Distancia a la submatriz sudeste que aumenta la multiplicidad de un

XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones
XI Congreso de Matemática Aplicada
Ciudad Real, 21-25 septiembre 2009
(pp. 1–6)
Distancia a la submatriz sudeste que aumenta la
multiplicidad de un valor propio prescrito. Caso singular.
Juan-Miguel Gracia1 , Francisco-Enrique Velasco2
1
Dpto. de Matemática Aplicada y Estadı́stica e I. O., Univ. del Paı́s Vasco (UPV/EHU), Facultad de
Farmacia, Vitoria-Gasteiz. E-mails: [email protected], [email protected].
Palabras clave: Matriz más próxima, Valores propios múltiples, Controlable, Observable, Malyshev,
Teorema de la aplicación suprayectiva
Resumen
Dada la cuaterna de matrices complejas (A, B, C, D) ∈ Cn×n × Cn×m × Cm×n ×
C
y dado un valor propio z0 de A, queremos hallar la distancia (en la norma
espectral) de D al conjunto de matrices X ∈ Cm×m tales que z0 es un valor propio
múltiple de
A B
,
C X
m×m
con (A, B) y (C, A) pares de matrices controlable y observable, respectivamente.
1.
Introducción
Denotemos por k·k la norma espectral de matrices. Denotaremos por Λ(M ) al espectro
de la matriz cuadrada compleja M . Si λ0 ∈ Λ(M ) la multiplicidad algebraica de λ0 se
denotará por m(λ0 , M ).
El problema que vamos a tratar es el siguiente: dadas cuatro matrices complejas
A, B, C, D, donde A ∈ Cn×n and D ∈ Cm×m , y un número complejo z0 , calcular la
distancia (en la norma espectral) de D al conjunto de matrices X ∈ Cm×m , tales que z0
es un valor propio múltiple de la matriz
A B
.
C X
En [2] se resuelve problema cuando z0 no es un valor propio de la matriz A. Para el
caso z0 valor propio de A, si el par (A, B) no es controlable o el par (C, A) no es observable
1
Juan-Miquel Gracia, Francisco-Enrique Velasco
o m = 1, una solución del problema puede verse en [3]. El caso restante es el objeto de
esta comunicación. De aquı́ en adelante, vamos a suponer que m ≥ 2.
Como en [2] y [3], vamos a suponer sin pérdida de generalidad que z0 = 0. Por Ln,m
denotaremos al producto Cartesiano Cn×n × Cn×m × Cm×n . Ası́ mismo, para una terna
de matrices α := (A, B, C) ∈ Ln,m y X ∈ Cm×m , denotaremos
A B
.
C X
M (α, X) :=
Luego, con estas notaciones, el objetivo planteado es el siguiente problema:
Problema 1 Consideremos una terna de matrices α = (A, B, C) ∈ Ln,m y D ∈ Cm×m .
Supongamos que 0 un valor propio de la matriz A, el par (A, B) es controlable y (C, A) es
observable. Calcular el mı́nimo
mı́n
X∈Cm×m
m(0,M (α,X))≥2
kX − Dk.
(1)
Observación 2 Al igual que en [2] y [3], si para toda matriz X ∈ Cm×m , 0 no es valor
propio múltiple de M (α, X), diremos que la distancia es infinita.
2.
Resultados preliminares
Una consecuencia del Teorema de la Aplicación Suprayectiva ([1], Theorem 41.6, p.
378; [5], Lemma 12.4–1, p. 230) es el siguiente resultado:
Lema 3 Sea Ω un abierto de Cn+p . Sean f1 , . . . , fq : Ω → C funciones de clase C 1 en Ω.
Sea P0 = (x01 , . . . , x0n , u01 , . . . , u0p ) = (x0 , u0 ) ∈ Ω un punto que satisface las ecuaciones

0 0

 f1 (x , u ) = 0,
..
.


0
fq (x , u0 ) = 0.
Supongamos que q ≤ p y que la matriz jacobiana
 ∂f
1
∂u1 (P0 )
...

∂(f1 , . . . , fq )
..
..
(P0 ) = 
.
.

∂(u1 , . . . , up )
∂fq
∂u1 (P0 ) . . .
∂f1
∂up (P0 )


..

