 millones de moléculas.
5
Aproximadamente, el radio de una gota de agua mide 2 milímetros, y el de una molécula, 0,00000016.
Calcula la razón entre los radios y escribe el número obtenido como el producto de una potencia de
base 5 y una potencia de base 10.
Radio de una molécula: 1,6 10–7 mm
Radio de una gota de agua: 2 mm
2
1,25 107 160 57
Razón: 1,6 10–7
Potencias de exponente entero. Notación científica
PA R A
P R A C T I C A R
Ejercicio resuelto
3.1 Expresa como una sola potencia.
a) 54 5–2 54 (2) 52
3
b) 7 : 7
4
7
3 (4)
d) 182 : 32 (18 : 3)2 62
7
34
7
e) (74)2 74 (2) 78
7
c) 63 73 = (6 7)–3 = 423
3.2 Realiza estas operaciones expresando el resultado
3
d) 1 a) 33 32 3
5
3
1 1
b) 2 2
3
3
c) 35 33 : 32
23
b) 2 3
5
c) 3 33
50
: 32
23
d) 1 1
5
5
1
2
2
3
3
5 3 (2)
3
34
2
3 0 (2)
e) 1 2 1
2
2
3
3
2
f) (42)2 41 : 4 43
a) 33 32 3 33 2 1 32
2
una única potencia.
2
1
5
e) 1 2
2
2
como
0
1
:
5
1 1
0
: 1
5
1
5
3
2
f) (42)2 41 : 4 43 44 1 1 3 45
1
5
5
3.3 Indica el orden de magnitud de las siguientes medidas.
a) Masa del electrón: 1,67 1027 kg
b) Radio medio del Sol: 9,97 108 m
c) Radio medio de la órbita terrestre: 1,49 1011 m
a) Exponente 27: orden de magnitud 27
b) Exponente 8: orden de magnitud 8
c) Exponente 11: orden de magnitud 11
3.4 Expresa en notación científica estas cantidades.
a) Longitud de un paramecio: 0,000025 metros
b) Edad del universo: 15 000 millones de años
c) Tamaño de un virus: 0,000000000235 metros
a) Longitud de un paramecio: 0,000025 2,5 105 metros
b) Edad del universo: 15 000 millones de años 1,5 104 millones de años 1,5 1010 años
c) Tamaño de un virus: 0,000000000235 metros 2,35 1010 metros
3.5 Escribe en notación científica los siguientes números.
a) 12 345 678
b) Sesenta billones
c) 354 125 000 000
d) 0,0097 1023
a) 12 345 678 1,2345678 107
b) Sesenta billones 7 1013
c) 354 125 000 000 3,54125 1012
d) 0,0097 1023 9,7 1020
3.6 Escribe en notación científica los números:
a) 75,9 1015
b) 0,0114 1023
c) 345,8 1017
a) 7,59 1016
b) 1,14 1020
c) 3,458 1019
3.7 Realiza las siguientes operaciones en notación científica.
a) 3,2 1014 7,128 1012
c) (1,65 106) (0,8 109)
b) 3,679 1025 2,44 1028
d) (2,3 1015) (4,5 1011)
a) 3,2 1014 7,128 1012 (320 7,128) 1012 327,128 1012 3,27128 1014
b) 3,679 1025 2,44 1028 (3,679 0,00244) 1025 3,67656 1025
c) (1,65 106) (0,8 109) 1,32 1015
d) (2,3 1015) (4,5 1011) 10,35 1026
3.8 Calcula:
a) 3,62 1012 2,4 1012
c) (4,35 108) (2,1 107)
b) 2,45 108 6,12 07
d) (4,6 1017) : (8 1012)
a) 3,62 10 2,45 10 (3,62 2,45) 10 1,17 10
12
12
12
12
b) 2,45 108 6,12 107 (24,5 6,12) 107 30,62 107 3,062 108
c) (4,35 108) (2,1 107) 9,135 1015
d) (4,6 1017) : (8 1012) 0,575 105 5,75 104
PA R A
A P L I C A R
3.9 Un cabello humano tiene un grosor de menos de 0,1 milímetros. ¿Cuánto ocuparían a lo ancho un millón de cabellos colocados en fila, uno al lado del otro? Expresa el resultado primero en milímetros, usando la notación científica, y luego, en la unidad adecuada.
Al ser el grosor de 0,1 milímetros, este será equivalente al diámetro. Por tanto:
0,1 106 1,0 105 milímetros ocuparán los cabellos a lo ancho.
3.10 Rosa acaba de cumplir 16 años. ¿Cuántos segundos de vida suponen? Escribe ese número en notación
científica.
Segundos que hay en un año: 365 días 24 horas 60 minutos 60 segundos 31 536 000 segundos en un año.
Luego Rosa tiene 16 31 536 000 504 576 000 segundos 5,04576 108 segundos de vida.
51
3.11 El inventor del ajedrez pidió como recompensa un grano de trigo por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera y así sucesivamente. En total debía recibir 264 1 granos de trigo.
a) Indica el orden de magnitud de esta cantidad.
b) Si cada kilogramo de granos de trigo tiene unos 6000 granos, calcula el peso de la cantidad anterior.
a) 264 1 1,84 1019. Por lo que el orden de magnitud será 19.
264 1
1,84 1019 0,30666... 1016 kg 3,0666... 1015 kg
b) 6000
6 103
3.12 El número de quinielas sencillas que se pueden rellenar es 315. Si cada apuesta costara 0,80 euros, ¿cuánto habría que gastar para rellenar todas las columnas posibles?
315 0,80 11 479 125,60 euros 11,47912560 millones de euros
3.13 La masa de la Tierra es de, aproximadamente, 5,98 1024 kilogramos, y la de un bote de refresco, de 330
gramos. ¿Cuántos botes harían falta para igualar el peso de la Tierra?
5,98 1024
El número de botes de refresco sería: 18,1212... 1024
0,33
3.14 Un adulto tiene entre 4,3 y 5,9 millones de hematíes por mililitro de sangre. Si en total tiene unos 5 litros de sangre, ¿cuántos hematíes tendrá?
4,3 hematíes/ml de sangre 5 103 ml sangre 21,5 103 millones de hematíes
5,9 hematíes/ml de sangre 5 103 ml sangre 29,5 103 millones de hematíes
Por lo que un adulto tendrá entre 21,5 103 y 29,5 103 millones de hematíes.
