Producto interno - División de Ciencias Básicas

PROBLEMAS RESUELTOS
ÁLGEBRA LINEAL
Tema 4. Espacios con Producto Interno
SUBTEMA: PRODUCTO INTERNO
Problema 1: Determinar si la siguiente función es o no un producto interno:
(u v ) = x x
1 2
∀u = ( x1 , y1 ) , v = ( x2 , y2 ) , w = ( x3 , y3 ) ∈ \ 2
− y1 y2 ;
SOLUCIÓN:
1.- Simetría o conmutatividad:
(u v ) = ( v u )
⎡⎣( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ⎤⎦ = ⎡⎣( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) ⎤⎦
x1 x2 − y1 y2 = x2 x1 − y2 y1 ← cumple
2.- Aditividad o distributividad:
(u v + w) = (u v ) + (u w)
⎡⎣( x1 , y1 ) ( x2 + x3 , y2 + y3 ) ⎤⎦ = ⎡⎣( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ⎤⎦ + ⎡⎣( x1 , y1 ) ( x3 , y3 ) ⎤⎦
x1 ( x2 + x3 ) − y1 ( y2 + y3 ) = x1 x2 − y1 y2 + x1 x3 − y1 y3
x1 ( x2 + x3 ) − y1 ( y2 + y3 ) = x1 ( x2 + x3 ) − y1 ( y2 + y3 ) ← cumple
3.- Homogeneidad:
αu v =α u v
(
) ( )
⎡⎣(α x1 ,α y1 ) ( x2 , y2 ) ⎤⎦ = α ⎡⎣( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ⎤⎦
α x1 x2 − α y1 y2 = α ( x1 x2 − y1 y2 )
α ( x1 x2 − y1 y2 ) = α ( x1 x2 − y1 y2 ) ← cumple
4.- Positividad:
(u u ) > 0 ← para u ≠ 0
(u u ) = ⎡⎣( x , y ) ( x , y )⎤⎦ = x
1
Si
1
1
1
2
1
− y12 ← no cumple si x1 = y1
x1 = 1⎫ 2
2
⎬ (1) − (1) = 0
y1 = 1⎭
( )
por tanto, u v no es un producto interno bajo la función dada.
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Problema 2: Determinar el conjunto de valores de “k” ∈ \ , para que la función:
(u w) = u w − u w
1
1
1
2
∀ u = ( u1 , u2 ) , w = ( w1 , w2 ) ∈ \ 2
− u2 w1 + ku2 w2 ;
Sea un producto interno en \ 2 , tomando en cuenta que la función cumple con la
propiedad:
(u w + v ) = (u w) + (u v )
SOLUCIÓN:
• La propiedad que se da como dato es la “aditividad”. Las otras dos propiedades
(simetría y homogeneidad) no sirven para determinar “k” ya que son igualdades; por
tanto:
4.- Positividad:
(u u ) = ⎡⎣(u , u ) ( u , u )⎤⎦ = u u − u u
¿ ( u u ) = u − 2u u + ku > 0 ?
1
2
1
Si
2
1
1 2
2
1 1
1 2
− u2 u1 + ku2 u2
2
2
u = (1,1) ;
1− 2 + k > 0
k >1
u = (1, −1)
1+ 2 + k > 0
k > −3
Si k = 1 ⇒ u12 − 2u1u2 + u22 > 0
∗ u = (1, −1) ⇒ 1 + 2 + 1 > 0
4 > 0 ← cumple
∗ u = ( −1, 0 ) ⇒ 1 + 0 + 0 > 0
1 > 0 ← cumple
∗ u = (1,1) ⇒ 1 − 2 + 1 > 0
0 = 0 ← no cumple
Si k = 2 ⇒ u12 − 2u1u2 + 2u22 > 0
∗ u = (1, −1) ⇒ 1 + 2 + 2 > 0
5 > 0 ← cumple
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∗ u = ( −1,1) ⇒ 1 + 2 + 2 > 0
5 > 0 ← cumple
∗ u = (1, 0 ) ⇒ 1 + 0 + 0 > 0
1 > 0 ← cumple
∗ u = ( 0, −1) ⇒ 0 + 0 + 2 > 0
2 > 0 ← cumple
Por lo tanto, el valor de “k” para que la función dada sea un producto interno es k > 1
Problema 3: En el espacio vectorial \ 2 se define la función:
( )
∀ v = ( v1 , v2 ) , w = ( w1 , w2 ) ∈ \ 2
T
f v, w = vAw ;
⎛2 1⎞
donde v y w están representados como vectores renglón y A = ⎜
⎟ . Determinar si la
⎝ 1 2⎠
función dada es un producto interno.