.

∂fq
(P
)
0
∂up
es de rango máximo (igual a q). Entonces, para cada > 0 existe un δ > 0 tal que: si
x ∈ Cn y kx − x0 k ≤ δ entonces existe al menos un u ∈ Cp tal que ku − u0 k ≤ , y además


 f1 (x, u) = 0,
..
.


fq (x, u) = 0.
2
Submatriz sudeste que aumenta la multiplicidad.
Sea Ω un abierto de Cn×q y f : Ω → Cm×p . es diferenciable en Ω. Para cada matriz
X = (xij ) ∈ Ω, f (X) = (fij (X)). Si f es diferenciable en Ω, definimos la matriz jacobiana
de la forma siguiente:
∂(f11 , . . . , f1p , . . . , fm1 , . . . , fmp )
∂f (X)
=
.
∂X
∂(x11 , . . . , x1q , . . . , xn1 , . . . , xnq )
Con estas notaciones, tenemos el siguiente resultado ([4], Chap. 9):
Lema 4 Sean A ∈ Cm×n , X ∈ Cn×p , Z ∈ Cq×m . Entonces
(a) ∂(AX)
∂X = A ⊗ Ip
∂(ZA)
(b) ∂Z = Iq ⊗ AT
El sı́mbolo ⊗ denota el producto de Kronecker.
3.
Resultado principal
Una solución al Problema 1 viene dada por el siguiente resultado:
Teorema 5 Sean α = (A, B, C) ∈ Ln,m y D ∈ Cm×m . Supongamos que 0 ∈ Λ(A), el par
(A, B) es controlable y (C, A) es observable. Sea {(Aq , Bq , Cq )}∞
q=1 una sucesión de ternas
de matrices que converge a α, de manera que, para todo q, Aq es invertible, (Aq , Bq ) es
controlable y (Cq , Aq ) es observable. Denotemos (Aq , Bq , Cq ) por αq y sea
µq :=
mı́n
X∈Cm×m
m(0,M (αq ,X))≥2
kX − Dk,
para q = 1, 2, . . .. Entonces
mı́n
X∈Cm×m
m(0,M (α,X))≥2
kX − Dk = lı́m µq .
q→∞
Su demostración precisa de dos resultados previos. Con las hipótesis del Teorema 5
para la terna α = (A, B, C) ∈ Ln,m , supongamos que existe una matriz X0 ∈ Cm×m tal
que
m(0, M (α, X0 )) ≥ 2.
Entonces, existen vectores u1 , v1 ∈ Cn×1 , u2 , v2 ∈ Cm×1 y un número complejo β tal que
u1 v1
rank
= 2,
(2)
u2 v2
y
A B
C X0
u1 v1
u1 v1
0 β
=
.
u2 v2
u2 v2
0 0
Con estas precisiones, tenemos los resultados siguientes:
Proposición 6 u2 6= 0.
3
(3)
Juan-Miquel Gracia, Francisco-Enrique Velasco
Proposición 7 Sea α = (A, B, C) ∈ Ln,m una terna de matrices tal que 0 ∈ Λ(A), (A, B)
es controlable y (C, A) es observable. Supongamos que existe una matriz X0 ∈ Cm×m de
manera que 0 es un valor propio múltiple de M (α, X0 ). Sea {αq }∞
q=1 una sucesión de Ln,m
que converge a α. Entonces existe una sucesión de matrices {Xq }∞
q=1 que converge a X0 ,
tal que 0 es un valor propio múltiple de M (αq , Xq ), para todo q.
Demostración. Como 0 es un valor propio múltiple de M (α, X0 ), entonces existen vectores u1 , v1 ∈ Cn×1 , u2 , v2 ∈ Cm×1 y un número complejo β tales que cumplen (2) y (3).
Sea (Aq , Bq , Cq ) := αq y denotemos por ∆q1 := A − Aq , ∆q2 := B − Bq , ∆q3 := C − Cq .
Para demostrar la proposición, basta con encontrar sucesiones de matrices {∆q4 }∞
q=1 y
de vectores {sqi }∞
,
i
=
1,
2,
3,
4,
que
convergen
a
0,
de
manera
que
para
todo
q,
q=1
A + ∆q1 B + ∆q2
u1 + sq1 v1 + sq2
u1 + sq1 v1 + sq2 0 β
=
.
(4)
C + ∆q3 X0 + ∆q4 u2 + sq3 v2 + sq4
u2 + sq3 v2 + sq4 0 0
Caso 1. Supongamos que u2 and v2 son linealmente independientes. Operando en (4), el
q ∞
problema se reduce a encontrar sucesiones {∆q4 }∞
q=1 y {si }q=1 convergiendo a 0, tales que