3.15 La calculadora permite expresar números en notación científica. Investiga cuáles son sus límites, es decir, el mayor y el menor número que se puede expresar en notación científica usando la calculadora.
Mayor: 9,999999999 1099
Menor: 9,999999999 1099
Radicales y potencias de exponente fraccionario
Ejercicio resuelto
3.16 Expresa como radicales las siguientes potencias.
1
3
a) 72
b) 255
1
a) 72 c) 320,5
3
7
3
6
b) 255 (52)5 55 PA R A
5
1
56
1
5
c) 320,5 322 (25)2 22 25
P R A C T I C A R
3.17 Expresa como radicales estas potencias.
2
2
a) 163
a)
3
b) 1254
3
2
16
b)
c) 815
125
c)
5
3
81
5
d) 1002
d)
5
100
3.18 Calcula las siguientes potencias en forma fraccionaria y luego pasándolas a forma radical. Comprueba
que los resultados son iguales.
8
10
a) 42
8
a) 42 44 256
8
42 48 256
10
b) 215 212 441
10
215 52
6
b) 215
5
2110 441
c) 173
6
c) 173 172 289
6
173 12
3
6 289
17
d) 114 113 1331
12
114 4
1112 1331
12
d) 114
3.19 Escribe las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario.
a)
5
2
b)
1
7
25
c)
5
a) 25
228
d)
4
3
d) 1
23
28
b) 27
21
c) 22
1
4
Ejercicio resuelto
3
4
73, 75, 75.
3.20 Ordena de menor a mayor:
Primero se escriben en forma de potencia.
3
3
2
73 7
75 7
4
5
3
4
3
75 7
Para comparar potencias de la misma base se reducen a común denominador los exponentes fraccionarios.
3
18
5
72 712
20
4
73 712
16
73 712
6 18 20 .
Ordenar las raíces es ahora sencillo, solo hay que ordenar los exponentes: 1
1
2
12
12
4 5
3
7 73 75.
El orden pedido es el siguiente: 3.21 Ordena los siguientes radicales de menor a mayor.
a)
8
10
16
213, 2
17, 223
b)
8
10
13
a) Forma de potencia: 213 28;
7
1
10
217 2
16
3
4
35
, 100
, 28
3
2
16
223 2
;
Se reducen a común denominador los exponentes fraccionarios:
13
130
17
136
23
115
28 280 ; 210 280 ; 216 216
115
130
136
Orden de los exponentes: 80
80
80
16
8
10
23
Orden de los radicales: 2
213 217
1
1
b) Forma de potencia: 28
(4 7) 2 2 7 2 ;
3
4
2
3
5
4
35 3
(2 5) ; 100
Se reducen a común denominador los exponentes fraccionarios:
1
12
6
1
2
8
1
5
15
1
2 72 21 12 712 (212 76)12 ; (2 5)3 (2 5)18 (28 58)18 ; 34 312 (315)12
Orden de las bases: 212 76 28 58 315
4
3
Orden de los radicales: 35 100
28
3.22 Escribe como potencia y calcula las siguientes raíces.
3
a)
212
c)
12
10
b)
36
d)
1
10
a)
212 2
c)
1012 10
b)
36 3
d)
1
10
10
2
1
2
6
2
26 64
33 27
3
12
3
3
12
2
1
3
104 10000
12
3
1
104 0,0001
10000
Ejercicio resuelto
3.23 En las siguientes fórmulas, despeja la incógnita indicada.
a) E m c 2, despeja c.
4
b) V r 3, despeja r.
3
E
a) E m c 2 → c 2 → c =
m
mE
4
3V
3V
b) V r → r → r = 3
4
4
3
3
3
53
3.24 En las siguientes fórmulas, despeja la incógnita indicada.
1
a) V V0 t a t 2, despeja a.
2
b) (a x) 2 b 2 c 2, despeja x.
1
1
(V V t) 2
a) V = V0 t a t 2; V V0 t a t 2 → a 0
2
2
t2
b) (a x)2 b2 c 2; (a x)2 c 2 b2 → a x c 2 b2 → x a PA R A
c 2 b2
A P L I C A R
3.25 La razón de los lados de dos depósitos cúbicos de agua es 3/4, y los volúmenes son 1728 y 4096 metros cúbicos, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo, calcula la razón de sus volúmenes
y compárala con la de sus lados.
Sean x e y los lados de los depósitos. Los cubos son semejantes.
El volumen se calcula como x 3 e y 3.
3
x
12
1728
y
16
4096
3
1728
27
33
Razón entre los volúmenes: 3
4093
64
4
La razón de los volúmenes será el cubo de la razón de los lados.
3.26 Halla una fórmula que permita calcular el volumen de un cubo a partir de su superficie total.
Sea x el lado del cubo. Como está formado por 6 caras cuadradas, su superficie será: S 6 x 2; por lo que despejando
x
6S.
El volumen del cubo se calcula como V x 3. Sustituyendo V S 3
S
6
6
3
2
3.27 El diámetro de un balón, expresado en centímetros, es un número natural. Si tiene un volumen de entre 13 y 17 decímetros cúbicos, ¿cuál es su diámetro?
4
Volumen del balón: V r 3
3
4
13 r 3 17; ⇒
3
13 3
17 3
r ;
4
4
3
3
1,45865... r 1,59509...
Por tanto, el diámetro se encontrará comprendido entre:
d 2r;
2,91730... d 3,19019... Al ser un número natural, el diámetro es de 3 decímetros.
3.28 Un alumno ha calculado los cuadrados de varios números de seis cifras. Ha obtenido los siguientes resultados.
a) 5 751 425 457
d) 6 195 264 100
b) 816 302 041
e) 999 998 000 001
c) 15 241 383 936
f) 1 000 468 054 756
Sin usar la calculadora, ¿podrías indicar los números en los que es seguro que el alumno se equivocó?
Al multiplicar un numero de 6 cifras por sí mismo, el resultado debe tener 11 ó 12 cifras, por lo que seguro que están mal los
resultados a, b, d y f.
