Descargue - Sampling OK

INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA
M. Sc. Samuel Canchaya Moya
CONSULTOR
INDICE
Introducción
El concepto de autocorrelación
Introducción al análisis variográfico geoestadístico
La varianza de estimación o extensión
Introducción al krigeage
El concepto de Anisotropía
Bibliografía.
INTRODUCCION
Ya se han cumplido más de cuatro décadas del nacimiento de la Geoestadística Matheroniana (MATHERON
1962a, 1963); por lo que estos métodos, basados en la Teoría de la Variables Regionalizadas, están lo
suficientemente difundidos en la actualidad. Es por este motivo que la mayor parte de paquetes importantes de
software que se aplican a la minería, presentan módulos de evaluación por krigeage, que es el método de
estimación geoestadístico (MATHERON 1962b; DAVID 1976; DELFINER & DELHOMME 1973) superior a
cualquier otro por sus características de no sesgo y mínimo error. Sin embargo en la actualidad todavía se
realizan evaluaciones con métodos tradicionales. Las principales razones son: la simplicidad y rápida aplicación
de estos últimos, en comparación con el mayor grado de dificultad que implica la evaluación por krigeage;
además de la necesidad de tener un mínimo conocimiento especializado para aplicar el método geoestadístico.
En algunos países, entre ellos Estados Unidos de Norteamérica, se entiende por Geoestadística a cualquier
aplicación de la estadística en Geología y ramas afines, como Minería y Petróleo; en este trabajo estamos
considerando como tal sólo a la Geoestadística Matheroniana, cuya principal herramienta es el Variograma.
Con el tiempo es posible que la estimación de reservas por métodos tradicionales se circunscriba sólo a una
necesidad académica, histórica o a ciertos casos donde se sepa de una regionalización completamente aleatoria,
cosa muy rara en la naturaleza. En una encuesta estadística realizada por CHAMPIGNY & ARMSTRONG
(1993), involucrando a las 19 empresas de oro mas representativas del mundo, antes de la última década del
presente siglo sólo el 11% de ellas no está utilizando la geoestadística para la estimación de reservas.
Aquellas personas que sólo aplican métodos estadísticos tradicionales (univariables y multivariables) en el
análisis de variables regionalizadas (geo-referenciadas en el tiempo o el espacio) tienen y van a tener una serie
de problemas, la mayor parte de los cuales a veces no pueden explicar. La principal restricción de los métodos
estadísticos tradicionales es la abstracción que hacen de la ubicación de las muestras en el tiempo o el espacio.
El objetivo principal es utilizar los conceptos y parámetros de la caracterización variográfica geoestadística
para minimizar las limitaciones intrínsecas de los métodos tradicionales. Esto no es difícil de realizar ya que en
la actualidad, prácticamente todos los paquetes medianos y grandes de software aplicados a geología, minería y
metalurgia tienen en sus módulos de estimación de reservas alguna forma de hacer análisis variográfico
geoestadístico.
El presente trabajo ha sido preparado para que sirva de guía teórica del Curso que se va a dictar a varios
ingenieros de la Mina El Brocal S. A.
AUTOCORRELACION
Las denominadas variables regionalizadas son aquellas cuyos valores (realizaciones) están relacionados con
ubicaciones precisas en el tiempo o espacio (variables geo-referenciadas).
Es de esperar que dos valores contiguos Z(xi) y Z(xi+h), separados una distancia h, estén relacionados entre sí
(autocorrelación), es decir que sus valores sean dependientes el uno del otro; esto debido a que casi siempre
toda variable tiene un patrón de distribución (o estructura, como se le llama en geoestadística), ya que nada es
al azar en la naturaleza. También sabemos que debido a la complejidad de los procesos geológicos no habrá
patrones de distribución idénticos. Lo mismo ocurre con la mayor parte de variables involucradas en procesos
de beneficio de minerales (Mineralurgia).
La estadística clásica no puede reconocer dichas estructuras ya que sus parámetros y funciones no toman en
cuenta la ubicación de los datos. Por ejemplo, la altura media de los alumnos de un salón no se modificará así
éstos se cambien de asiento una y otra vez.