(A + ∆q1 )(u1 + sq1 ) + (B + ∆q2 )(u2 + sq3 ) = 0,



(C + ∆q3 )(u1 + sq1 ) + (X0 + ∆q4 )(u2 + sq3 ) = 0,
(5)
(A + ∆q1 )(v1 + sq2 ) + (B + ∆q2 )(v2 + sq4 ) − (u1 + sq1 )β = 0,



(C + ∆q3 )(v1 + sq2 ) + (X0 + ∆q4 )(v2 + sq4 ) − (u2 + sq3 )β = 0.
Para resolver esta cuestión, vamos a usar el Lema 3. Consideremos el espacio producto
Pn,m := Cn×n × Cn×m × Cm×n × Cn×1 × Cn×1 × Cn×1 × Cn×1 × Cm×m ,
y las aplicaciones f1 , f3 : Pn,m → Cn×1 , f2 , f4 : Pn,m → Cm×1 , definidas por
f1 (∆1 , ∆2 , ∆3 , s1 , s2 , s3 , ∆4 ) = (A + ∆1 )(u1 + s1 ) + (B + ∆2 )(u2 + s3 ),
f2 (∆1 , ∆2 , ∆3 , s1 , s2 , s3 , ∆4 ) = (C + ∆3 )(u1 + s1 ) + (X0 + ∆4 )(u2 + s3 ),
f3 (∆1 , ∆2 , ∆3 , s1 , s2 , s3 , ∆4 ) = (A + ∆1 )(v1 + s2 ) + (B + ∆2 )(v2 + s4 ) − (u1 + s1 )β,
f4 (∆1 , ∆2 , ∆3 , s1 , s2 , s3 , ∆4 ) = (C + ∆3 )(v1 + s2 ) + (X0 + ∆4 )(v2 + s4 ) − (u2 + s3 )β.
En primer lugar, por (3) deducimos que fi (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) = 0, para i = 1, 2, 3, 4.
Segundo, por el Lema 4, la matriz jacobiana
∂(f1 , f2 , f3 , f4 )
∂(s1 , s2 , s3 , s4 , ∆4 )
evaluada en el punto 0 ∈ Pn,m , es la matriz