54
Radicales equivalentes. Simplificación
PA R A
P R A C T I C A R
3.29 Escribe tres radicales equivalentes a cada uno de los siguientes.
a)
5
b)
2
c)
74
a)
52 53 54
5 b)
22 23 24
2 c)
74 78 712 716
3
5
4
12
8
8
6
9
2
5
10
15
20
3.30 Investiga si son equivalentes los radicales
6
6
—3—
6
2333 6
216
1
6—2— 6
y
3
d)
216
e)
a4
f)
bx
d)
216 28 248 216
e)
a4 a20 a8 a12
f)
bx b 3x b 5x b 2x
5
y
4
12
5
25
10
y
3y
5y
8
15
2y
6
216.
6. Por tanto, ambos números son equivalentes.
3.31 Escribe tres potencias equivalentes a cada una de las siguientes.
1
3
a) 3—2—
c) 7—2—
1
7
b) 7—2—
d) 2—9—
1
1
e) 7—5—
g) 27—3—
3
1
f) 9—2—
h) 11—5—
1
4
2
3
12
6
3
1
4
2
3
e) 7—5— 7—2—0 7—1—0 7—1—5
1
4
2
3
f) 9—2— 9—8— 9—4— 9—6—
3
12
6
7
14
21
a) 3—2— 3—8— 3—4— 3—6—
b) 7—2— 7—8— 7—4— 7—6—
9
c) 7—2— 7—8— 7—4— 7—6—
28
d) 2—9— 2—1—8 2—2—7 2—3—6
9
1
4
2
1
4
2
3
g) 27—3— 27—1—2 27—6— 27—9—
3
h) 11—5— 11—2—0 11—1—0 11—1—5
3.32 De los siguientes pares de potencias, ¿cuáles son equivalentes?
1
2
5
6
2
a) 21—5—, 21—1—0
15
c) 7—4—, 7—30—
2
d) 19—3—, 190,666...
b) 13—8—, 13—7—
1
2
1
2
a) 21—5— y 21—1—0 . Son equivalentes, ya que los exponentes también lo son: .
5
10
5
6
5
6
b) 13—8— y 13—7—. No son equivalentes, ya que .
8
7
5
2
15
1
—2—
—1—
c) 7 4 y 7 30 . Son equivalentes, ya que los exponentes también lo son: .
4
30
2
2
1
d) 19—3— y 190,666... Son equivalentes, ya que los exponentes también lo son: 0,6
3
3.33 Expresa los siguientes radicales como potencias y, si es posible, simplifícalas.
3
4
a)
64
c)
49
b)
27
d)
4096
a)
64
64
—1—
3
2—3— 22 4
c)
49
49
b)
27
27
—1—
2
3—2—
d)
4096
4096
3
6
3
6
4
6
—1—
4
2
1
7—4— 7—2—
—1—
6
12
2—6— 4
55
Ejercicio resuelto
3.34 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes radicales:
3
6
3, 4, 2.
Para obtener radicales equivalentes a los dados, se elige como índice común 6, esto es, el mínimo común múltiplo de los índices.
3
3.2
6
6
12
32 9
3 3
6
4
2.3 1 3
6
6
23 8
2 2
De este modo tenemos que:
6
6
6
4 8 9
6
3
4 2 3
⇒
3.35 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes radicales.
5
10
4
5
a)
3, 2, 5
b)
2, 5, 12
3
a)
6
2, 5, 3
c) 3,
—1—
2
3 3
5
5
1
5
—1—
5
2
2 2
3—1—0 243—1—0 ,
10
1
—1—
10
5 5
2—1—0 4—1—0 ,
10
Por tanto: 2 5 3
b)
—1—
2
2 2
10
4
1
4
—1—
4
5 5
2—2—0 1024—2—0 ,
5
5
1
12
12
5—2—0 3125—2—0 ,
—1—
5
4
1
12—2—0 20736—2—0
5
Por tanto: 2 5 12
6
1
—1—
2
2 2
c) 3 3—6— 729—6—,
6
3
3
1
—1—
3
2
5 5
2—6— 8—6—,
1
5—6— 25—6—,
6
3 3
—1—
6
3
Por tanto: 3 2 5 3
3.36 Explica cómo las siguientes expresiones, tan aparentemente distintas, son equivalentes.
1
Las tres expresiones tienen la misma base y exponentes equivalentes: 2—2—.
1
—1—
2
2 2 ;
20,5 2—2—;
1
1
3
1
8—6— (23)—6— 2—6— 2—2—
1
1
2
3.37 Los lados de tres cuadrados miden, respectivamente, 5—4—, 5—6— y 5—3— metros. Ordénalos de menor a mayor
según sus correspondientes áreas.
Calculamos las áreas:
1
1
2
1
3
1
1
2
1
2
1
A1 5—4— 5—4— 5—4— 5—2— 5—6— 125—6—
1
A2 5—6— 5—6— 5—6— 5—3— 5—6— 25—6—
Ordenando las áreas de menor a mayor:
2
2
4
8
1
A3 5—3— 5—3— 5—3— 5—6— 390625—6—
⇒ A2 A1 A3
Ejercicio resuelto
3.38 Calcula la raíz de
.
225
Para hallar la raíz se factoriza el radicando.
—1—
2
2
52 (3
5)2 152 (152)
3
225
56
2
15—2— 15
3.39 Calcula la raíz de
3
3
0.
34300
3
235373 70
5 343000
3.40 Calcula las siguientes operaciones.
10
2 a) ——
5
b)
3
3
: 2
16
2 10
a) 5
16
b) 16
8 2
: 2 2
3
2 10
2
5
3
3
3
c)
27
53 5
d)
24
2 c)
d)
2 24 25 2
5
5
5
3
5
5 27
35
27
5
5
33
3
3
5
4
4
e)
33 317
f)
14 : 2000
e)
33 317 320 35
f)
1
1
14 : 2000
232
12
3
3
4
4
4
3
3
3
2 3 4
3.41 Calcula las siguientes operaciones.
4
a) (2
7)3
3
b) (3
. 23)7
4
7
4
21
c) (
22)2
7
a) (
27)3 (2—4—)3 2—4— 25 2
3
21
b) (
3 23)7 3—2— 2—2— 332106
3
4
c) (
22)2 2—3— 22
3.42 Aplica las propiedades de las potencias para deducir la forma de hallar la raíz de un radical.
n
—1—
a
n
a 1
——
b
bn
3.43 Calcula las siguientes raíces de radicales.
a)
218
a)
2 2
3
3
8
—1—
3
18
—1—
2
23
b)
5
b)
5 5 3
3
4
4
—1— —1—
4 3
1
5—2—
c)
c)
27
2
27
3
3
3
3
2
1
27—3—
—1—
3
2
6
2
3—9— 3—3—
Operaciones con radicales
PA R A
P R A C T I C A R
3.44 Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles.