Para explicar esto nos referiremos a la fig. 1, en
la cual hacia el borde izquierdo se está
representando dos tramos (puede ser de galería,
taladro, etc.) con las leyes que se han analizado
cada cierta distancia. Salta a la vista que los
valores del tramo A tienen un patrón de
distribución o estructura (los valores aumentan
hacia el centro y disminuyen hacia los flancos);
mientras que en el tramo B tenemos una
distribución al azar. Nótese que en ambos casos
estamos usando los mismos dígitos, por lo que
no sorprende que la media “m” la varianza “σ
σ2”
y el histograma en los dos tramos sean los
mismos; mas no así la función variograma
“γγ(h)” que en el tramo A muestra una clara
dependencia con respecto a “h”, que es la
separación entre las muestras; mientras que en
el tramo B dicha función es independiente de h,
lo cual es típico de distribuciones al azar,
prácticamente inexistentes en la naturaleza; ya
que por lo general, las variables cuantificables o
semicuantificables, relacionadas con los
yacimientos, se originan por determinados
procesos que les imprimen un patrón
característico, es decir todo lo contrario a una
distribución al azar.
INTRODUCCION AL ANALISIS VARIOGRAFICO GEOESTADISTICO
El variograma es una de las herramientas más poderosas que tiene la geoestadística. Vamos a definirla tomando
el caso de un depósito D, el cual consiste de una infinidad de puntos xi, cada uno de ellos con un valor
determinado de la variable Z(xi) que nos interesa estudiar (puede ser ley de Au, contenido de As, intensidad de
una alteración, peso específico, dureza, porosidad etc.). Estas entidades son denominadas variables
regionalizadas porque sus valores corresponden a ubicaciones precisas en el tiempo o espacio.
Es de esperar que dos valores contiguos Z(xi) y Z(xi+h), separados una distancia h, estén relacionados entre sí
(autocorrelación), es decir que sus valores sean dependientes el uno del otro; esto debido a que casi siempre
toda variable tiene un patrón de distribución (o estructura, como se le llama en geoestadística), ya que nada es
al azar en la naturaleza. También sabemos que debido a la complejidad de los procesos geológicos no habrán
patrones de distribución idénticos.
La estadística clásica no puede reconocer dichas
estructuras ya que sus parámetros y funciones que no
toman en cuenta la ubicación de los datos. Por
ejemplo, la altura media de los alumnos de un salón
no se modificará así éstos se cambien de asiento una
y otra vez.
Para explicar esto nos referiremos a la fig. 2, en la
cual hacia el borde izquierdo se está representando
dos tramos (puede ser de galería, taladros, etc.) con
las leyes que se han analizado cada cierta distancia.
Salta a la vista que los valores del tramo A tienen un
patrón de distribución o estructura (los valores
aumentan hacia el centro y disminuyen a los
flancos); mientras que en el tramo B tenemos una
distribución al azar. Nótese que en ambos casos
estamos usando los mismos dígitos, por lo que no
sorprende que la media “m” la varianza “σ
σ2” y el
histograma en los dos tramos sean los mismos; mas
no así la función variograma “γγ(h)” que en el tramo
A muestra una clara dependencia con respecto a “h”,
que es la separación entre las muestras; mientras que
en el tramo B dicha función es independiente de h, lo
cual es típico de distribuciones al azar,
prácticamente inexistentes en la naturaleza.
El variograma puede ser estimado a partir de datos experimentales (por ejemplo las leyes provenientes de una
campaña de muestreo) empleando la fórmula general :
n-h
∑  Z (x i + h) - Z(x i) 2
i=1
2 γ (h) =
=
donde: Z
Z(x)
Z(x+h)
h
n
2 γ(h)
γ(h)
:
:
:
:
:
:
:
(1)
(n-h)
es la variable estudiada
es el valor de dicha variable en el punto x
es el valor de la variable en el punto (x+h)
es el paso entre las muestras (distancias iterativas)
número de pares de valores
valor de la función variograma para un valor h.
valor de la función semivariograma (denominada usualmente variograma)
Todos los paquetes de “software” aplicados a minería utilizan esta fórmula para el cálculo de los variogramas
experimentales; las respectivas facilidades gráficas nos mostrarán variogramas con apariencia similar a la que
se a idealizado en la fig. 3, que nos servirá para explicar los principales parámetros de la función variograma.