A
B
0 0
0
 C

X0
0 0 Im ⊗ uT
2 .
J =
−βIn

0
A B
0
T
0
−βIm C X0 Im ⊗ v2
Luego, por el Lema 3, para concluir la demostración, basta probar que la matriz J tiene
rango máximo igual a 2n + 2m. Hecho que se deduce al ser u2 y v2 linealmente independientes y (A, B) controlable.
4
Submatriz sudeste que aumenta la multiplicidad.
Caso 2. Supongamos que u2 y v2 son linealmente dependientes. Entonces, por la Proposición 6, como u2 6= 0, no se pierde generalidad si suponemos que v2 = 0. Luego, por (3),
A B
u1 v1
u1 v1
0 β
=
,
(6)
C X0
u2 0
u2 0
0 0
con u2 y v1 vectores no nulos. Sea T ∈ Cm×n tal que rank (u2 +T u1 , T v1 ) = 2, (A, B −AT )
es controlable y (C + T A, A) observable. Notemos que T puede elegirse de manera que
kT k se tan pequeña como queramos. Ahora, por (6) resulta
In 0
A B
In
0
In 0
u1 v1
T Im
C X0
−T Im
T Im
u2 0
I
0
u1 v1
0 β
= n
,
T Im
u2 0
0 0
es decir
u1
v1
A
B − AT
C + T A X0 + T B − CT − T AT
u2 + T u1 T v1
=
u1
v1
u2 + T u1 T v1
0 β
.
0 0
Finalmente, como rank (u2 + T u1 , T v1 ) = 2, (A, B − AT ) es controlable y (C + T A, A)
observable, basta aplicar el Caso 1.
Demostración del Teorema 5. Sea {αq = (Aq , Bq , Cq )}∞
q=1 una sucesión de ternas de
matrices que converge a α, tal que para todo q: Aq es invertible, (Aq , Bq ) controlable y
(Cq , Aq ) observable. Entonces, como 0 no es valor propio de Aq , por ([2], Theorem 25, p.
1205) existe una sucesión de matrices {Yq }∞
q=1 tal que para todo q
µq =
mı́n
X∈Cm×m
m(0,M (αq ,X))≥2
kX − Dk = kYq − Dk,
(7)
donde m(0, M (αq , Yq )) ≥ 2.
Caso 1. Supongamos que existe una matriz X ∈ Cm×m tal que 0 es valor propio múltiple
de M (α, X) y sea X0 tal que
µ0 := kX0 − Dk =
mı́n
X∈Cm×m
m(0,M (α,X))≥2
kX − Dk.
(8)
Luego, por la Proposición 7, existe una sucesión {Xq }∞
q=1 que converge a X0 , tal que 0 is
a multiple eigenvalue of M (αq , Xq ), para todo q. Luego si denotamos por µ̂q := kXq − Dk,
resulta
lı́m sup µq ≤ lı́m sup µ̂q = µ0 .
q→∞
q→∞
∞
Sea {µqk }∞
k=1 una subsucesión de {µq }q=1 tal que
5
(9)
Juan-Miquel Gracia, Francisco-Enrique Velasco
lı́m inf µq = lı́m µqk ,
q→∞
(10)
k→∞
∞
y sea {Yqki }∞
i=1 una subsucesión de {Yqk }k=1 , que converge a una matriz Ŷ0 . Ahora, como
0 es un valor propio múltiple de M (αqki , Yqki ), entonces también lo es de M (α, Ŷ0 ). Luego,
por (10), (7) y (8), deducimos
lı́m inf µq = lı́m µqki = lı́m kYqki − Dk = kŶ0 − Dk ≥ µ0 .
q→∞
i→∞
i→∞
Esta desigualdad, junto a (9) prueba el teorema en este caso.
Caso 2. Este caso se prueba por contradicción, suponiendo que lı́mq→∞ µq < ∞.
Observación: para concluir, vamos a dar una expresión del mı́nimo (1). Ası́, siguiendo
de la solución dada en [2, Theorem 25] para el caso A invertible, si {αq = (Aq , Bq , Cq )}∞
q=1
es una sucesión de ternas de matrices que converge a α = (A, B, C), tal que para todo q:
Aq es invertible, (Aq , Bq ) controlable y (Cq , Aq ) observable, entonces
mı́n
X∈Cm×m
m(0,M (α,X))≥2
kX − Dk = lı́m
q→∞
mı́n
Y ∈Cm×m
m(0,M (αq ,Y ))≥2
kY − Dk = lı́m sup σ2m−1 (S2q (t, D)),
q→∞ t∈R
donde σ2m−1 denota el 2m − 1-ésimo valor singular, y
−2
D − Cq A−1
q Bq t(Im + Cq Aq Bq )
.
S2q (t, D) =
0
D − Cq A−1
q Bq
Agradecimientos
Este trabajo ha sido subvencionado por el Ministerio de Educación y Ciencia, Proyecto
MTM2007–67812–CO2–01, y el Gobierno Vasco, Proyecto GIC07/154–IT–317–07.
Referencias
[1] R.G. Bartle, The Elements of Real Analysis, Secon Edition, John Wiley & Sons, Inc., New York,
1976.
[2] J. M. Gracia, F.E. Velasco, Nearest southeast submatrix that makes multiple a prescribed eigenvalue.
Part 1, Linear Algebra Appl., 430 (2009) 1196-1215.
[3] J. M. Gracia, F.E. Velasco, Closest southeast submatrix that makes multiple an eigenvalue of the
northwest one, sometido a Operators and Matrices, (2009).
[4] G.S. Rogers, Matrix Derivatives, Lectures Notes in Statistics, Vol. 2, Marcel Dekker, Inc., New York,
1980.
[5] W. Wasow, Linear Turning Point Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1985.
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