IV. Aplicaciones de la Gravitacion Escalar

IV. Aplicaciones de la Gravitacion Escalar
4.1
Análisis newtoniano del universo lleno de polvo
Tomemos una región del universo en forma esférica de radio R, la cual esta rodeada de pequeñas
partículas de "polvo", como se muestra en la Fig 4.1.
Fig 4.1: Universo homogéneo e isotrópico.
Tomamos la representación de la segunda ley de Newton para las partículas de polvo:
ma = jF j rb
donde F es la fuerza gravitacional de Newton
GM m
R2
F =
y a es la aceleración
a = Rb
r
la segunda ley de Newton nos queda de la forma
GM m
rb
R2
GM
R2
mRb
r =
R
=
33
(105)
multiplicando por R; e integrando en ambos lados con respecto a t
GM
R
R2
RR =
Z
Z
GM
)Rdt + c1 =
R Rdt = (
R2
donde c1 es una constante de integración
GM
Z
R
dt + c1
R2
(106)
Tenemos que podemos representar a R y R R de la forma
dR
= Rdt
=) R =
dR
dt
(107)
2
2
dR
sustituyendo en
Z
nos queda
2RRdt =)
R Rdt =
GM
Z
R
dt + c1
R2
GM
Z
R
2
(
R
2
dR + c1
2
Z
donde
=
1 d(R )
dt
2 dt
2
Z
1
d(R )
dt
2
dt
=
=
GM
Z
dR
)dt + c1
dt
Z
1 2
R
2
=
1 2
R
2
= GM
d(R )
dt
dt
R
GM
2
dR
2
= R
=
R 2+1
2+1
M
+ c1
1
1 2
+ c1 =) c1 = R
R
2
= f R0
4 3
4
=
R =
(f R0 )3
3
3
34
(109)
R 2+1
2+1
de…niendo a
R
(108)
2
Z
por lo tanto
1 d(R )
RR =
2 dt
(110)
GM
1
R
con
densidad de masa y M incluye a todas las partículas que encierra la super…cie esférica, y f
es un parámetro que depende del tiempo. Sustituyendo R y M en la ecuación para c1 nos queda
1
(f R0 )2
2
sea c1 = u y multiplicamos por
2
R02
4
(f R0 )3
3
G
2
1
f2
1
4
1 2 2
f R0 G f 2 R02
2
3
en ambos lados
f
multiplicando ahora por
(f R0 )
en ambos lados
= c1
= c1
8
2u
G f2 = 2
3
R0
0 12
@f A = 8G
f
3
+
2u
R02 f 2
de aquí, podemos analizar los casos para u > 0 y para u < 0:
Para el primer caso u > 0, tomamos la ecuación anterior
2
f =
(111)
2u
8
G f2 + 2
3
R0
donde tenemos que el lim f nunca es cero, Como se muestra en la Figura 4.2.
t!1
Fig 4.2: Factor de escala en un universo abierto.
Para el segundo caso, u < 0; tenemos que u =
juj ; por lo tanto
35
(112)
2
f =
8
G f2
3
2 juj
R02
(113)
si tomamos una fc tal que, la derivada sea cero, f c = 0; para algún límite que pudiera ser in…nito,
entonces fc es un valor asintótico, Ver Figura 4.3.
lim f (t) = fc
t!1
Fig 4.3: Conducta asintótica del factor de escala en un universo plano.
de aquí tenemos que
8
G fc2
3
fc2
=
=
)
2 juj
R02
3 juj
4 G R02
3 juj
fc =
4 G R02
36
(114)
1
2
4.2
Expansión adiabática de una región esférica del universo
(Análisis a partir de la energía)
Tenemos que la energía total está de…nida como
E =K +U
(115)
1
mv 2
2
(116)
donde K es la energía cinética
K=
y U energía potencial gravitacional
U=
G
mM
R
Si hacemos
E = K + U = constante = C
(117)
sustituyendo K y U
1
mv 2
2
G
mM
=C
R
(118)
de aquí tenemos
si
C
m
v2
M
C
G
=
2
R
m
tiene unidades de velocidad al cuadrado, de…nimos
(119)
C
= kc2
m
con c velocidad de la luz y k una constante sin unidades. Obtenemos
v2
M
G
= kc2
(120)
2
R
Si las masas se encuentran fuera de la esfera no in‡uyen. Para masas dentro de la esfera se tiene
4 3
R
3
La observación astronómica indica que el universo se expande. Para tiempos ordenados de menor a
M=
mayor
ti < t0 < t1 < t2 <
<t
el radio de la esfera debe ser tal que
Ri < R0 < R1 < R2 <
37
<R
Se demuestra que el factor de escala en t0 con respecto a ti esta dado como
R0
Ri
por lo tanto, el factor de escala al tiempo actual t con respecto a ti
f0i =
(121)
fi =
R
Ri
(122)
Ri =
R0
f0i
(123)
despejamos Ri del factor de escala f0i
y sustituyendo en fi nos queda
R
R0
y de aquí tenemos que el radio de la esfera nos queda como
R
fi =
R0
f0i
= f0i
R = R0
fi
f0i
(124)
se escoge R0 tal que su factor de escala sea
f0i = 1
por lo tanto
R = R0 fi
(125)
v = HR
(126)
Tomamos la ley de Hubble
donde H es la constante de Hubble y v la velocidad de expansión
v=
dR
dt
despejando H de la ley de Hubble
H=
v
1 dR
=
R
R dt
sustituyendo R (con f = fi
H=
1 d(R0 f )
1 df
=
R0 f dt
f dt
(127)
de aquí tenemos
df
= fH
dt
38
(128)
tomando la ecuación para la velocidad de expansión
v = RH
y sustituimos R = f R0
v = R0 f H
tomando ahora la expresión para la masa M y sustituimos también R
M
=
M
=
4 3
R
3
4
3
(f R0 )
3
de aquí retomamos la ecuación (120)
v2
2
G
M
=
R
kc2
y sustituyendo a M y a v
2
(R0 f H)
G
4 3 3
+
f R0
2
f R0 3
multiplicando por 2 en ambos lados despejando H 2
8
GR02 f 2
3
= kc2
R02 f 2 H 2 = 2kc2
(129)
de aquí
H2
=
1
8
GR02 f 2
R02 f 2 3
2kc2
2
8
2k c
G
3
R02 f
que es una aproximación Newtoniana para la constante de Hubble al cuadrado.