Dentro de la distancia a (alcance), la variable es totalmente estructurada, es decir depende, o está controlada,
por la función γ (h). Mas allá de a la variable es aleatoria, o sea independiente de la función variograma: la
curva se transforma en una meseta (C+Co) cuyo valor teóricamente debe coincidir con la varianza estadística de
todos los datos involucrados en el cálculo del variograma, lo cual no siempre es el caso.
Para h = 0 la función variograma debería dar cero y
pasar por el origen; sin embargo la función a veces
presenta una “discontinuidad al origen” simbolizada
como Co (efecto pepita), que nos da cuenta de
cambio bruscos de los valores a pequeña escala, lo
cual generalmente sucede cuando se sobrepasa
subestructuras por debajo de la escala de trabajo. Este
valor también puede aparecer debido a errores
sistemáticos: en el muestreo o durante el proceso de
análisis químico.
En la fig. 3 se muestra algunos ejemplos de
variogramas experimentales (sucesión de puntos),
debidamente ajustados a variogramas teóricos (curvas
continuas), algunos de los mas importantes se
muestran en la fig. 4. Al ajustar un variograma
experimental a uno teórico, se debe determinar los
parámetros mencionados en los párrafos anteriores.
Tales parámetros y la forma misma del variograma
ajustado nos serán de ayuda para optimizar los
principales métodos de estimación de reservas.
Los variogramas experimentales se pueden calcular a
partir de una sucesión lineal de puntos, como por
ejemplo a lo largo de un taladro de perforación
(variograma monodimensional); también se pueden
calcular a partir de un conjunto de datos ubicados en
un mismo plano (variograma bidimensional), como por ejemplo una veta, un manto angosto, un banco o una
sección cualquiera.
En la actualidad existen programas que permiten el
cálculo de variogramas a partir de una distribución
tridimensional (variograma 3D), lo que antes sólo
se podía realizar subdividiendo en cuerpo
tridimensional en tajadas (bancos o secciones). Los
detalles de cálculo de los variogramas
experimentales escapan al sentido del presente
trabajo.
Se puede calcular el variograma de prácticamente
cualquier variable; lo único que necesitamos es un
conjunto de datos experimentales con su ubicación
en el tiempo o el espacio. Esto quiere decir que no
sólo vamos a poder trabajar con leyes, sino que
también podemos procesar otras variables menos
comunes como: peso específico, porosidad,
densidad de fracturamiento, potencia de la
estructura, precio del oro, etc. Sólo necesitamos
una forma de cuantificarlas para luego procesarlas
con la fórmula (1) de manera similar como se hace
con las leyes.
En el análisis variográfico, la única restricción que se debe atender es la “hipótesis de estacionariedad”, que
exige que el variograma se calcule para un dominio con un determinado patrón de distribución constante. Lo
cual automáticamente implica tener en cuenta las discontinuidades geológicas: fallas, cambios de litología,
alteración, etc. La solución mas práctica es circunscribirse a dominios estacionarios, es decir realizar el análisis
variográfico respetando las discontinuidades geológicas. Es por eso que la correcta aplicación de la
geoestadística nos obliga a tener muy en cuenta la información geológica, lo cual en buena cuenta es lograr el
tan ansiado equilibrio entre los métodos determinísticos y probabilísticos; siendo difícil que una aplicación
geoestadística se haga de espaldas a la información geológica y mineralógica.
LA VARIANZA DE ESTIMACION O EXTENSION
5
Estamos obligados a explicar este concepto, ya que
está involucrado en cualquier estimación de reservas,
que no es otra cosa que la “extensión” del valor de
una o mas muestras relativamente puntuales (volumen
v), a un volumen mayor V (panel o bloque); extensión
que irremediablemente implica un error, que no es
otra cosa que la diferencia entre el valor estimado y el
valor real.