3
a)
8
35
57
2
b)
5
b12
c7
a
a)
28 35 57 24 32 53 35
b)
a5 b12
c7 a3 b4 c2 a2 c
3
3.45 Simplifica extrayendo del radical el máximo de factores posibles.
a)
180
b)
3
c)
72
162
d)
24 000
a)
2 2
3 5 2 35
2
180
c)
2 3
2 2
32
3
72
b)
342 32
162
d)
24 000 53263 5 223
4
4
4
4
3
3
3
3
3
3
3
3
e)
48
f)
5000
e)
32
3 23
48
f)
5323 10
5000
3
3
3
3
3
3
57
3.46 Introduce los factores enteros en los radicales.
a) 25
3
b) 117
a) 25 4
c) 102
d) 52
3
5 22 20
b) 117 c) 102 4
7 112 847
d) 52 3
3
2 103 2000
4
2 54 1250
3.47 Introduce los factores dentro de la raíz y simplifica.
ab
a
d) c
bc
23 34 c) 5
27
a) 23 35 a) 23 35 27 2
4
3 3
23 34 c) 5
26 55 27 213 55
b) 35 7 3 72 3
3
4
3 72
b) 35 7 ab3
d) c2
4
320 74
3 72 321 76
511 2
310
3
3
511 2
310
3
29 312 511 2
53 310
3
210 32
58
ac
b
a2b6a3
c4b3c3
a3
b3c3
5
3
3.48 Realiza las operaciones indicadas.
a)
a)
3
4
6
a2 a3 a5
3
4
b)
3 2
23 7
3
4
7
5
6
7
6
—2—
3
—3—
4
—5—
6
31
a2 a3 a5 a a a
a—1—2 12
a31
b)
3 2 2 3 2
23 37
7
3
4
7
—3—
4
5
6
—7—
6
—7—
4
7
—5—
6
—1—
6
3
7
5
—— —— ——
2 4 37 6 21 6 3—4—7—6—
2 3
7
19 7
12
2
3.49 Expresa en forma de radical el resultado de las siguientes operaciones.
a)
75
: 105
42
b)
5 12
16
a)
75
: 105
42
b)
5 12
2
16
c)
318
50
2
16
d)
645
80
25
20
3
5
3
3
5
3
4
——
3
2 3 7 523
2357
1
2
1
21
3
1
7
1
3
16
318
50
d)
20
645
80
5 15
15
3
1
3
c)
—1—
2
1
5—2— 2—5— 3—5— 2—1—5 5—2— 3—5— 2—5— 5—2— 3—5—
3
—4—
3
5
1
2
1
3—3— 2—3— 5—3— 2—3—
—1—
2
1
1
1
1
2 3 3 5—2— 5—2— 22 2 5—2—(1 6 2) 2 5—2— 3
Ejercicio resuelto
2
3
7 .
3.50 Racionalizar una fracción es hallar otra equivalente sin raíces en el denominador. Racionaliza y
5 5
2 72
En el primer caso se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número, la raíz cuadrada que aparece en el denominador.
23
23 2
26
26
6
2
52
52 2
52
5 2
5
En el segundo, para eliminar la raíz de índice 5 necesitamos conseguir un exponente múltiplo de 5.
7 7 73 7 73 7 73 5 5
5
5
7
73
72 72 75
5
58
5
5
5
73
3.51 Racionaliza las siguientes fracciones.
a) 3
2
b) 1
3
12
c) 2
6
5
32 32
a) 3 2
2 2 2
12
d) 7 25
26 26
c) 2 56
30
56 6
32 2
18
b) 1 3
3
2 3 2
3 2 3
2
6
12
3
3
7
12
22 12
d) 12 7
7 7 2
22
7 25 2
25
PA R A
A P L I C A R
Problema resuelto
3.52 El profesor asegura que el número
3
) (2 3) es entero. ¿Es posible?
(2
7
Observamos que en el radicando se tiene una suma por una diferencia, por lo que al multiplicar se obtiene lo siguiente.
(2 3
) (2 2 (
4 3 1 1
3) 3) 2
2
En efecto, el resultado es un número entero.
3.53 Los lados de un corral rectangular miden
Área del corral rectangular: A 2
y
32
metros. ¿Puede ser su área un número natural?
26 23 8 metros
2 32
Por tanto, su área sí que es un número natural.
(4 2
4 2
2) (
2) es un número entero.
3
3.54 Comprueba si el número
Observamos que en el radicando se tiene una suma por una diferencia, por lo que al multiplicar se obtiene lo siguiente.
2
2) (4
22) (16
4 2) 8 2
(4
3
3
3
Por tanto, el resultado es un número entero.
3.55 Víctor trata de obtener con su calculadora un número comprendido entre 1 y 2 partiendo de un número
inicial y usando repetidamente la tecla √ . Por ejemplo, si comienza con el 20, tiene que pulsar tres veces
dicha tecla.
20 → √ → 4,472... → √ → 2,114... → √ → 1,454...
a) ¿Cuántas veces tendrá que hacerlo si empieza en el número 300?
b) ¿Y si empieza en el 1000?
c) Indica la operación realizada usando una sola raíz.
a) 300 →
2 → 17,32051... → 2 → 4,161791... → 2 → 2,040046... → 2 → 1,428302...
Tendrá que hacerlo cuatro veces.
b) 1000 →
2 → 31,62277... → 2 → 5,623413... → 2 → 2,371373... → 2 → 1,539927...
En este caso tendrá que pulsar la tecla cuatro veces.
c) La operación realizada será:
x (x) 1
—1— ——12——
2 2
1
——
2
—1—
2
—1—
2
—1—
2
1
(x)—1—6 16
x.
3.56 Adivina un número a sabiendo que:
• Su raíz cúbica es mayor que 4.
• La raíz cúbica de su cuadrado es menor que 17.
El número es un entero múltiplo de 10.
3
a 4;
a 43 64;
3
(a2) 17; a 17
3 70,0928...
64 a 70,0928... Por tanto, el número es el 70.