H2
4.3
=
(130)
Termodinámica de una región esférica del universo en expansión adiabática
Partimos de la primera ley de la termodinámica, que establece básicamente que el cambio en la
energía interna se puede de…nir de la siguiente manera
dU = dQ
Si denotamos la energía interna como E
39
pdv
(131)
dE = dQ
pdv
(132)
y consideramos que se ejecuta un proceso adiabático, tenemos que dQ = 0, por lo tanto
dE =
pdV
(133)
Usando la de…nición del diferencial de una función, se sigue que
dE
=
dt
p
dV
dt
tomanos a E = M c2 . Donde la masa es
M=
4 3 3
R f
3 0
tenemos
dE
dt
dE
dt
dE
dt
=
=
=
d M c2
dt
d
4 3 3
R f
c2
dt
3 0
4 3 2 d
R c
( f 3)
3 0
dt
(134)
donde
df 3
d 3
d
df
d
f =
+ f3
= 3 f2 + f3
dt
dt
dt
dt
dt
(135)
sustituyendo nos queda
tenemos que
df
dt
dE
4 3 2
df
d
=
R0 c 3 f 2 + f 3
dt
3
dt
dt
dE
df
4
d
= 4 R03 c2 f 2 +
R3 c2 f 3
dt
dt 3 0
dt
= f H (ECS 128), sustituyendo
dE
4 3 2 3d
= 4 R03 c2 f 3 H +
R c f
dt
3 0
dt
(136)
(137)
de aqui
donde V =
4
3
dE
4 3 2 3d
= 4 R03 c2 f 3 H +
R c f
=
dt
3 0
dt
R3 , por lo tanto
40
p
dV
dt
(138)
dV
d 4 3
4 dR3
=
R =
dt
dt 3
3 dt
(139)
se de…nió a R = R0 f (ECS 125)
dV
dt
dV
dt
sustituyendo
df
dt
4 d
4 3 df 3
3
[R0 f ] =
R
3 dt
3 0 dt
df
4 R03 f 2
dt
=
=
= fH
dV
= 4 R03 f 3 H
dt
(140)
dV
=
dt
(141)
por lo tanto tenemos
p
4 R03 pf 3 H
sustituyendo este resultado en
dE
dt
4 3 2 3d
3 2
3
4 R0 c f H +
R c f
3 0
dt
despejando Hp del lado derecho, nos queda
multiplicando por
c2 H +
c2 d
=
3 dt
3 H+
d
=
dt
dV
dt
=
p
=
4 R03 pf 3 H
Hp
3
c2
3
Hp
c2
donde obtenemos que
h
d
3
pi
= 3 H
Hp = 3H + 2
2
dt
c
c
que es una relación de la densidad de masa con la presión.
4.4
(142)
Cálculo de la densidad crítica
Suponemos que existe una resistencia de
=
c,
tal que la densidad de masa frena la expansión.
Esto implica que k = 0 en la ecuación (129)
41
8
GR02 f 2
3
R02 f 2 H 2 = 2kc2
8
GR02 f 2
3
R02 f 2 H 2 = 0
(143)
simpli…cando
8
G
3
H2 = 0
) H2 =
8
G
3
(144)
c
o bien
3H 2
8 G
Para calcular el valor de c , usaremos los valores siguientes:
c
(145)
=
1 parsec=3.26 años luz =1pc
1 megaparsec=3.26 106 años luz= 1Mpc
Sí
1
H = 70:8 km
s M pc
G = 6:6720
10
11 N m2
Kg
Sustituyendo tenemos que
c
= 1:0576
29
10
gr
cm3
sean H y P constantes, y sea
=
3Hp
c2
de la ecuación (142) nos queda
d
+ 3H =
dt
(146)
multiplicando por e3Ht
d
+ 3He3Ht
dt
d 3Ht
e
dt
integrando en ambos lados respecto a t
e3Ht
Z
d 3Ht
e
dt
dt =
42
Z
=
e3Ht
=
e3Ht
e3Ht dt
con la condición inicial (t = 0) =
e3Ht (t)
=
(t)
=
3H
e3Ht + c1
3H
+ c1 e
3Ht
0
0
=
c1 =
3H
0
+
+ c1
3H
pero
3H
=
p
c2
por tanto
c1 =
0
p
c2
de aqui tenemos
p
p
+ 0
e
c2
c2
La conducta de la densidad critica se ve en la Figura 4.4
(t) =
3Ht
1
5 :pdf
Fig 4.4: Conducta asintótica de la densidad critica.
43
(147)