En la estadística clásica y por ende en todos los
métodos de estimación de reservas tradicionales, no es
posible estimar tal error, ya que primero es necesario
conocer el valor real, cosa que es imposible incluso al
final de la vida de la mina. Esto es una de las
principales diferencias entre los problemas
industriales, técnicos o científicos puros, donde
generalmente es posible conocer el valor real y por
ende el error.
Para aplicaciones en ciencias naturales y sus
derivados (geoelogía, ingeniería forestal, batimetría,
minería, etc.) la geoestadística tiene una alternativa
para determinar este error: la varianza de estimación
σ
2
E
, la cual no depende de los valores reales de la
información v utilizada ya que se expresa en función
del variograma por la fórmula:
2
σE
= 2 γ ( V, v ) - γ ( v 2 ) - γ ( V2 )
(2)
donde :
γ (V, v) : designa el valor medio de γ(h) = γ (MM’) cuando los dos puntos de apoyo M y M’
del vector h describen independientemente uno del otro, los dos volúmenes o conjuntos V y v.
γ (V2) : designa el valor medio de γ(h) cuando los dos puntos de apoyo M y M’ del vector h
describen, independientemente uno del otro, el volumen V.
γ ( v2) : designa el valor medio de γ (h) cuando los dos puntos de apoyo M y M’ del vector h
describen, independientemente uno del otro, el volumen v.
Por lo general, en configuraciones sencillas a veces es suficiente con emplear ábacos para estimar esta varianza
de dispersión y con ese conocimiento tomar decisiones a priori, tan trascendentales que pueden comprometer
los resultados de una campaña de exploración o la decisión de abandonar un proyecto rentable.
Por ejemplo en el ábaco de la fig. 5 se comparan dos configuraciones por tramos, una con las muestras en los
extremos y la otra con la muestra en el centro del tramo. Resulta obvio que el error involucrado al estimar
(extender) la ley de un tramo desde la ley centrada es mayor que el error que resulta al asignar la ley a partir de
puntos de muestreo en los extremos del tramo; esto es válido para distancias de muestreo mayores que los del
alcance del variograma respectivo.
Para casos algo mas complicados debemos utilizar la fórmula (2), que sólo se basa en el variograma y en las
características geométricas de los paneles, mas no en los valores que puedan tener los taladros. Lo cual nos
permite estimar el error a priori: ¡antes de perforar el primer metro!
INTRODUCCION AL KRIGEAGE
La forma más simple y más errónea de calcular valores desconocidos a partir de valores conocidos es el
promedio aritmético simple. Es erróneo porque no se tiene consideración alguna de la posición relativa de los
valores conocidos con respecto al punto, panel o bloque a estimar. Se dio un gran paso histórico cuando se
consideró necesario ponderar los valores de las muestras que participan en la asignación de un promedio a un
punto, bloque o panel; estos métodos se clasifican como métodos de distancias ponderadas.
6
A
FIG. 6
4
P
B
1
C
P* =
6+5+4+1
4
5
D
P* = 4.0
Los métodos de ponderación por el inverso de
la “n” potencia de la distancia (IPD) son los
mas difundidos de todos los métodos
tradicionales. Sin embargo, debido a que
también involucran una serie de suposiciones e
imposiciones empíricas y arbitrarias, su
aplicación encuentra una serie de problemas,
algunos de los cuales se pueden minimizar con
ayuda de la información que brinda el
variograma. Para ello vamos a referirnos a la
fig. 6, en la cual tenemos cuatro puntos (A, B, C
y D) con sus respectivas leyes (6, 4, 1 y 5). Se
trata de estimar el valor desconocido en el
punto P. La forma mas simple es sumar los
cuatro datos y dividirlos entre cuatro. En este
caso a cada valor le estamos asignando
arbitrariamente en mismo peso; independiente
de su cercanía o lejanía al punto P.
