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MODULO DE MATEMATICA
LA HIPERBOLA
Se llama ecuación reducida a la ecuación de la
hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes
coordenadas, y, por tanto, el centro de
hipérbola con el origen de coordenadas.
Si el eje real está en el eje de abscisas las
coordenadas de los focos son:
F'(−c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la hipérbola cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones y teniendo en cuenta que
, llegamos a:
Ejemplos
1) Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro
C(0, 0).
2) Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los
puntos F'(-5, 0) y F(5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.
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1
3) Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas
y la excentricidad de la hipérbola 9x2 - 16y2 = 144.
Ecuación reducida de eje vertical de la hipérbola
+
F'(0, −c) y F(0, c)
La ecuación será:
Ejemplo
Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(0, 5), de vértice A(0, 3) y de centro C(0, 0).
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2
Ecuación de la hipérbola
Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen
de coordenadas F(x0+c, y0) y F'(x0− c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:
Ejemplos
Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(7, 2), de vértice A (5,2) y de centro C(3, 2).
Ecuación de la hipérbola de eje vertical
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Si el centro de la hipérbola C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de
coordenadas F(x0, y0+c) y F'(x0, y0− c). Y la ecuación de la hipérbola será:
Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una ecuación
de la forma:
Donde A y B tienen signos opuestos.
Ejemplo
Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(-2, 5), de vértice A (-2, 3) y de centro C(-2, -5).
Ejercicios
Representa gráficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de los
vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas:
1
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4
.
2)
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5
3) Veamos otra hipérbola :
4) Veamos otra : Hallar la ecuación de una hipérbola de eje focal 8 y distancia focal 10.
Entonces , se tiene que :
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6
Luego la ecuación de la hipérbola es :
5) El eje focal de una hipérbola mide 12, y la curva pasa por el punto P(8, 14). Hallar su
ecuación.
6) Calcular la ecuación reducida de la hipérbola cuya distancia focal es 34 y la distancia de
un foco al vértice más próximo es 2.
7) Determina la ecuación reducida de una hipérbola sabiendo que un foco dista de los
vértices de la hipérbola 50 y 2.
8) El eje focal de una hipérbola mide 12 y la excentricidad es 4/3. Calcular la ecuación de
la hipérbola.
9) Calcular la ecuación de una hipérbola equilátera sabiendo que su distancia focal es
.
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Ecuación de la hipérbola. Ejercicios
Determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes
hipérbolas.
1
2
3
4
Determina las coordenadas del centro, de los focos, de los vértices y la excentricidad de las
siguientes hipérbolas:
5.)
6.)
7.)
8.)
Hallar la ecuación de una hipérbola de eje focal 8 y distancia focal 10.
Calcular la ecuación reducida de la hipérbola cuya distancia focal es 34 y la
distancia de un foco al vértice más próximo es 2.
R E S P U E S T A S.
1.)
FOCOS :
F = ( 15 , 0 )
VERTICE
= A ( 12 , 0 )
EXCENTRCIDAD
2.)
FOCOS
:
VERTICE :
:
E =
y F’ = ( -15 , 0 )
5
4
F = F ( 0 , 13 )
V =
y
A ( 0 , 12 )
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8
F’ =
( 0 , - 13 )
EXCENTRICIDAD :
3.)
FOCOS :
F = (5,0)
EXCENTRICIDAD :
FOCOS :
15
3
E =
F = ( 0 , 15 )
VERTICE :
y F’ = ( 0 -15 )
A ( 0 , 12 )
EXCENTRICIDAD :
5.)
y F’ ( -5 , 0 )
A ( 15 , 0 )
VERTICE =
4.)
13
12
E =
FOCOS :
5
3
E =
7 , 0 )
F = ( 1+
y F’ = ( 1 -
7 , 0 )
21
3
EXCENTRICIDAD :
COORDENADAS DEL CENTRO : C ( 1 , 0 )
6.)
VERTICES
:
FOCOS
F ( -1 , 2 +
:
3 , 0 ) y A’ ( 1 -
A ( 1+
EXCENTRICIDAD :
3 )
E =
y F’ ( - 1 , 2 -
7.)
8.)
2 )
A( -1 , 2 +
C (-1 , 2 )
y A’ ( - 1 , 2 -
LA ECUACION DE LA HIPERBOLA ES :
x2
16
y2
9
-
= 1
LA ECUACION DE LA HIPERBOLA ES :
x2
576
-
y2
100
=
3 )
6
2
COORDENADAS DEL CENTRO :
VERTICES :
3 , 0 )
1
FIN
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9
2 )