59
Matemáticas aplicadas
PA R A
A P L I C A R
3.57 Calcula el tamaño de un archivo que contenga las siguientes imágenes.
a) De 640 480 píxeles guardada en blanco y negro.
b) De 240 320 píxeles guardada en formato gif, es decir, con una profundidad de 8 bits por píxel.
a) Para una imagen en blanco y negro se utilizan 4 bits por píxel; como la imagen tiene 640 480 307 200 píxeles, el archivo
1 228 800 (bits)
ocupará 4 307 200 1 228 800 bits 150 KB.
bits
byte
8 1024 byte
kilobyte
b) Para una imagen en color indexado se utilizan 8 bits por píxel; como la imagen tiene 240 320 76 800 píxeles, el archivo
614 400 (bits)
ocupará 8 76 800 614 400 bits 75 KB.
bits
byte
8 1024 byte
kilobyte
3.58 Un fichero contiene una imagen de 80 320 píxeles. Observa el tamaño del fichero y señala, en cada
caso, el modo en el que se ha guardado.
a) 12,5 KB
b) 25 KB
c) 75 KB
Para la imagen se utilizan 80 320 25 600 píxeles.
Si ocupa 12,5 KB 12,5 1024 8 102 400 bits. Se calcula el número de bits por píxel para determinar el modo en que se
102 400 (bits)
ha guardado: 4 bits por píxel, por lo que se ha guardado en escala de grises.
25 600 (píxeles)
Si ocupa 25 KB 25 1024 8 204 800 bits. Se calcula el número de bits por píxel para determinar el modo en que se ha
204 800 (bits)
guardado: 8 bits por píxel, por lo que se ha guardado en color indexado.
25 600 (píxeles)
Si ocupa 75 KB 75 1024 8 614 400 bits. Se calcula el número de bits por píxel para determinar el modo en que se ha
1 611 400 (bits)
guardado: 24 bits por píxel, por lo que se ha guardado en color verdadero.
25 600 (píxeles)
Actividades finales
PA R A
P R A C T I C A R
Y
A P L I C A R
3.59 Escribe en notación científica estas cantidades.
a) 0,00000000771
b) 992 600 000 000
c) 0,000000041
¿Cuál tiene el mayor orden de magnitud? ¿Y cuál el menor?
c) 0,000000041 4,1 108
a) 0,00000000771 7,1 1010
b) 992 600 000 000 9,926 1011
d) 4 840 000 000
d) 4 840 000 000 4,84 109
b es el que tiene mayor orden de magnitud, y a, el menor.
3.60 Escribe correctamente en notación científica:
a) 887 105
b) 5785,46 108
c) 0,0052 1012
a) 887 105 8,87 107
c) 0,0052 1012 5,2 109
b) 5785,46 108 5,78546 105
d) 0,004 1024 4 1027
3.61 Expresa en metros las siguientes medidas usando la notación científica.
a) 3 millones de kilómetros
b) Una millonésima de milímetro
c) 26 1012 hectómetros
a) 3 millones de kilómetros: 3 000 000 metros 3 109 metros
b) Una millonésima de milímetro: 1 109 metros
c) 26 1012 hectómetros 26 1010 metros 2,6 1011 metros
60
d) 0,004 1024
3.62 El factorial de un número se define: n! n (n 1) … 3 2 1.
Por ejemplo:
6! 6 5 4 3 2 1 720
Con la ayuda de la calculadora, investiga el orden de magnitud de los siguientes números factoriales.
a) 15!
b) 25!
c) 40!
a) 15! 1,30767 1012
b) 25! 1,55112 1025
c) 40! 8,15915 1047
3.63 Realiza las siguientes operaciones expresando el resultado en notación científica.
a) 2,85 1010 3,16 108 4,28 109
c) (10,25 105) : (20,5 107)
b) 3,01 105 8,24 104 71,5 107
d) (7,35 106) (1,49 103 40,2 104) : (9,95 103)
a) 2,85 1010 3,16 108 4,28 109 (285 3,16 42,8) 108 245,36 108 2,4536 1010
b) 3,01 105 8,24 104 71,5 107 1773,372 106 1,773372 109
c) (10,25 105) : (20,5 107) 0,5 1012 5 1011
d) (7,35 106) (1,49 103 40,2 104) : (9,95 103) (7,35 106) (0,149 104 40,2 104) : (9,95 103) (7,35 106) (40,349 104) : (9,95 103) 29,80554 107 2,980554 108
3.64 En una muestra hay 5,23 106 bacterias, cada una de las cuales pesa 2,5 1010 gramos. ¿Cuál es el peso
total?
Peso total de las bacterias: 5,23 106 2,5 1010 0,5 1012 13,075 104 1,3075 103 gramos
3.65 En el año 2003, la distancia entre la Tierra y Marte era de 56 millones de kilómetros (la distancia más
cercana de los últimos 60 000 años). Calcula cuánto tiempo hubiera habría tardado en llegar a Marte
una nave espacial que hubiese llevado una velocidad de 1,4 104 metros por segundo.
El tiempo se calcularía como:
espacio
56 109
t 4 40 105 segundos 4 106 segundos 1,111 103 horas
velocidad
1,4 10
3.66 Escribe tres raíces equivalentes a cada uno de los siguientes números.
7
a)
34
a)
34 38 312 316
3
4 4
5 25
5
125
6 4
12 8
4
8 8 8 2
b)
c)
2
c) 8—3—
b) 5
7
14
21
28
—2—
3
3.67 Ordena de menor a mayor estos radicales:
5
6
a)
27,
a)
27 3
32
3,
6
32
5
4
5
b)
2, 5, 12
b)
2 5 12
4
5
3.68 Indica cuántas raíces tienen los siguientes números y calcúlalas cuando sea posible.
3
0,49
a)
0,7. Tiene dos raíces.
0,49
3
6. Tiene una raíz.
216
. No tiene raíces, ya que no existe la raíz cuadrada de un número negativo.
4
3
3. Tiene una raíz.
125
b)
c)
d)
b)
216
c)
4
3
a)
d)
125
3.69 Calcula el valor de las siguientes potencias.
3
2
a) 25—2—
b) 343—3—
23
3
a) 25—2— 5—2— 53 125
2
32
b) 343—3— 7—3— 72 49
c) 160,25
d) 270,3333...