Intuitivamente sentimos que esto no es correcto, que de alguna manera, las muestras más cercanas deben influir
mas que las lejanas; y que por lo tanto, debe haber una distancia mas allá de la cual, dicha influencia debe ser
despreciable. Esto último da origen a la denominada “área de influencia”, que se suele aplicar en todos los
métodos IPD. En el caso de una configuración bidimensional, dicha área de influencia es un círculo; mientras
que en el caso de una tridimensional es una esfera. Hay dos problemas que resultan como consecuencia
inmediata de esto; por un lado el uso de una figura isométrica, implica que estamos idealizando al considerar
una regionalización isótropa; por otro lado el radio de dicha área de influencia es seleccionado en forma
completamente arbitraria. Salta a la vista de que manera podemos mejorar la calidad de los métodos IPD
aplicando un área de influencia a partir del análisis variográfico realizado en varias direcciones,
convenientemente seleccionadas.
En la fig. 7 se muestra paso a paso la estimación del valor de P usando el método del Inverso del Cuadrado de
la Distancia ICD; nótese que se ha aplicado un radio de influencia (R=70); el cual arbitrariamente ha dejado
fuera de cálculo al valor del punto A. Si hubiéramos escogido R=90, el punto A se incluiría en los cálculos;
mientras que con R=60; sólo entrarían los puntos B y C. Los resultados obviamente dependerán de esta
selección; lamentablemente el método por si mismo no cuenta con la posibilidad de resolver este problema.
Algunos
variogramas
experimentales como el de
la fig. 3A, presentan
bajadas súbitas de su
meseta, en este caso a la
altura de h = 40. Esto es lo
que se denomina efecto
hoyo y corresponde a
subregionalizaciones
alternadas,
como
la
alternancia de zonas ricas y
pobres. En la mina de
donde proviene el ejemplo
se tienen clavos auríferos
separados unos 40 metros
entre
si.
Estas
discontinuidades también
deberían ser consideradas al
momento
de
la
configuración
de
los
paneles y bloques.
FIG. 7 ESTIMACION POR EL METODO DEL INVERSO DEL CUADRADO DE LA
DISTANCIA:
6
A
R = 70 RADIO DE INFLUENCIA
B
P
C
d
4
PA 90
1
R
5
D
(1/d) (1/d)2
λi
Ley
fuera de R
6
PB 20 0.050 0.0025 0.81
4
PC 50 0.020 0.0004 0.13
1
PD 65 0.015 0.0002 0.06
5
0.095 0.0031 1.00
P*ICD = 0.81x4 + 0.13x1 +0.06x5 = 3.67
P*ICD = 3.67
Otro aspecto importante es el denominado “drift” o tendencia que presentan ciertos variogramas después de
alcanzar la meseta. Tal es el caso del variograma de la fig. 3C, en el cual se nota una subida constante de los
puntos del variograma, a partir de h = 160.
La presencia de “drifts” es señal de no-estacionariedad, producto de la presencia de tendencias muy marcadas
en la distribución de las variables. De lo único que hay que tener cuidado en este caso es de no configurar
paneles con dimensiones que nos comprometan con este drift; que para el caso de la fig. 3C sería 160 metros. Si
tuviéramos variogramas con una tendencia mas marcada o dominante, es preferible primero ajustar a los datos
una superficie de tendencia (“trend surface”) y luego trabajar con los residuos; de lo contrario en lugar de
realizar la estimación por krigeage simple, hacerlo por el llamado krigeage universal (MATHERON 1969).
A continuación vamos a presentar, de manera muy simplificada, el método de krigeage. Para una explicación
mas amplia referirse a: DAVID (1976, 1977), JOURNEL & HUIJBREGTS (1978: 303-343) y GUIBAL &
TULCANAZA (1974: 16-32).
