Reticulados - Desplazamientos Reticulados

Reticulados - Desplazamientos
2º Semestre 2015 Luis Segura Curso: Resistencia de Materiales 1
Introducción
Ya vimos como determinar los
esfuerzos que se transmiten en
cada elemento en un reticulado.
Ahora nos enfocaremos en ver
como éstos se deforman bajo
las acciones de las cargas
En general, cada barra podrá tener:
-un estiramiento (o acortamiento)
-un desplazamiento
-un giro
Para una barra de largo L
con A, E y N cte :
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∆L =
NL
AE
Como en todo el curso, trabajaremos bajo la
hipótesis de pequeños desplazamientos.
Estas componentes quedan definidas si
determino el desplazamiento u de cada nodo.
=> En R1, en reticulados, determinaremos los
desplazamientos u(X) de cada nodo X.
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A) Métodos gráficos
Suponemos que ya determinamos
las fuerzas F en cada barra, y que
el largo (L), sección (A) y material
(E) de las barras está dado.
¿Cómo determinamos el
desplazamiento del nodo B?
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Para nodos X e Y dados de una barra:
X
posición indeformada del nodo X
X’
posición deformada del nodo X
XX’ = u(X)
vector desplazamiento del nodo X
∆lXY
alargamiento de la barra XY
X’R
posición deformada real de X
XX’R = u(X)R vector desplazamiento real de X
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A) Métodos gráficos
La construcción se puede simplificar superponiendo
los diagramas de todos los puntos.
Se obtiene el denominado: diagrama de Williot
El punto donde se encuentra la posición indeformada
de todos los nodos (es decir: A, B, C, D, etc.) se le
llama “polo”, y se denota con la letra “O”.
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(Por ende, cuando hago el diagrama de
Williot no anoto la posición indeformada
de los nodos, solo pongo el polo.)
Tampoco dibujo los vectores u(X),
indicando la posición de los puntos X’ el
vector u ya queda determinado.
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A) Métodos gráficos – Diagrama de Williot - Ejemplo
Los desarrollos anteriores fueron
hechos para explicar el método.
Ahora haremos un ejercicio utilizando
solamente la representación que
usaremos en el curso.
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Deberes
Pensar:
1) ¿Cómo representar en un diagrama
de Williot el posible desplazamiento
de un apoyo deslizante?
2) ¿Cómo serán los desplazamientos
de barras alineadas?
1)
2)
Energía de deformación ¡AUTOAPRE
NDIZA
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JE!
Concepto importante en resistencia de materiales.
En este curso veremos aspectos básicos que, en cursos posteriores, serán profundizados.
Consideremos una barra de largo L, sometida a una fuerza P. Suponemos que la carga se aplica
despacio (carga estática), por lo que pasa lentamente de 0 a P. (Cargas dinámicas producto, por
ejemplo, de impactos, se verán en R2). La barra se alarga gradualmente, a medida que aumenta la
carga, hasta alcanzar la carga P, al mismo tiempo que se alcanza el estiramiento ∆u asociado a
ésta. Durante el proceso de carga, la carga P se mueve, por lo que realiza trabajo (W).
En el punto de
plastificación,
la gráfica deja
de ser lineal,
pero en R1
trabajaremos
sólo en la
región lineal.
Si la carga fuese constante, el trabajo sería
W=P. ∆u. En nuestro caso, como la carga
varía, debemos conocer como varía.
Trazamos el diagrama carga-desplazamiento
Trazamos la curva P-∆u. Integrando esta
curva hallamos el trabajo. Por lo que el área
de esta curva hasta P representa el trabajo
de dicha fuerza.
Energía de deformación
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El trabajo (W) es la energía externa aportada por la carga P.
A su vez, dentro de la barra, cuando ésta se estira, se producen deformaciones, producidas por las
tensiones internas. Por lo tanto, también se acumula energía dentro de la barra. La energía
absorbida por la barra durante el proceso de carga se la define como: energía de deformación
(U) (o trabajo interno). Por el principio de conservación de la energía, si no se agrega o resta
energía como calor, se tendrá: U = W
En el S.I. la energía se expresa en joules (J), que se define como un newton metro (1 J = 1 N * m).
Si el material de la barra sigue la ley de
Hooke, la energía de deformación será:
U=
P∆u
2
En un sistema formado por varios
elementos, la energía de deformación del
sistema será la suma de la energía de
deformación de cada uno de sus elementos.
n
U = ∑U i
Para una barra (L, A, E), la relación entre
carga (P) y estiramiento (∆u) es:
PL
∆u =
AE
Combinando ambas ecuaciones anteriores:
P2L
U=
2 EA
EAδ 2
U=
2L
i =1
Para sistemas de n barras, cada una con
sección y material constante:
N i2 Li
U =∑
i =1 2 E A
i
i
n
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B) Métodos energéticos
Suponemos que ya determinamos
las fuerzas N en cada barra, y que
el largo (L), sección (A) y material
(E) de las barras está dado.
Si la carga se aplica lentamente al reticulado, la carga
P realiza trabajo cuando el punto B desciende. Sólo el
desplazamiento en la dirección de la carga (uP) realiza
trabajo, por lo que en este caso importa sólo el
desplazamiento vertical.
Por lo tanto (para reticulados de barras de
sección y material homogéneo):
2 n N i2 Li
uP = ∑
P i =1 2 Ei Ai
Los desplazamientos son lineales con la
carga, por lo que el trabajo de la fuerza será:
U=
Pu P
2
Hipótesis:
• La estructura debe ser elástica-lineal
• Sólo debe actuar una carga
• El desplazamiento determinado es la
componente en la dirección de la carga.
Comentarios
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Ojo! La energía de deformación no es una función lineal con las cargas (aparece N2). En este caso
NO se cumple el principio de superposición. La U causada por varias cargas NO es la suma de
las Ui causada por cada carga actuando separadamente.
El tema “Energía de Deformación” se ordenó siguiendo el libro de Gere.
Beer hace un desarrollo similar.
Ortiz Berrocal expone este tema en forma mucho más sintética, y pasa inmediatamente a la
demostración general (Método de carga unitaria), que posibilita hallar los desplazamientos de
cualquier nodo, en cualquier dirección, bajo cualquier sistema de fuerzas.
Justamente, en clase se hará el desarrollo de Ortiz Berrocal. Se espera que los estudiantes
aprendan en forma autónoma el tema para una carga puntual aplicada, que es necesario para
comprender el método de la carga unitaria.
Por último, es interesante que prueben el siguiente “Software”:
Bridge Building
Cuya primera versión, simple y efectiva, se puede bajar gratuitamente desde:
http://crypticsea.com/bridgebuilding/