SOLUCIÓN:
* Definiendo la función:
( v w) = ( v , v ) ⎛⎜⎝ 12
1
2
( v w ) = ( 2v + v
1
∴
2
1 ⎞ ⎛ w1 ⎞
⎟⎜ ⎟
2 ⎠ ⎝ w2 ⎠
⎛w ⎞
v1 + 2v2 ) ⎜ 1 ⎟
⎝ w2 ⎠
( v w ) = 2v w + v w + v w
1
1
2
1
1
2
+ 2v2 w2
1.- Simetría o conmutatividad:
( v w) = ( w v )
2v1 w1 + v2 w1 + v1 w2 + 2v2 w2 = 2 w1v1 + w1v2 + w2 v1 + 2 w2 v2
2v1 w1 + v2 w1 + v1 w2 + 2v2 w2 = 2v1 w1 + v2 w1 + v1 w2 + 2v2 w2 ← cumple
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2.- Aditividad o distributividad:
( v w + z ) = ( v w) + ( v z )
⎡⎣( v1 , v2 ) ( w1 + z1 , w2 + z2 ) ⎤⎦ = ⎡⎣( v1 , v2 ) ( w1 , w2 ) ⎤⎦ + ⎡⎣( v1 , v2 ) ( z1 , z2 ) ⎤⎦
2v1 ( w1 + z1 ) + v2 ( w1 + z1 ) + v1 ( w2 + z2 ) + 2v2 ( w2 + z2 ) = 2v1 w1 + v2 w1 + v1 w2 + 2v2 w2 + 2v1 z1 + v2 z1 + v1 z2 + 2v2 z2
2v1 ( w1 + z1 ) + v2 ( w1 + z1 ) + v1 ( w2 + z2 ) + 2v2 ( w2 + z2 ) = 2v1 ( w1 + z1 ) + v2 ( w1 + z1 ) + v1 ( w2 + z2 ) + 2v2 ( w2 + z2 )
cumple↵
3.- Homogeneidad:
αv w = α v w
(
) ( )
⎡⎣(α v1 , α v2 ) ( w1 , w2 ) ⎤⎦ = α ⎡⎣( v1 , v2 ) ( w1 , w2 ) ⎤⎦
2α v1 w1 + α v2 w1 + α v1 w2 + 2α v2 w2 = α ( 2v1 w1 + v2 w1 + v1 w2 + 2v2 w2 )
α ( 2v1 w1 + v2 w1 + v1 w2 + 2v2 w2 ) = α ( 2v1 w1 + v2 w1 + v1 w2 + 2v2 w2 ) ← cumple
4.- Positividad:
(v v) > 0
( v v ) = ⎡⎣( v , v ) ( v , v )⎤⎦ = 2v + v v + v v + 2v
∴ ( v v ) = 2v + 2v v + 2v > 0;
∀ v ≠ 0 ← cumple
1
2
2
1
1
2
1
2
1 2
2 1
1 2
2
2
2
2
Por tanto, la función dada si es un producto interno.
Problema 4: Determinar si la función:
( )
2
f u, v = ∑ xi3 yi3
i =1
∀ u = ( x1 , x2 ) , v = ( v1 , v2 ) ∈ \ 2
es un producto interno en \ 2 .
SOLUCIÓN:
* El producto interno es:
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( )
f u, v = x13 y13 + x23 y23
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1.- Simetría o conmutatividad:
(u v ) = (v u )
⎡⎣( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ) ⎤⎦ = ⎡⎣( y1 , y2 ) ( x1 , x2 ) ⎤⎦
x13 y13 + x23 y23 = y13 x13 + y23 x23
x13 y13 + x23 y23 = x13 y13 + x23 y23 ← cumple
2.- Aditividad o distributividad:
(u v + w) = (u v ) + (u w) ; sea w = ( z , z )
1
2
⎡⎣( x1 , x2 ) ( y1 + z1 , y2 + z2 ) ⎤⎦ = ⎡⎣( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ) ⎤⎦ + ⎡⎣( x1 , x2 ) ( z1 , z2 ) ⎤⎦
x13 ( y1 + z1 ) + x23 ( y2 + z2 ) = x13 y13 + x23 y23 + x13 z13 + x23 z23
3
3
x13 ( y1 + z1 ) + x23 ( y2 + z2 ) ≠ x13 ( y13 + z13 ) + x23 ( y23 + z23 ) ← no cumple
3
3
3.- Homogeneidad:
αu v =α u v
(
) ( )
⎡⎣(α x1 ,α x2 ) ( y1 , y2 ) ⎤⎦ = α ⎡⎣( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ) ⎤⎦
(α x1 )
3
y13 + (α x2 ) y23 = α ( x13 y13 + x23 y23 )
3
α 3 x13 y13 + α 3 x23 y23 ≠ α x13 y13 + α x23 y23 ← no cumple
4.- Positividad:
(u u ) > 0
(u u ) = x x + x x = ( x ) + ( x )
∴ (u u ) = x + x > 0
∀ u ≠ 0 ← cumple
3 3
1 1
6
1
3 3
2 2
3 2
1
3 2
2
6
2
Por tanto, la función dada no es un producto interno.
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