1
4
c) 160,25 16—4— 2—4— 2
3
d) 270,3333... 3—3— 3
61
3.70 Efectúa las siguientes operaciones.
a)
8 27
b)
: 200
512
c)
4 392
3
e)
3
3
f)
5
4
g)
d)
:
2187
a)
23 33 66 14,69694...
8 27
b)
: 200
=
512
c)
227
4 392
d)
: 108
2187
e)
1
2 2
12 8 : 4 22
f)
223 : 25 2 : 32
2 12
g)
8 3
108
5
28
32 25
3
—2—
3
—3—
5
—2—
5
19
25
2 2
5
1—
1
—
12
—2—
3
6
3
1
3
1
(23)—2—
1
(26)—2—
6
8
3
64
3
2
3
22
2 1,367981...
5
2
—3—
4
h) (64)2 3
: 32
2
12
2—1—5 7—5— 5,240152...
—1—
2
3
3
3
3
3
2 3
1
2—4—3—4— 4 3
—2— —3—
2232
3
2 4
4
4
3
3
h)
12 8 : 4
—1—
2
1
12 11
2
2 3—2— 2—6— 2—6—3 3 3
5
2—3—
2
1
6
1
2—4— 1
4
2
2
1
3
22 4
3.71 Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles.
x y
xy
a)
xy
z
z
2 3 2
2
3 2
2
b) 3 2 3 2
3
5
3
5
35
4 6 3
26 263
c)
2 6
18 3
2 3
a)
5
x12 y54
1
z 00
12 54
2 100
100
20
5
3
4
23
b) 34
20
5
5
c)
c)
2
3
45 64 3
182
3
6
2
4
4
6
2
4
4
6
4
3
320 210
56
2 4
3
10
6
6
3
4 3
3
2
3.72 Realiza las operaciones indicadas.
4
8
6
a)
2 3 2
3
a)
5
9
36 2
35 2
2
5
6
8
9
5
b)
8
—3— —1—
4
5
—1—
24
8
—1—
24
6
—3—
24
0
—2—
24
a3 a
3
a2
1
—5—
24
—9— —6—
a3 a a 4 a 2 a 12 a 12 a—17—2 b) 8
—2—
——
3 2
12
3
a
a
a
c)
62
2 3
4
3
3
2—4—
1
2
8
—3—
24
1
3
24
3 14
3 2 3 2 3 122
3
1
8
2 8
2
12
a7
3
4
3
3.73 Realiza las operaciones indicadas.
a)
75
a)
12
33 53 43 33 43
75
12
33
b) 52
48 1018
c)
3
25
9
8
54
3
b) 52 48 1018
52 82 302 172
c)
3
25 9 584 22 362
3
3
2
3
1
3.74 Cualquier número natural se puede expresar como suma de un
máximo de cuatro cuadrados perfectos. Esto nos permite representar la raíz cuadrada de cualquier número usando el teorema de Pitágoras.
Descompón en suma de cuadrados perfectos los siguientes números e indica cómo se representarían sus raíces cuadradas.
a) 41
b) 27
–1
0
1 √2 √3 2
3 = 12 + 12 + 12
3
c) 31
a) 52 42 25 16 41
Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 4 cm.
4
El cuadrado de la hipotenusa medirá: h2 52 42 25 16 41.
Valor de la hipotenusa 41
41
–1 0 1 2 3 4
b) 52 12 12 25 2 27
5 6 7
Al no poderse escribir como suma de dos números naturales,
para su representación lo descomponemos de dos en dos:
27 2 25 (2)2 52
Así, para representar
se tiene que dibujar primero 2:
27
5
Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 cm y 1 cm
La hipotenusa medirá: h2 12 12 2
Valor de la hipotenusa 2
27
Se dibuja de nuevo un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2 cm
y 5 cm, cuya hipotenusa medirá: h2 22 52 27 ⇒ h 27
–1
0
1 22
3
4
5
6
c) 52 22 12 12 25 4 1 1 31
Representación: no se puede escribir 31 como suma de cuadrados de dos
números naturales, pero sí se puede descomponer como
31 6 25 (6)2 52.
Así, para representar 31
se tiene que dibujar primero
y posteriormente sumarle 25 unidades.
6
Representación de 6 : h2 22 (2)2 6; así, para representar
se tiene que dibujar primero 2:
6
5
Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 1 cm.
2
31
El cuadrado de la hipotenusa medirá: h 1 1 2.
2
2
2
2
Después se representará 6 como hipotenusa del triángulo con
catetos 2 y 2. Finalmente se dibujará 31
como hipotenusa del
triángulo con catetos 5 y 6.
Valor de la hipotenusa –1
0
1 2 2 63
4
5
6
3.75 ¿Cuántas cifras puede tener la raíz cuadrada de un número de seis cifras? ¿Y la raíz cúbica?
La raíz cuadrada de un número de seis cifras es un número de tres cifras enteras.
La raíz cúbica tendrá dos cifras enteras.
63
PA R A
R E F O R Z A R
3.76 Escribe los siguientes números empleando notación científica.
a) 0,000000000235
b) 5 480 000 000 000
a) 0,000000000235 2,35 1010
b) 5 480 000 000 000 5,48 1012
3.77 Sin hacer las operaciones, indica el orden de magnitud del resultado.
a) (3,5 1015) (1,2 107)
d) (2,67 1043) : (1,4 1033)
b) (2,24 1015) (3 1020)
e) (5,78 1021) : (2,22 1025)
c) (2 1023) (1,55 1030)
f) (9,93 107) : (3,12 107)
a) Exponente 22: orden de magnitud 22
d) Exponente 43 33 10: orden de magnitud 10
b) Exponente 15 (20) 25: orden de magnitud 25
e) Exponente 21 (25) 4: orden de magnitud 4
c) Exponente 23 (20) 7: orden de magnitud 7
f) Exponente 7 (7) 14: orden de magnitud 14
3.78 Despeja x en cada ecuación.
a) a x2
c) 42 x3
b) 125 x3
d) x3 24
a) a x2; x a
c) 42 x3; x b) 125 x3; x 3
5
125
3
16
d) x3 24; x 21
3
4
3.79 Expresa en forma de potencia de exponente fraccionario y en forma de raíz y calcula:
a) 320,2
1
c)
c) 625—10—0
5
2
32
3
0,666...