Básicamente el método de krigeage nos da la posibilidad de asignar un ponderador exacto λ i a cada valor Zi
que participa en la estimación de un valor desconocido P* (punto, panel o bloque). De manera similar a los
métodos IPD, el valor estimado de P se calcula de ecuaciones lineales de la forma :
P* = ∑ λ i Z i
(3)
Cada valor del ponderador λi se calcula de un sistema de ecuaciones denominado sistema de Matheron; la
forma general de presentar este sistema de ecuaciones es como sigue:
n
∑
λi γ ij = λpi - µ
j =1
(4)
n
∑ λ j =1
j =1
Donde :
i, j : 1, 2, 3 .... , n.
γ ij : es el valor promedio del variograma γ(h) = γ (MN) cuando M recorre
la muestra n = i y N recorre independientemente la muestra j.
λpi : es el valor medio del variograma γ(h) = γ (MN) cuando M se mueve
sobre el panel P y N se mueve independientemente sobre la muestra i.
µ : es el parámetro de Lagrange.
Lo que se obtiene es un sistema con (n+1) ecuaciones y (n+1) incógnitas (los n ponderadores λi y el parámetro
de Lagrange µ), que se resuelven para encontrar el valor de cada ponderador λi , éstos son luego reemplazados
en la ecuación ( 3 ) para finalmente encontrar el valor estimado P* de la variable en estudio.
Tal sistema de Matheron tiene a su vez la propiedad de otorgar una varianza de estimación mínima, cuya
expresión matemática general es :
n
σ 2 = ∑ λi γpj + µ - γ pp
k
j =1
(5)
la cual representa la medida de la precisión de la estimación, y que no depende de los valores reales de la
información utilizada.
Volviendo a la fig. 6, vemos
como la aplicación de la
ecuación (4) nos permite
configurar un sistema de 5
ecuaciones con 5 incógnitas
(entre ellas los λi). Para resolver
este sistema sólo necesitamos
calcular por computadora o
estimar
por
ábacos
los
variogramas γi y γip, basados en el
análisis variográfico; para luego
reemplazarlos en el sistema de
ecuaciones
y
resolverlo.
Procediendo de esta forma se
obtuvieron los valores λi que se
dan en la fig. 8. Nótese que el
mayor ponderador es λD, que
concentra el 55% del peso;
mientras que el más bajo es λB,
con sólo el 10%.
FIG. 8 ESTIMACION POR KRIGEAGE:
6 A
C
P
B
4
1
D
ANISOTROPIA
R = 80
r = 40
5
γAAλA + γABλB +γACλC + γADλD + µ = γAP
γBAλA + γBBλB +γBCλC + γBDλD + µ = γBP
γCAλA + γCBλB +γCCλC + γCDλD + µ = γCP
γDAλA + γDBλB +γDCλC + γDDλD + µ = γDP
λA + λ B + λ C + λ D
= 1
λA = 0.20
λB = 0.10 P*K = AλA + BλB + CλC + DλD
λC = 0.15 P*K = 3.10
λD = 0.55
ERROR DE ESTIMACION =
2
K
= ∑ γiP λi
+
γPP - µ
Estos resultados podrían parecer contrarios a lo que nos dicta nuestra intuición, sobre todo si estamos
acostumbrados a los métodos IPD; puesto que los valores mas lejanos tienen mas peso que los mas cercanos. Lo
que pasa es que existe un marcado ”trend” de mineralización en dirección NW, por lo que es de esperar una
mejor continuidad de los valores en dicha dirección y consecuentemente una mayor variabilidad en la dirección
ortogonal. Esta característica del patrón de distribución se refleja en el peso de los ponderadores.
Calculando el valor de γPP,
y reemplazándolo en la
ecuación (5), junto con los
ya conocidos µ y λiP, se
calcula la varianza de
krigeage σk2; que nos
permite tener una idea
concreta de nuestro error de
estimación; parámetro que
no se puede calcular en
ninguno de los otros
métodos de estimación.
