UNIVERSIDAD DE COSTA RICA ESCUELA DE MATEMÁTICA MA–710: Tópicos de Álgebra Superior Segundo ciclo del 2015 Tercer Examen Parcial Hacer 5 de los siguientes 6 problemas. Cada uno vale 20 puntos. 1. A cada partición λ de {1, 2, 3, 4} le corresponde un tableau estándar T de forma λ con 1, 2, 3, 4 en orden creciente en cada fila, y en las filas sucesivas de arriba para abajo. Calcular los simetrizadores de Young correspondientes cT = aT bT , para cada λ ` 4. (Escribir cada cT como una expresión polinomial en C[S4 ].) 2. Si λ = (λ 1, . . . , λ m ) y λ + ρ = (l 1, . . . , l m ) con l j := λ j + m − j para j = 1, . . . , m, del fínase Aλ+ρ (y) := Aλ+ρ (y1, . . . , ym ) := det[yi j ], un polinomio alternante en m variables. (a) Comprobar que Aλ+ρ (1, x, . . . , x m−1 ) = ± Y (x l i − x l j ) 16i< j 6m con un signo ± que solo depende de m. (b) Si s λ (y) := Aλ+ρ (y)/A ρ (y) es el polinomio de Schur asociado con λ, calcular s λ (1, x, . . . , x m−1 ) para x , 1 y obtener así la fórmula de dimensión de Weyl: dim Sλ (V ) ≡ s λ (1, 1, . . . , 1) = Y 16i< j 6m 3. Para los tableaux T = 13 2 y R = 21 3 AT , BT , CT , AR, BR, CR ∈ EndC (V ⊗ V ⊗ V ) por λi − λ j + j − i . j −i y V = Cm , defínase los operadores AT (u ⊗ v ⊗ w) := 21 (u ⊗ v ⊗ w + v ⊗ u ⊗ w), BT (u ⊗ v ⊗ w) := 21 (u ⊗ v ⊗ w − w ⊗ v ⊗ u), CT := AT BT ; AR (u ⊗ v ⊗ w) := 12 (u ⊗ v ⊗ w + w ⊗ v ⊗ u), BR (u ⊗ v ⊗ w) := 12 (u ⊗ v ⊗ w − v ⊗ u ⊗ w), Sean ST V := CT (V ⊗ V ⊗ V ) y SRV := CR (V ⊗ V ⊗ V ). CR := AR BR . MA–729: Teoría de Representaciones Examen Parcial 3 (a) Demostrar que V ⊗V ⊗V ' S 3V ⊕ ST V ⊕ SRV ⊕Λ3V . n Indicación: para comprobar que ST V ∩ SRV = {0}, calcular BT AR y BR AT . o (b) Obtener la fórmula: dim ST V = m(m2 − 1)/3. 4. Para g = sl(2, C), sea Vr ' Cr+1 el g-módulo irreducible donde el elemento h actúa con autovalores {r, r − 2, . . . , −r }. Bajo la inclusión de matrices M2 (C) ,→ M3 (C) : ! A 0 A 7→ , se obtiene sl(2, C) ⊂ sl(3, C). La acción adjunta x 7→ (ad x) : y 7→ [x, y] 0 0 define una representación de g sobre sl(3, C). Demostrar la siguiente descomposición en suma directa de g-módulos simples: sl(3, C) ' V0 ⊕ V1 ⊕ V1 ⊕ V2 . t 5. Considérese ! el álgebra de Lie g = so(2l, C) := { X ∈ M2l (C) : X I2l = −I2l X } donde 0 1l . Esta g es semisimple (de hecho, g es simple.) Hallar matrices diagonales I2l := 1l 0 H1, . . . , Hl en g tales que h := C- linhH1, . . . , Hl i sea una subálgebra de Cartan de g. 6. Los sistemas de raíces A3 y D3 se definen así: Φ := { ±(e j − e k ) : 1 6 j < k 6 4 } ⊂ R4, Ψ := { ±(ei ± e j ) : 1 6 i < j 6 3 } ⊂ R3 . Aquí {e1, e2, . . . , en } denota la base ortonormal usual de Rn ; nótese que linhΨi = R3 y que linhΦi = (e1 + e2 + e3 + e4 )⊥ ⊂ R4 también es tridimensional. (a) Identificar una base ∆ = {α1, α2, α3 } de raíces simples en los dos casos. (Desde luego, es necesario comprobar que ∆ es efectivamente una base.) (b) Calcular las matrices de Cartan C = [ci j ], con entradas ci j := 2 hαi , α j i/hαi , αi i, en los dos casos. Demostrar que (después de reordenar una de las bases si fuere necesario) estas matrices de Cartan coinciden. Concluir que A3 ' D3 . 2