1000 1000
1000
2 100
4
625 625 625 625
5
a) 320,2 32—5— b)
25
b) 10000,666...
—2—
3
5
—2—
100
5
—2—
100
—1—
4
3.80 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes radicales.
12
15
27
18
29
213
Se calcula el mínimo común múltiplo de los exponentes: m.c.m. (12, 15, 18) 180.
12
27 2
—7—
12
105
2—18—0 ;
15
—9—
15
29 2
108
2—18—0 ;
18
213 2
Ahora podemos ordenar de menor a mayor:
12
3
—1—
18
130
2—18—0
15
18
29 213.
27 3.81 Introduce el factor en el radical.
3
a) 72
a) 72 b) 3 3
3
722 98
b) 3 3 333 81
3.82 Extrae factores de los radicales.
3
a)
6125
b)
648
a)
7253 35 5
6125
b)
2334 6 3
648
3
3
3
3.83 Calcula las siguientes operaciones.
1
b) 20
2 a) 32
72 42
75
445
a) 32 72 42 (3 7 4)2 0
1
b) 20
2 64
1
2
22 52 2 45
32 5 52 125 135 52
445
25
75
2
3.84 Expresa como un único radical:
a) 56
45
d) 3
b) 23
72
e)
c)
3
3
5 6
a) 56 f)
4
45
d) 3
—1—
2
52 150
150
6
b) 23 72 3
2 2
6
3
5
3
4
—1—
2
2
22 72 2352
2352
6
e)
3
435 15 15
4
—1—
3
2 2 2
6
c)
3
3
5 6 5 6
3
—1—
2
7
1
2—4— 2—1—2
33 51
3 3 5 3—2— 5—6— f) 1
42
4
4—3—
1
——
30 3
30
PA R A
1
1
27 5
135
16 16
1
6
1
6
1
6
A M P L I A R
3.85 Calcula a, b, c y d en esta igualdad.
104 1
46 8112
2a 3b 5c 7d
4
6
14
8112
54247626
348 527325314 2a 3b 5c 7d
10
Por consiguiente: a 5, b 14, c 2, d 3
k
3.86 Estudia el método empleado para racionalizar fracciones de la forma .
a b
1
a) Comprueba que la fracción se puede racionalizar multiplicando numerador y denominador
3 2
3 2.
por 1
b) Comprueba que la fracción se puede racionalizar multiplicando numerador y denominador
6 2
6 2.
por Para racionalizar una fracción, tendremos que conseguir eliminar las raíces del denominador. Para ello:
k
ab
Si
(a b)
k(a b)
k(a b)
(a b) (a b)
ab
Si
(a b)
k(a b)
k(a b)
(a b) (a b)
ab
(3 2)
(3 2)
a) (3 1
(3 2) (3 2)
2)
(6 2)
(6 2)
b) 4
(6 2) (6 2)
3.87 Racionaliza las siguientes fracciones.
3
a) 7 3
2
b) 3 2
5
d) 8 22
3
3(7 3)
a) 4
7 3
2(3 2)
2
b) 1
3 2
2
c) 2
3 2
2
2(3 2)
3 2
c) 5
10
23 2
6 2
5
5(8 22)
d) 56
8 22
65
3.88 Un mago te pide que elijas un número de dos cifras y lo eleves al cubo. Cuando le dices el resultado, lo escribe en la pizarra e inmediatamente escribe el número original. ¿Cómo
lo hace? Copia las tablas, a ver si lo descubres.
Una pista: si el cubo es 103 823, el mago se fija en dos cosas; en el intervalo de la tabla al que pertenece y en la cifra de las unidades. Después, indica inmediatamente que su
raíz cúbica es 47.
Halla por este método las siguientes raíces cúbicas.
a)
3
13824
b)
3
2
19511
c)
3
1
53144
Se separa el número en dos:
• Se calcula el cubo de los tres primeros dígitos por exceso y por defecto.
• A los últimos tres dígitos se les aplica el módulo 10 obteniendo un dígito, que se mira en la
tabla consiguiendo su resultado de elevarlo al cubo y aplicarle el módulo 10.
Así, con este resultado y la primera aproximación se halla la raíz cúbica.
El cubo de 103 823: el mago lo separa así: 103 y 823.
La raíz de 103 estará entre 4 y 5. Por lo que la raíz del número completo se encontrará entre
40 y 50.
823 mod 10 3, le corresponde el 7 en la tabla, y como 57 no puede ser, ya que se pasa del
rango, el resultado es 47.
a)
3
24
13824
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
n3 mod 10
1
8
7
4
5
6
3
2
9
0
La raíz de 13 estará entre 2 y 3. Por lo que la raíz del número completo se encontrará entre 20 y 30.
824 mod 10 4, en la tabla obtenemos 4, y como 34 no puede ser al pasarse del rango, el resultado es 24.
b)
3
58
195112
La raíz de 195 estará entre 5 y 6. Por lo que la raíz del número completo se encontrará entre 50 y 60.
112 mod 10 3, en la tabla obtenemos 8, y como 68 no puede ser al pasarse del rango, el resultado es 58.
c)
3
81
531441
La raíz de 531 estará entre 8 y 9. Por lo que la raíz del número completo se encontrará entre 80 y 90.
441 mod 10 1, en la tabla obtenemos 1, y como 91 no puede ser al pasarse del rango, el resultado es 81.
PA R A
I N T E R P R E TA R
Y
R E S O LV E R
3.89 Potencias sin fin
Ana ha anotado el valor de las primeras potencias de base 7.
a) Con ayuda de la calculadora, obtén el valor de las potencias que ha dejado indicadas.
b) Fíjate en la última cifra de las potencias que has obtenido.
¿Qué regularidad observas? Explica la relación que encuentras entre el exponente y la última cifra de las potencias.
c) ¿Puede acabar en 5 una potencia de 7? Explica por qué.
d) Sin necesidad de hallar el resultado de las potencias, señala cuál es la última cifra de las siguientes: 712, 720, 722,
7221 y 7303.
77 823 543
78 5 764 801
79 40 353 607
710 282 475 249
711 1977 326 743
a) 76 117649
b) Cuando el exponente es múltiplo de 4, la última cifra es un 1.
Cuando el exponente es múltiplo de 4 más 1, la última cifra es un 7.
Cuando el exponente es múltiplo de 4 más 2, la última cifra es un 9.