FIG. 9 ESTIMACION DE LA LEY MEDIA EN EL TRAMO S2 A S3
ω
γ (h ) = h ω
VARIOGRAMA:
γ (h)
1
Z2
λ
2
S3
Z3
λ
3
S4
Z4
λ
COMENTARIOS:
4
MEJOR ESTIMADOR:
0.25
0
MEDIA
En la Fig. 9 se muestra
γ (h) VARIOGRAMA
cómo los ponderadores
LINEAL
adquieren valores diferentes
1
dependiendo
de
la
“estructura”
de
cada
distribución, característica
γ (h) GRAN
REGULARIDAD
que se encuentra reflejada
3/2
en
su
respectivo
variograma. Se trata de
estimar por krigeage la ley
media de la porción entre los puntos S2 y S3. Zi es
ponderador respectivo.
0.25
0.25
LEY MEDIA
0.25
UNICO CASO DE VALIDEZ DE
LOS METODOS CLASICOS
h
γ (h) REGULARIDAD
0.07
0.43
0.43
0.07
0.50
0.50
0
LOS DOS PUNTOS MAS
CERCANOS AL
SEGMENTO ESTIMADO
TIENEN MAS PESO
h
0
NO INTERVIENEN LOS PUNTOS
LEJANOS
PROPIEDAD CARACTERÍSTICA
DEL VARIOGRAMA LINEAL
h
LOS PONDERADORES DE Z1
Y
- 0.03 0.53
h
0.53
- 0.03
Z4
SON NEGATIVOS
DEBIDO A LA EXTREMA
CONTINUIDAD DE LA
MINERALIZACION
la ley correspondiente al punto de muestreo i; y λi el
Estamos empleando una función variograma de la forma:
valores (columna de la izquierda de la figura en cuestión).
10
λ
S2
EFECTO DE
PEPITA PURO
1/2
S1
Z1
γ (h) = hω
en la cual le asignamos a ω diferentes
Vemos que el único caso en que pueden tener
validez los métodos empíricos clásicos, es en el
caso A; donde el variograma nos informa que
en tal distribución existe plena independencia
entre las leyes, es decir una distribución al azar
(efecto de pepita puro). Los ponderadores en
este caso tiene el mismo peso o valor λi = 0.25.
Sólo en algunos yacimientos aluviales de oro se
encuentra este tipo de distribuciones; quizás
debido a la relativa violencia con que se
deposita el material aluvional, de tal forma que
la naturaleza no tiene tiempo para imponer un
patrón de distribución, por lo que las partículas
de oro se encuentran diseminadas prácticamente
al azar.
Para ω = ½, el variograma corresponde a una
distribución de regularidad media, por lo tanto,
los puntos mas cercanos al segmento estimado
tendrán mas peso (λ2 y λ3 6 veces mayores que
λ1 y λ4). Los variogramas de este tipo por lo general se obtienen en yacimientos diseminados tipo pórfido, en
oro diseminado en rocas volcánicas y en algunas vetas hidrotermales de alcance epitermal.
Para ω = 1, el variograma es lineal; por lo tanto el peso se concentra casi totalmente en los puntos mas cercanos
(λ2 = λ3 = 0.5); de tal forma que los puntos mas lejanos prácticamente no intervienen en la estimación (λ1 = λ4 =
0). Variogramas de este tipo son frecuentes en vetas hidrotermales, meso- a hipotermales.
Para ω = 3/2, el variograma corresponde a una distribución de gran regularidad, es decir con una continuidad
extrema de la mineralización, a tal punto que las muestras mas lejanas al segmento estimado tendrán pesos
negativos (λ1 = λ4 = - 0.03). Este tipo de variogramas se encuentran en yacimientos estratiformes o de origen
sedimentario. También en le caso de mantos de carbón; o cuando se evalúa la potencia de cuerpos tabulares o el
peso específico en zonas de litología homogénea.
EL CONCEPTO DE ANISOTROPIA
Raras veces las distribuciones resultan isótropas (Fig. 11), lo cual quiere decir que los variogramas en todas
sus direcciones son similares. Esto es inusual, ya que casi siempre los procesos geológicos son “direccionales”,
es decir, por lo general tienen una dirección o componente preferencial, concepto relacionado principalmente al
flujo o flujos de mineralización.
