Explicación

Matemáticas
Sesión #8. Determinantes
Contextualización

En esta sesión se introducirá el concepto de determinantes y se
considerara los tipos especiales de determinantes. A través de
operaciones con determinantes el alumno aprenderá que una de
las principales aplicaciones de estos modelos matriciales se
utiliza para resolver sistemas de ecuaciones de 3 variables o
incógnitas.

Realizara operaciones de solución en determinantes de 2x2, 3x3
y se aplicara también la Regla de Sarrus.

Aprenderá a utilizar el método de Cramer para la resolución de
sistemas de ecuaciones.
Extraído de: http://upload.wikimedia.org/math/9/0/8/908b41a4af678e02dc602b82f4a4aa89.png sólo para fines educativos.
Introducción.
Ahora introduciremos una nueva función, la función determinante. Aquí las
entradas serán matrices cuadradas, pero las salidas serán números reales.
Buscando formas para describir situaciones en matemáticas, finanzas y
economía, llegamos al estudio de las matrices, las cuales se consideran
arreglos rectangulares de números. Por ejemplo, considere el sistema de
ecuaciones lineales.
2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0
3𝑥 + 4𝑦 − 5𝑧 = 0
6𝑥 − 9𝑦 + 2𝑧 = 0
Lo que caracteriza a este sistema son los coeficientes numéricos en las
ecuaciones, junto con sus posiciones relativas. Por esta razón, el sistema
puede ser descrito por el arreglo rectangular.
2 −1
3
3
4 −5
6
−9 2
Explicación
Un arreglo rectangular de números que consiste en m renglones y n columnas,
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
……
……
……
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
Es llamado matriz de m x n o matriz de orden m x n. para la entrada 𝑎𝑖𝑗 , llamamos
a i el subíndice del renglón y a j el subíndice de la columna.
Si A es una matriz cuadrada, entonces la función determinante asocia con A
exactamente un número real llamado determinante de A. Denotando el determinante
de A con |A| (esto es, utilizando líneas verticales), podemos pensar en la función
determinante como una correspondencia:
A
Matriz cuadrada

|A|
número real
=
determinante de A
Explicación
Determinantes de 2x2
Definición:
Si
es una matriz cuadrada de orden 2, entonces
Esto es, el determinante de una matriz 2x2 se obtiene tomando el producto
de las entradas de la diagonal principal y restándole el producto de las
entradas de la otra diagonal:
a11
a12
a 21
a22
 a11a22  a12a21
Explicación

a).
b).
Ejemplo: Evalué los siguientes determinantes:
Explicación
Determinantes de 3x3

Si
es una matriz cuadrada de 3x3 la
forma de encontrar su determinante se
resuelve a partir de varios métodos, en
esta sesión se trabajará
específicamente la regla de Sarrus.
Explicación
Extraído de: http://1.bp.blogspot.com/-tH4gyq0ebao/TsPDZScalDI/AAAAAAAAABo/jj4fq8rN6G0/s1600/DiariodeClase2bachB_624_7631.jpg
sólo para fines educativos.
Explicación

“Los términos con signo + están formados por los elementos de la
diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su
correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo − están formados por los elementos de la
diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su
correspondiente vértice opuesto.”
Recuperado el día 16 de abril del 2014 de: http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/sarrus.html sólo para
fines educativos.
Explicación
Extraído de: http://iescastelar.juntaextremadura.net/web/departamentos/matematicas/matematicasccss2ba/matematicas2ccss/imagenes/tdeterminantes10.gif sólo para fines educativos.
Explicación
Ejemplo: Encuentra el siguiente determinante de la matriz A
2 2 1
A  3 4  3  (2)(4)(5)  (2)(3)(4)  (3)(6)(1)  (4)(4)(1)  (2)(3)(5)  (3
4 6 5
2 2 1
A  3 4  3  40  24  18  16  30  36  122
4 6 5
Explicación

Resolución de un sistema de 3x3 por regla de Cramer
Los determinantes pueden ser aplicados para resolver ciertos tipos de sistemas
de n ecuaciones lineales. De hecho, es a partir del análisis de tales sistemas que
surgió el estudio de los determinantes.
Regla de Cramer:

Sea un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas como sigue:
Explicación

Si el determinante ∆ de la matriz de coeficientes A es diferente de
cero, entonces el sistema tiene una única solución. Además, la
solución está dada por

Donde ∆k, el numerador de xk, es el determinante de la matriz
obtenida reemplazando la k-ésima columna de A por la columna de
constantes.
Explicación

Ejemplo: Resuelve el sistema de 3x3 aplicando el método de Cramer.
Solución: el determinante de la matriz de coeficientes es:
Explicación.

Ya que ∆≠0, existe una solución única. Resolviendo para x,
reemplazaremos la primera columna de la matriz de coeficientes por la
columna de constantes y obtenemos
La solución es x = -1/2, y=2 y z=-1.
Conclusión

Recordemos que una matriz es un arreglo
rectangular de números encerrado entre
corchetes. La función determinante define la
entrada de una matriz cuadrada y como salida
habrá un número real.

La regla de Sarrus se utiliza únicamente en dar
solución a los determinantes de matrices de 3x3.

La regla de Cramer es un método que se utiliza
para la solución de sistemas de ecuaciones
lineales de nxm a través del uso de los
determinantes; en esta sesión se aplicó
específicamente para sistemas de lineales de
3x3.

En la siguiente sesión nos introduciremos al
concepto de derivada y utilizaremos las reglas
básicas de derivación para funciones.
Extraído de: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/13/Dydx.jpg
sólo para fines educativos.
Para aprender más…
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para
enriquecer tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

Determinantes. Recuperado el día 16 de abril del 2014 de:
http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/res.html

Método de Sarrus. Recuperado el día 16 de abril del 2014 de:
http://www.ditutor.com/determinantes/metodo_sarrus.html
Video para dar solución a un sistema de ecuaciones de 3X3

Recuperado el día 16 de abril del 2014 de:
http://www.youtube.com/watch?v=AJdCfaGjWlk#aid=P9Gnjzl8O0w
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te
permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.
Bibliografía

Haussler, E. (1997). Matemáticas para admón., economía, ciencias
sociales y de la vida. Edo. México, México. Prentice Hall
hispanoamericana, S.A.
Cibergrafía

Ditutor. (s.f.). Determinantes. Recuperado el día 16 de abril del 2014 de:
http://www.vitutor.com/algebra/determinantes/sarrus.html