Cuando el exponente es múltiplo de 4 más 3, la última cifra es un 3.
c) No puede terminar en 5, porque no hay ningún multiplo de 7 que termine en 5.
221 55 4 1 ⇒ 7221 acaba en 7.
d) 712 acaba en 1.
303 75 4 3 ⇒ 7303 acaba en 3.
20 5 4 ⇒ 720 acaba en 1
22 55 4 2 ⇒ 722 acaba en 9.
66
3.90 Las células robóticas
Se va a construir un nuevo robot con forma cilíndrica capaz de realizar numerosas tareas industriales.
Para ello se utilizan células con diferentes funciones, pero todas ellas con forma de esfera de 1,2 102 milímetros de diámetro.
a) Estima cuántas células harían falta para que, colocadas en fila, se consiguiera alcanzar la altura del
robot, que es de 1,65 metros.
b) Calcula cuántas células harían falta para completar la longitud de la circunferencia que determina la
sección del cuerpo del robot, sabiendo que tiene un diámetro de 30 centímetros.
c) Evalúa el número de células necesarias para completar el área de la capa más externa de la superficie cilíndrica del robot.
d) El peso de cada célula es de 0,02 miligramos. Estima el peso en kilogramos de la capa más externa
del robot.
Escribe los resultados en notación científica.
1650
células hacen falta.
a) 1,65 m 1650 mm de alto ⇒ 1,2 102
300
b) 30 cm 300 mm de diámetro ⇒ células hacen falta.
1,2 102
c) De alto, el cilindro tiene 1,375 105 células. Cada circunferencia tiene una longitud de 2πr 2π 150 300 π mm.
300 π
células. La superficie del robot tiene 1,375 105 7.854 104 células.
1,2 102
d) 1,08 1010 2 108 215,98 kg
A U T O E VA L U A C I Ó N
3.A1 Escribe usando notación científica las siguientes expresiones.
a) 24,3 billones
c) 3 220 000 107
b) 47 diezmilésimas
d) 45,2 1027
a) 24,3 billones 2,43 10 billones 2,43 1013
c) 3 220 000 107 3,22 1013
b) 47 diezmilésimas 4,7 10 diezmilésimas 4,7 105
d) 45,2 1027 4,52 1026
3.A2 Calcula las siguientes operaciones usando notación científica.
a) 25 000 000 48 000 000
c) 42 000 000 0,00009
b) 0,00000012 0,000007
d) 3 600 000 : 0,000004
a) 25 000 000 48 000 000 1,2 1015
c) 42 000 000 0,00009 3,780 103
b) 0,00000012 0,000007 8.4 10
d) 3 600 000 : 0,000004 9 1011
13
3.A3 Realiza la siguiente operación y expresa el resultado en notación científica.
(3,45 1012 40,12 1010) : (8 108)
(3,45 1012 40,12 1010) : (8 108) (3,45 1012 0,4012 1012) : (0,0008 1012) 1730,175 1012 1,730175 109
3.A4 Realiza las siguientes operaciones y escribe el resultado como una única raíz.
2
3
1
a) 2—3— 2—2—
d) 3—5— :
2
b) 30,333... 3—5—
c)
3
2 7
2
3
6
13
—2—
5
—1—
3
—2—
5
4
e)
3 3
f)
9 : 12
3
: (3
)2
3
1
a) 2—3— 2—2— 2—6— 42
4
33
4
1
3
11
d) 3—5— : 33 3—5— : 3—4— 3—2—0 —9—
15
b) 30,333... 3 3 3 3 15
39
c) No se puede expresar como raíz única.
4
3
—3—
4
e)
3 3 : (3)2 3
f)
3
9 : 12
3
—2—
3
—2—
3
31
20
9
—1—
12
:3 3 12
3
1
1 1
1 6
: (2 3—2—) 3—6— 3
2
2
67
6
3
3
55, 5
,
3.A5 Ordena de menor a mayor los siguientes números. 5—4—,
4
125 —3—
Se expresan los números con exponentes radicales:
3
9
5—4— 5—1—2 ,
5
10
5—6— 5—1—2 ,
1
4
5—3— 5—1—2 ,
48
54 5—1—2
3
3
6
4
Se ordena ahora de menor a mayor: 5 5—4— 55 125—3—
3.A6 Realiza las siguientes operaciones, cuando sea posible.
a)
4
4096
c)
000
250
d)
000
125
b)
12
324
a)
212 23 8
4096
b)
c)
00
. No tiene solución, ya que las raíces cuadradas tienen que ser de números positivos.
2500
d)
6
23 50
00
5
1250
3
4
3
3
4
12
324
3
3
3 22
1
22 34
3
3
3.A7 Realiza las operaciones indicadas.
a) 232
598
8200
b)
3
27a4
3
1 3
5a 8a
a1000a
7
c) 350
272
48 200
a) 232
598
8200
2 42 5 72 8 5 22 1232
3
3
3
3
3
3
1 3
b) 27a
4 5a 8a
a1000a
7 3aa 10a 10aa (13a 10)a
c) 3
50 2
72 48 200 152 12 2 82 102 92
3.A8 Un cubo tiene un volumen de 2 metros cúbicos. Calcula su superficie, expresando el resultado mediante
radicales.
Sea l el lado del cubo, su volumen será: l 3 2m3; l 3
1
Por tanto, la superficie será: 6l 2 6
2m2 6 2—3—m 2
68
3
2m
Entretenido
L A
M AT R Í C U L A
D E L
TA X I
Cuando Ramanujan enfermó, Hardy iba a verle al hospital. Un día le comentó que había llegado en un taxi
de matrícula 1729, un número que Hardy calificó de soso.
Ramanujan le contestó inmediatamente:
—Es un número muy interesante. Es el número más pequeño que se puede expresar como suma de dos cubos de dos maneras diferentes.
Comprueba que Ramanujan tenía razón.
Efectivamente:
1729 103 93
1729 123 13
Otros números que cumplen esto:
(9, 15) y (2, 16)
(15, 33) y (2, 34)
(16, 33) y (9, 34)
(19, 24) y (10, 27)
Es decir:
93 153 23 163 4104
153 333 23 343 39 312
163 333 93 343 40 033
193 243 103 273 20 683
Ramanujan tenía razón… 1729 no es un número soso.
69