Para aclarar esto vamos a referirnos a la fig. 10 (simplificada a partir de CANCHAYA & BERNUY 1983), en
la cual se muestra varios tramos de muestreo a lo largo de galerías y chimeneas sobre una veta. Como los flujos
mineralizantes generalmente son sub-verticales, el patrón de distribución a lo largo de las chimeneas será
diferente al de las galerías; lo cual quedará expresado en los respectivos variogramas y principalmente en el
alcance a. Para el caso se ha obtenido ah = 10 y av = 20.
Por lo tanto tenemos una distribución anisótropa y
consecuentemente debemos definir una elipse de
FIG. 11
influencia, tomando como ejes los valores de ah y av.
REGIONALIZACION ISOTROPA
Cualquier variable está estructurada dentro del alcance
a de su respectivo variograma, mas allá de él, su
comportamiento, por ser al azar, será impredecible. Por
lo tanto para cubicar reservas probadas se configura
paneles con dimensiones menores o iguales que 2a, tal
como se ha procedido en la Fig. 10. Si quisiéramos
cubicar más reservas probadas, deberíamos diseñar
subniveles cada 40 metros (dos veces el alcance en av );
mientras que la separación ideal entre chimeneas deberá
ser 20 metros (dos veces el alcance en ah ). Estos
conceptos se pueden aplicar también para dimensionar
el reconocimiento con taladros diamantinos desde las
labores subterráneas.
Hay dos tipos de anisotropía: zonal y geométrica.
Cuando los variogramas en varias direcciones presentan
diferentes alcances tenemos anisotropía geométrica;
mientras que cuando presentan diferentes mesetas se
trata de anisotropía zonal.
En la figura 12 estamos mostrando otro ejemplo ilustrativo. Se trata de una sección, perpendicular al rumbo, de
un manto tufáceo potente que contiene mineralización del tipo diseminada, la cual aumenta paulatinamente del
techo al piso. Este patrón de distribución queda claramente expresado en los variogramas direccionales, que se
obtuvieron a partir de muestras de este manto, los cuales están graficados en la mitad inferior de la fig. 12. Tal
como era de esperar, los tres variogramas son diferentes, presentando no sólo diferentes mesetas (anisotropía
zonal) sino además anisotropía geométrica (diferentes alcances).
La dirección E-W corresponde a un variograma casi de efecto de pepita puro y con la mas alta varianza;
podríamos percibir esta irregularidad de la mineralización imaginando que recorremos el manto, con un
analizador químico portátil, a lo largo de cualquier línea horizontal paralela a la dirección E-W indicada.
Por el contrario, si recorremos el manto a
lo largo de una línea perpendicular a la
hoja
(N-S) notaremos una gran
continuidad de los valores y una mínima
variación estructural de los mismos; lo
cual está plenamente expresado en el
variograma respectivo, que muestra la
mejor estructuración y el mayor alcance de
los tres mostrados en la fig. 12. Un
recorrido similar en dirección vertical,
permite comprender porqué el variograma
en esa dirección tiene mejor estructura y
menos varianza que el de la dirección EW.
Es una idealización muy peligrosa suponer
que los patrones de distribución son
isótropos, ya que los millares de estudios
variográficos de diferentes tipos de
yacimientos, en la bibliografía mundial,
nos indican que la mayor parte de los
patrones de distribución son anisótropos.
El concepto de anisotropía geométrica
tiene relación directa con el denominado
”radio de alcance” de los métodos
tradicionales; que como ya hemos visto
sólo se podrá usar en regionalizaciones
isótropas. Es mas apropiado hablar de
elipse (para bloques bidimensionales) o
elipsoide de alcance (para bloques
tridimensionales). Consecuentemente, y
salvo en justificadas excepciones, las
mallas de perforación deberían ser
rectángulos o paralelepípedos; y no
necesariamente cuadrados o cubos, como
generalmente se usa.
S. Canchaya/Dic. 2005
BIBLIOGRAFIA
Aquí se está consignando no sólo la bibliografía citada en el presente trabajo, sino además, bibliografía
adicional seleccionada con la intención de dar a loa participantes la posibilidad de profundizar los temas que
más le interesan.
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